2015届高考理科数学一轮-第九章-计数原理、概率复习题解析9.7离散型随机变量及其分布列

第7课时离散型随机变量及其分布列1理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性2理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用对应学生用书P181【梳理自测】一、离散型随机变量的分布列1抛掷均匀硬币一次，随机变量为()A出现正面的次数B出现正面或反面的次数C掷硬币的次数D出现正、反面次数之和2(教材改编)已知随机变量X的分布列为：P(Xk)，k1,2，则P(2X4)等于()A.B.C. D.3在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，写出这两次取出白球数的分布列为_答案：1.A2.A3.012P以上题目主要考查了以下内容：(1)如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量；按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量(2)设离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，xi，xn，X取每一个值xi(i1,2，n)的概率P(Xxi)pi，则称表Xx1x2xixnPp1p2pipn为随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，具有性质：pi0，i1,2，n；p1p2pipn1.二、两点分布及超几何分布1(教材改编)设某运动员投篮投中的概率为P0.3.则一次投篮时投中次数的分布列是_2一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X4)的值为()A.B.C.D.答案：1.X01P0.70.32.A以上题目主要考查了以下内容：(1)如果随机变量X的分布列为X10Ppq其中0p1，q1p，则称离散型随机变量X服从参数为p的两点分布(2)在含有M件次品数的N件产品中，任取n件，其中含有X件次品，则事件Xk发生的概率为：P(Xk)(k0,1,2，m)，其中mminM，n，且nN，MN，n、M、NN*，则称分布列X01mP为超几何分布列【指点迷津】1一类表格离散型随机变量的分布列实质是进行数据处理的一种表格第一行数据是随机变量的取值；第二行数据是第一行数据代表事件的概率利用离散型随机变量的分布列，很容易求出其期望和方差等特征值2两条性质(1)第二行数据中的数都在(0,1)内；(2)第二行所有数的和等于1.3三种方法(1)由统计数据得到离散型随机变量分布列；(2)由古典概型求出离散型随机变量分布列；(3)由互斥事件、独立事件的概率求出离散型随机变量分布列对应学生用书P182考向一离散型随机变量分布列的性质设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.3m求：(1)2X1的分布列；(2)|X1|的分布列【审题视点】先求出m的值：2X1每个值对应的概率与X的概率相同，|X1|可取0,1,2,3分别求对应概率之和【典例精讲】由分布列的性质知：0.20.10.10.3m1，m0.3.首先列表为：X012342X113579|X1|10123从而由上表得两个分布列为：(1)2X1的分布列：2X113579P0.20.10.10.30.3(2)|X1|的分布列：|X1|0123P0.10.30.30.3【类题通法】(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值(2)随机变量所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率1设随机变量的分布列为Pak(k1,2,3,4,5)，则常数a的值为_，P_.解析：由题意可得a2a3a4a5a1，a，P()P()P()P()345.答案：考向二离散型随机变量的分布列(2014广州市高三调研)某市A，B，C，D四所中学报名参加某高校今年自主招生的学生人数如下表所示：中学ABCD人数30402010为了了解参加考试的学生的学习状况，该高校采用分层抽样的方法从报名参加考试的四所中学的学生当中随机抽取50名参加问卷调查(1)问A，B，C，D四所中学各抽取多少名学生？(2)从参加问卷调查的50名学生中随机抽取2名学生，求这2名学生来自同一所中学的概率；(3)在参加问卷调查的50名学生中，从来自A，C两所中学的学生当中随机抽取2名学生，用表示抽得A中学的学生人数，求的分布列【审题视点】根据分层抽样求A，B，C，D各抽取的人数，根据古典概型求2名人来自同一中学的概率，A中学的人数可取0,1,2，由古典概型求概率，写分布列【典例精讲】(1)由题意知，四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为100，抽取的样本容量与总体个数的比值为.应从A，B，C，D四所中学抽取的学生人数分别为15,20,10,5.(2)设“从参加问卷调查的50名学生中随机抽取2名学生，这2名学生来自同一所中学”为事件M，从参加问卷调查的50名学生中随机抽取2名学生的取法共有C1 225(种)，这2名学生来自同一所中学的取法共有CCCC350(种)P(M).故从参加问卷调查的50名学生中随机抽取2名学生，这2名学生来自同一所中学的概率为.(3)由(1)知，在参加问卷调查的50名学生中，来自A，C两所中学的学生人数分别为15,10.依题意得，的可能取值为0,1,2，P(0)，P(1)，P(2).的分布列为：012P【类题通法】(1)分布列的表示方法分布列可由三种形式，即表格、等式和图象表示在分布列的表格表示中，结构为2行n1列，第1行表示随机变量的取值，第2行是对应的变量的概率(2)求分布列的步骤第一步：明确随机变量的取值范围；第二步：求出每一个随机变量取值的概率；第三步：列成表格2(2014温州市调研)从装有大小相同的2个红球和6个白球的袋子中，每摸出2个球为一次试验，直到摸出的球中有红球(不放回)，则试验结束(1)求第一次试验恰好摸到一个红球和一个白球的概率；(2)记试验次数为X，求X的分布列及数学期望E(X)解析：(1)记“第一次试验恰好摸到一个红球和一个白球”为事件A，则P(A).(2)由题知X的可能取值为1,2,3,4.则P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4).X的分布列为X1234PE(X)1234.考向三超几何分布PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物根据现行国家标准GB30952012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标从某自然保护区2013年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：P M2.5日均值(微克/立方米)25，35(35，45(45，55(55，65(65，75(75，85频数311113(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；(2)从这10天的数据中任取3天数据，记表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求的分布列；(3)以这10天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况，则一年(按366天计算)中平均有多少天的空气质量达到一级或二级(精确到整数)【审题视点】(1)10天中有3天为一级，4天为二级的，3天为超标的，按超几何分布求概率(2)一年中平均达到一级或二级的天数服从二项分布【典例精讲】(1)记“从10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A，则P(A).(2)依据条件，服从超几何分布，其中N10，M3，n3，的可能取值为0,1,2,3，P(k)(k0,1,2,3)，其分布列为：0123P(3)依题意可知，一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为P，设一年中空气质量达到一级或二级的天数为，则B(366,0.7)，E3660.7256.2256，一年中平均有256天的空气质量达到一级或二级【类题通法】1.在超几何分布中，只要知道N，M和n，就可以根据公式，求出X取不同值m时的概率P(Xm)，从而列出X的分布列2一旦掌握了X的分布列，就可以算出相应事件的概率3(2014湖北省八校联考)某市准备从7名报名者(其中男4人，女3人)中选3人参加三个副局长职务竞选(1)设所选3人中女副局长人数为X，求X的分布列及数学期望；(2)若选派三个副局长依次到A、B、C三个局上任，求A局是男副局长的情况下，B局为女副局长的概率解析：(1)依题意，X可取0,1,2,3，P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)，故X的分布列为X0123PEX0123.(2)记D“A局是男副局长”，E“B局是女副局长”，则P(E|D).对应学生用书P183 (2012高考大纲版全国卷改编)乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换每次发球，胜方得1分，负方得0分设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立甲、乙的一局比赛中，甲先发球(1)求开始第4次发球时，甲、乙的比分为12的概率(2)表示开始第4次发球时乙的得分，求的分布列【方法分析】题目条件：比赛规则：双方各发两次球，胜得1分，发球方胜的概率为0.6，属于独立事件解题目标：开始第4次发球时，甲、乙比分为12的概率及乙的得分和相应的概率关系探究：()甲、乙比分为12转化为以下两种情况：第一种是第1次和第2次发球，甲共得1分，第3次发球时甲未得分；第二种情况是第1次和第2次两次发球，甲共得0分，第三次发球时甲得1分()乙得分的值可以为0,1,2,3.【解题过程】记Ai表示事件：第1次和第2次两次发球，甲共得i分，i0,1,2.A表示事件：第3次发球，甲得1分B表示事件：开始第4次发球时，甲、乙的比分为12.(1)BA0AA1，2分P(A)0.4，P(A0)0.420.16，P(A1)20.60.40.48.4分P(B)P(A0AA1)P(A0A)P(A1)P(A0)P(A)P(A1)P()0.160.40.48(10.4)0.352.6分(2)P(A2)0.620.36.可能的取值为0,1,2,3.P(0)P(A2A)P(A2)P(A)0.360.40.144.P(2)P(B)0.352，P(3)P(A0)P(A0)P()0.160.60.096.8分P(1)1P(0)P(2)P(3)10.1440.3520.0960.408.10分的分布列为0123P0.1440.4080.3520.09612分【回归反思】(1)第一问包含的两种情况是互斥事件，故采用和事件概率，每一种情况中又含着独立事件，故采用乘法计算A0表示甲第1次发球和第2次发球共得0分，每次发球是独立事件(2)乙得分为随机变量，可取0,1,2,3，其中0易忽略计算其概率时，先计算0,2,3的概率，利用分布列的性质计算1的概率1(2013高考江西卷)小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队游戏规则为：以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X.若X0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队(1)求小波参加学校合唱团的概率；(2)求X的分布列和数学期望解析：(1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C28种，当X0时，两向量夹角为直角，共有8种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为P(X0).(2)两向量数量积X的所有可能取值为2，1,0,1，X2时，有2种情形；X1时，有8种情形；X1时，有10种情形所以X的分布列为X2101PEX(2)(1)01.2(2013高考天津卷)一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3张，编号分别为2,3,