《等差数列的前n项和》课件2.ppt

等差数列的前n项和 新知 定义 设数列 我们把a1 a2 a3 an叫做数列 an 的前n项和 记作Sn 问题提出 从一加到一百有什么方法加最快呢 高斯在10岁时就巧妙地求出了n 100时的结果 S100 1 2 3 4 98 99 100 100 99 98 97 3 2 1 这两个等式上 下对应的和均为101 所以 2S100 101 101 101 101 101 101 因为有100个101 所以 2S100 101 100 10100 S100 5050 问题提出 有200根相同的圆木料 要把它们堆放成正三角形垛 并使剩余的圆木料尽可能的少 那么将剩余多少根圆木料 根据题意 各层圆木料数比上一层多一根 故其构成等差数列 1 2 3 4 设共摆放了n层 能构成三角形垛的圆木料数为Sn 则 Sn 1 2 3 4 n 抽象概括 设Sn是等差数列 an 的前n项和 即 那么根据等差数列 an 的通项公式 上式可以写成 再把项的次序反过来 又可以写成 把 等号两边分别相加 得 n个 于是 首项为a1 末项为an 项数为n的等差数列的前n项和 这个公式表明 等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半 将 代入 式 得 特别地 当a1 1 d 1时 n个连续正整数的和 圆木料问题 即转化为求满足 的最大自然数n 此时 将堆垛19层 剩余10根圆木料 例1 求n个正奇数的和 解 由等差数列前n项和公式 得 也可用面积图来表示 例2 在我国古代 9是数字之极 代表尊贵之意 所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计 例如 北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成 最高一层的中心是一块天心石 围绕它的第一圈有9块石板 从第二圈开始 每一圈比前一圈多9块 共有9圈 请问 1 第9圈共有多少块石板 2 前9圈一共有多少块石板 解 1 设从第1圈到第9圈石板数所在成数列为 an 由题意可知 an 是等差数列 其中a1 9 d 9 n 9 由等差数列的通项公式 得第9圈有石板 2 由等差数列前n项和公式 得前9圈一共有石板 答 第9圈有81块石板 前9圈一共有405块石板 块 块 例3 在数列 an 中 an 2n 3 求这个数列自第100项到第200项之和S的值 解 由于 所以数列 an 是公差为2的等差数列 此数列自第100项到第200项仍是等差数列 共有101项 所求和为 例4 在新城大道一侧A处 运来20棵新树苗 一名工人从A处起沿大道一侧路边每隔10m栽一棵树苗 这名工人每次只能运一棵 要栽完这20棵树苗 并返回A处 植树工人共走了多少路程 解 植树工人每种一棵树并返回A处所要走的路程 单位 m 组成了一个数列 0 20 40 60 380 这是首项为0 公差为20 项数为20的等差数列 其和 答 植树工人共走了3800m的路程 1 已知一个数列的前n项和为 解 当 求它的通项公式 它是等差数列吗 当n 1时 1 n 1 2n n 2 数列 an 中每一项与前一项的差不是同一个常数 an 不是等差数列 课堂练习 2