辽宁省锦州市高考数学一模试卷 理（含解析）.doc

2017年辽宁省锦州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1集合m=x|x=3n，nn，集合n=x|x=3n，nn，则集合m与集合n的关系（）amnbnmcmn=dmn且nm2若复数z满足iz=（1+i），则z的虚部是（）a ib icd3一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，俯视图是圆心角为的扇形，则该几何体的侧面积为（）a2b4+c4+d4+4如表提供了某厂节能降耗改造后在生产a产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，则下列结论错误的是（） x 3 45 6 y 2.5t 44.5 a线性回归直线一定过点（4.5，3.5）b产品的生产能耗与产量呈正相关ct的取值必定是3.15da产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨5已知等差数列an的前n项和sn，其中且a11=20，则s13=（）a60b130c160d2606设p：实数x，y满足（x1）2+（y1）22，q：实数x，y满足，则p是q的（）a必要不充分条件b充分不必要条件c充要条件d既不充分也不必要条件7阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）a2bc1d28三国时代吴国数学家赵爽所注周髀算经中给出了勾股定理的绝妙证明，下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实，黄实，利用2勾股+（股勾）2=4朱实+黄实=弦实，化简，得勾2+股2=弦2，设勾股中勾股比为1：，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（）a866b500c300d1349已知f（x）=sinxcosxsin2x，把f（x）的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到y=g（x）的图象，若对任意实数x，都有g（x）=g（+x）成立，则g（+）+g（）=（）a4b3c2d10设a0，b2，且a+b=3，则的最小值是（）a6bcd11已知双曲线=1（a0，b0）左右焦点分别为f1，f2，渐近线为l1，l2，p位于l1在第一象限内的部分，若l2pf1，l2pf2，则双曲线的离心率为（）a2bcd12设函数f（x）在r上存在导数f（x），xr，有f（x）+f（x）=x2，在（0，+）上f（x）x，若f（2m）+f（m）m2+2m20，则实数m的取值范围为（）a1，1b1，+）c2，+）d（，22，+）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（x2x2）3展开式中x项的系数为 14设抛物线x2=2y的焦点为f，经过点p（1，3）的直线l与抛物线相交于a，b两点，且点p恰为ab的中点，则= 15三棱锥sabc的所有顶点都在球o的球面上，abc是边长为3的正三角形，sc是球o的直径，且sc=4，则此三棱锥的体积v= 16将正整数12分解成两个正整数的乘积有112，26，34三种，其中34是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称34为12的最佳分解当pq（pq且pqn*，）是正整数n的最佳分解时，我们定义函数f（n）=qp，例如f（12）=43=1数列f（3n）的前100项和为 三、解答题（本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知函数的部分图象如图所示（1）求函数f（x）的解析式；（2）在abc中，角a，b，c的对边分别是a，b，c，若（2ac）cosb=bcosc，求的取值范围18汉字听写大会不断创收视新高，为了避免“书写危机”弘扬传统文化，某市对全市10万名市民进行了汉字听写测试，调查数据显示市民的成绩服从正态分布n现从某社区居民中随机抽取50名市民进行听写测试，发现被测试市民正确书写汉字的个数全部在160到184之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组160，164），第二组164，168），第六组180，184），如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图（1）试评估该社区被测试的50名市民的成绩在全市市民中成绩的平均状况及这50名市民成绩在172个以上（含172个）的人数；（2）在这50名市民中成绩在172个以上（含172个）的人中任意抽取2人，该2人中成绩排名（从高到低）在全市前130名的人数记为，求的数学期望参考数据：若n（，2），则p（x+）=0.6826，p（2x+2）=0.9544，p（3x+3）=0.997419在四棱锥pabcd中，pab和pbd都是边长为2的等边三角形，设p在底面abcd的射影为o（1）求证：o是ad中点；（2）证明：bcpb；（3）求二面角apbc的余弦值20已知椭圆c： +=1（ab0）的上下两个焦点分别为f1，f2，过点f1与y轴垂直的直线交椭圆c于m，n两点，mnf2的面积为，椭圆c的离心率为（）求椭圆c的标准方程；（）已知o为坐标原点，直线l：y=kx+m与y轴交于点p，与椭圆c交于a，b两个不同的点，若存在实数，使得+=4，求m的取值范围21已知m0，设函数f（x）=emxlnx2（1）若m=1，证明：存在唯一实数，使得f（t）=0；（2）若当x0时，f（x）0，证明：请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分选修4-4：坐标系与参数方程22已知曲线c在平面直角坐标系xoy下的参数方程为（为参数），以坐标原点o为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系（1）求曲线c的普通方程及极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是，射线ot：与曲线c交于点a与直线l交于点b，求线段ab的长选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）=|x+3|+|x2|（）若xr，f（x）6aa2恒成立，求实数a的取值范围（）求函数y=f（x）的图象与直线y=9围成的封闭图形的面积2017年辽宁省锦州市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1集合m=x|x=3n，nn，集合n=x|x=3n，nn，则集合m与集合n的关系（）amnbnmcmn=dmn且nm【考点】15：集合的表示法【分析】利用子集的定义判断两个集合间的包含关系，从而确定集合间的关系【解答】解：1m，1n；0n，0m；mn且nm故选：d2若复数z满足iz=（1+i），则z的虚部是（）a ib icd【考点】a5：复数代数形式的乘除运算【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：由iz=（1+i），得，z的虚部为故选：c3一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，俯视图是圆心角为的扇形，则该几何体的侧面积为（）a2b4+c4+d4+【考点】lf：棱柱、棱锥、棱台的体积；l!：由三视图求面积、体积【分析】由已知可得该几何体为以俯视图为底面的锥体，其侧面积由两个腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，和一个高为2，底面半径为2的圆锥的四分之一侧面积组成，计算可得答案【解答】解：由已知可得该几何体为以俯视图为底面的锥体，其侧面积由两个腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，和一个高为2，底面半径为2的圆锥的四分之一侧面积组成，故s=222+2=4+，故选：c4如表提供了某厂节能降耗改造后在生产a产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，则下列结论错误的是（） x 3 45 6 y 2.5t 44.5 a线性回归直线一定过点（4.5，3.5）b产品的生产能耗与产量呈正相关ct的取值必定是3.15da产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨【考点】bk：线性回归方程【分析】根据回归直线的性质分别进行判断即可【解答】解： =（3+4+5+6）=4.5，则=0.74.5+0.35=3.5，即线性回归直线一定过点（4.5，3.5），故a正确，0.70，产品的生产能耗与产量呈正相关，故b正确，=（2.5+t+4+4.5）=3.5，得t=3，故c错误，a产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨，故d正确故选：c5已知等差数列an的前n项和sn，其中且a11=20，则s13=（）a60b130c160d260【考点】85：等差数列的前n项和【分析】由已知中等差数列an的前n项和sn，其中且a11=20，我们易求出a3=0，结合a1+a13=a3+a11即可得到s13的值【解答】解：数列an为等差数列，2a3=a3，即a3=0又a11=20，d=s13=（a1+a13）=（a3+a11）=20=130故选b6设p：实数x，y满足（x1）2+（y1）22，q：实数x，y满足，则p是q的（）a必要不充分条件b充分不必要条件c充要条件d既不充分也不必要条件【考点】7d：简单线性规划的应用；2l：必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】画出p，q表示的平面区域，进而根据充要条件的定义，可得答案【解答】解：（x1）2+（y1）22表示以（1，1）为圆心，以为半径的圆内区域（包括边界）；满足的可行域如图有阴影部分所示，故p是q的必要不充分条件，故选：a7阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）a2bc1d2【考点】ef：程序框图【分析】模拟程序框图的运行过程，可知该程序是计算并输出a的值，总结规律即可得出结果【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；i=0，a=2，i=1，a=1=，i2017，否；i=2，a=12=1，i2017，否；i=3，a=1（1）=2，i2017，否；i=4，a=1=，；i=2017=3672+1，a=1=，i2017，否；i=2018=3672+2，a=12=1，i2017，是，终止循环，输出a=1故选：c8三国时代吴国数学家赵爽所注周髀算经中给出了勾股定理的绝妙证明，下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实，黄实，利用2勾股+（股勾）2=4朱实+黄实=弦实，化简，得勾2+股2=弦2，设勾股中勾股比为1：，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（）a866b500c300d134【考点】cf：几何概型【分析】设勾为a，则股为，弦为2a，求出大的正方形的面积及小的正方形面积，再求出图钉落在黄色图形内的概率，乘以1000得答案【解答】解：如图，设勾为a，则股为，弦为2a，则图中大四边形的面积为4a2，小四边形的面积为=（）a2，则由测度比为面积比，可得图钉落在黄色图形内的概率为落在黄色图形内的图钉数大约为1000134故选：d9已知f（x）=sinxcosxsin2x，把f（x）的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到y=g（x）的图象，若对任意实数x，都有g（x）=g（+x）成立，则g（+）+g（）=（）a4b3c2d【考点】hj：函数y=asin（x+）的图象变换；gl：三角函数中的恒等变换应用【分析】由条件利用三角函数的恒等变换求得g（x）的解析式，再根据题意可得g（x）的图象关于直线x=对称，再根据正弦函数的图象的对称性求得的值，可得g（+）+g（）的值【解答】解：f（x）=sinxcosxsin2x=sin2x=sin（2x+），把f（x）的图象向右平移个单位，可得函数y=sin2（x）+=sin2x的图象；再把所得图象向上平移2个单位，得到y=g（x）=sin2x+2=sin2x+的图象若对任意实数x，都有g（x）=g（+x）成立，则g（x）的图象关于直线x=对称，2=k+，求得=+，kz，故可取=，g（+）+g（）=sin（+）+sin+=4，故选：a10设a0，b2，且a+b=3，则的最小值是（）a6bcd【考点】7f：基本不等式【分析】=（）（a+b2）=2+1+，根据基本不等式即可求出【解答】解：a0，b2，且a+b=3，a+b2=1，=（）（a+b2）=2+1+3+2，当且仅当a=（b2）时取等号，即b=1+，a=2时取等号，则的最小值是3+2，故选：d11已知双曲线=1（a0，b0）左右焦点分别为f1，f2，渐近线为l1，l2，p位于l1在第一象限内的部分，若l2pf1，l2pf2，则双曲线的离心率为（）a2bcd【考点】kc：双曲线的简单性质【分析】分别求得双曲线的渐近线方程，设p点坐标，根据直线的斜率公式，求得直线pf1的斜率及直线pf2的斜率，根据直线平行及垂直的关系，即可求得a和b的关系，根据双曲线的离心率公式，即可求得双曲线的离心率【解答】解：设双曲线渐近线为l1的方程y=x，渐近线为l2方程y=x，则设p点坐标（x， x），则直线pf1的斜率k=，直线pf2的斜率k=，由l2pf1，则（）=1， =1，l2pf2，则=，解得：x=，由整理得： =3，由双曲线的离心率e=2，双曲线的离心率2，故选a12设函数f（x）在r上存在导数f（x），xr，有f（x）+f（x）=x2，在（0，+）上f（x）x，若f（2m）+f（m）m2+2m20，则实数m的取值范围为（）a1，1b1，+）c2，+）d（，22，+）【考点】6b：利用导数研究函数的单调性；66：简单复合函数的导数【分析】利用构造法g（x）=f（x）x2，推出g（x）为奇函数，判断g（x）的单调性，即可求得实数m的取值范围【解答】解：f（x）+f（x）=x2，f（x）x2+f（x）=0，令g（x）=f（x）x2，则g（x）+g（x）=f（x）x2+f（x）x2=0，函数g（x）为奇函数x（0，+）时，g（x）=f（x）x0，故函数g（x）在（0，+）上是减函数，故函数g（x）在（，0）上也是减函数，由f（0）=0，可得g（x）在r上是减函数f（2m）+f（m）m2+2m20，则g（2m）+（2m）2+f（m）（m）2m2+2m20，即g（2m）+g（m）0，即g（2m）g（m）0，2mm，解得m1故选：b二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（x2x2）3展开式中x项的系数为12【考点】db：二项式系数的性质【分析】由题意利用乘方的意义，以及排列组合的知识，即可求得（x2x2）3展开式中x项的系数【解答】解：（x2x2）3表示3个因式（x2x2）的积，故其中一个因式选x，其余的2个因式都取2，即可得到含x的项，故含x项的系数为c31（2）（2）=12故答案为：1214设抛物线x2=2y的焦点为f，经过点p（1，3）的直线l与抛物线相交于a，b两点，且点p恰为ab的中点，则=7【考点】k8：抛物线的简单性质【分析】求出焦点坐标和准线方程，过a、b、p 作准线的垂线段，垂足分别为 m、n、r，利用抛物线的定义得到|am|+|bn|=2|pr|，求得结果【解答】解：抛物线 x2=2y的焦点为f（0，0.5），准线方程为y=0，5，过a、b、p 作准线的垂线段，垂足分别为 m、n、r，点p恰为ab的中点，故|pr|是直角梯形amnb的中位线，故|am|+|bn|=2|pr|由抛物线的定义可得|af|+|bf|=|am|+|bn|=2|pr|=2|3（0.5）|=7，故答案为：715三棱锥sabc的所有顶点都在球o的球面上，abc是边长为3的正三角形，sc是球o的直径，且sc=4，则此三棱锥的体积v=【考点】lf：棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】根据题意，利用截面圆的性质即可求出点o到平面abc的距离，进而求出点s到平面abc的距离，即可计算出三棱锥的体积【解答】解：因为abc是边长为3的正三角形，所以abc外接圆的半径r=，所以点o到平面abc的距离d=，sc为球o的直径，点s到平面abc的距离为2d=2，此棱锥的体积为v=，故答案为：16将正整数12分解成两个正整数的乘积有112，26，34三种，其中34是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称34为12的最佳分解当pq（pq且pqn*，）是正整数n的最佳分解时，我们定义函数f（n）=qp，例如f（12）=43=1数列f（3n）的前100项和为3501【考点】8e：数列的求和【分析】当n为偶数时，f（3n）=0；当n为奇数时，f（3n）=2，再利用等比数列的求和公式即可得出【解答】解：当n为偶数时，f（3n）=0；当n为奇数时，f（3n）=2，s100=2（30+31+349）=3501故答案为：3501三、解答题（本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知函数的部分图象如图所示（1）求函数f（x）的解析式；（2）在abc中，角a，b，c的对边分别是a，b，c，若（2ac）cosb=bcosc，求的取值范围【考点】hk：由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式；h2：正弦函数的图象【分析】（1）根据图象求出a， 和，即可求函数f（x）的解析式；（2）利用正弦定理化简，求出b，根据三角内角定理可得a的范围，利用函数解析式之间的关系即可得到结论【解答】解：（1）由图象知a=1，=2，f（x）=sin（2x+）图象过（），将点代入解析式得，故得函数（2）由（2ac）cosb=bcosc，根据正弦定理，得：（2sinasinc）cosb=sinbcosc2sinacosb=sin（b+c），2sinacosb=sinaa（0，），sina0，cosb=，即b=a+c=，即那么：，故得18汉字听写大会不断创收视新高，为了避免“书写危机”弘扬传统文化，某市对全市10万名市民进行了汉字听写测试，调查数据显示市民的成绩服从正态分布n现从某社区居民中随机抽取50名市民进行听写测试，发现被测试市民正确书写汉字的个数全部在160到184之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组160，164），第二组164，168），第六组180，184），如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图（1）试评估该社区被测试的50名市民的成绩在全市市民中成绩的平均状况及这50名市民成绩在172个以上（含172个）的人数；（2）在这50名市民中成绩在172个以上（含172个）的人中任意抽取2人，该2人中成绩排名（从高到低）在全市前130名的人数记为，求的数学期望参考数据：若n（，2），则p（x+）=0.6826，p（2x+2）=0.9544，p（3x+3）=0.9974【考点】cp：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；b8：频率分布直方图【分析】（1）利用组中值代替本组数据计算平均值，和168比较得出结论；求出后3组的面积之和，再乘上总人数得出成绩在172个以上（含172个）的人数；（2）利用正态分布得出全市前130名的成绩，得出50名社区居民中符合条件的人数，使用超几何分布的概率公式得出分布列【解答】解：（1）该社区50名市民的平均成绩为1620.054+1660.074+1700.084+1740.024+1780.024+1820.014=168.72，该社区被测试的50名市民的成绩略高于全市市民的平均成绩50名市民中成绩在172个以上（含172个）的人数为50（0.02+0.02+0.01）4=10（2）p=0.9974，p（180）=（10.9974）=0.0013，0.0013100 000=130全市前130名的成绩在180个以上（含180个），这50人中成绩在180 个以上（含180个）的有2人随机变量的可能取值为0，1，2，p（=0）=，p（=1）=，p（=2）=，e（）=0+1+2=19在四棱锥pabcd中，pab和pbd都是边长为2的等边三角形，设p在底面abcd的射影为o（1）求证：o是ad中点；（2）证明：bcpb；（3）求二面角apbc的余弦值【考点】mt：二面角的平面角及求法；lx：直线与平面垂直的性质【分析】（1）证明po底面abcd，说明点o为abd的外心，然后判断点o为ad中点（2）证明po面abcd，推出bcpo，证明cbbo，bcpo，证明cb面pbo，推出bcpb（3）以点o为原点，以ob，od，op所在射线为x轴，y轴，z轴建系，求出相关点的坐标，平面pab的法向量，平面pbc的法向量，利用空间向量的数量积求解所以该二面角的余弦值即可【解答】解：（1）证明：pab和pbd都是等边三角形，pa=pb=pd，又po底面abcd，oa=ob=od，则点o为abd的外心，又因为abd是直角三角形，点o为ad中点（2）证明：由（1）知，点p在底面的射影为点o，点o为ad中点，于是po面abcd，bcpo，在rtabd中，bd=ba，obad，又，从而即cbbo，由bcpo，cbbo得cb面pbo，bcpb（3）以点o为原点，以ob，od，op所在射线为x轴，y轴，z轴建系如图，ab=2，则o（0，0，0），设面pab的法向量为，则，得，取x=1，得y=1，z=1，故设面pbc的法向量为，则，得s=0，取r=1，则t=1，故，于是，由图观察知apbc为钝二面角，所以该二面角的余弦值为20已知椭圆c： +=1（ab0）的上下两个焦点分别为f1，f2，过点f1与y轴垂直的直线交椭圆c于m，n两点，mnf2的面积为，椭圆c的离心率为（）求椭圆c的标准方程；（）已知o为坐标原点，直线l：y=kx+m与y轴交于点p，与椭圆c交于a，b两个不同的点，若存在实数，使得+=4，求m的取值范围【考点】k4：椭圆的简单性质【分析】（）根据已知设椭圆的焦距2c，当y=c时，|mn|=|x1x2|=，由题意得，mnf2的面积为|mn|f1f2|=c|mn|=，又，解得a、b即可（）设a（x1，y1），b（x2，y2），p（0，y0），分类讨论：当m=0时，利用椭圆的对称性即可得出；m0时，直线ab的方程与椭圆的方程联立得到0及根与系数的关系，再利用向量相等，代入计算即可得出【解答】解：（）根据已知设椭圆的焦距2c，当y=c时，|mn|=|x1x2|=，由题意得，mnf2的面积为|mn|f1f2|=c|mn|=，又，解得b2=1，a2=4，椭圆c的标准方程为：x2+（）当m=0时，则p（0，0），由椭圆的对称性得，m=0时，存在实数，使得+=4，当m0时，由+=4，得，a、b、p三点共线，1+=4，=3设a（x1，y1），b（x2，y2）由，得（k2+4）x2+2mkx+m24=0，由已知得=4m2k24（k2+4）（m24）0，即k2m2+40且x1+x2=，x1x2=由得x1=3x23（x1+x2）2+4x1x2=0，m2k2+m2k24=0显然m2=1不成立，k2m2+40，即解得2m1或1m2综上所述，m的取值范围为（2，1）（1，2）021已知m0，设函数f（x）=emxlnx2（1）若m=1，证明：存在唯一实数，使得f（t）=0；（2）若当x0时，f（x）0，证明：【考点】6b：利用导数研究函数的单调性；6h：利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）m=1时，化简函数f（x）=exlnx2，求出函数的导数，判断函数的单调性，通过f（）0，f（1）0，利用零点判定定理证明即可；（2）求出函数f（x）的导函数，再求出导函数的导数，判断f（x）在（0，+）上为增函数，结合（1）可求f（x）有最小值f（x0）=etlnt+lnm2，进一步得到f（x0）=设h（t）=，利用导数求其在（）上的值域（lnm，lnm+）由f（x）0恒成立可得lnm+0成立，从而得到【解答】证明：（1）当m=1时，f（x）=exlnx2，f（x）=ex，x0f（x）在（0，+）上单调递增，又f（）0，f（1）0，故存在唯一实数t（，1），使得f（t）=0；（2）f（x）=memx，f（x）=0，f（x）