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借助数形结合 发展核心素养数与形教学案例分析麻城市第一实验小学 李友丹【教学背景】数与形是人教2011版六年级上册数学教材第八单元数学广角的内容。数形结合是一种非常重要的数学思想，把数和形结合起来解决问题，可以使复杂的问题变得更简单，使抽象的问题变得更直观，在以前的学习中，学生已经接触过“数形结合”思想，经常有数形结合的练习题，数形结合思想在学生头脑中已经初步形成，只是以前的练习比较分散，没有作为独立的单元进行系统的学习。这节课通过一些特殊的计算，让学生进一步体会数与形之间的内在联系，具体观察图形发现规律，有一定的难度，在解题时，老师要引导学生往“数形结合”思想这一方面靠拢，引导学生发现规律，并运用规律，渗透一些数学思想，提高学生解决问题的能力。六年级学生具备一定的动手操作能力、探究能力、语言表达能力，这为本节课学生自主探究规律创造了条件。数与形相结合的例子在小学数学教材与教学中随处可见。有些情况下，是图形中隐含着数的规律，可利用数的规律来解决图形的问题。本单元的例1以及相关练习就属于这种情况。作为教材新增的内容，我们考虑最多的还是目标的定位问题。恰逢我校正在进行研究省级课题基于小学数学核心素养的课堂教学策略研究，我确定本节课的教学目标如下：1、使学生通过自主探究发现图形中隐藏着的数的规律，并会应用规律。 2、使学生会利用图形来解决一些有关数的问题，并用数的规律解释图形的排列规律。3、使学生在解决实际问题的过程中,体会和掌握数形结合、归纳推理等基本的数学思想，发展学生的核心素养。重点：引导学生通过探索在数与形之间建立联系、发现规律，解决相关问题。难点：运用数形结合的方法探究规律的过程和解决问题时的运用，提高学生分析问题的能力，发展学生的核心素养。【课堂写真】一、激发兴趣，导入新课 师：同学们！老师这周又学会了一绝招，那就是像这样的算式老师也能很快算出他们的结果（课件出示算式：13579+11=、1+3+5+17+19=、1+3+5+97+99=），你们信吗？师：首先来看看这些算式有什么特点？（根据学生的回答板书：“从1开始的几个连续奇数的和”）老师到底能不能很快算出来呢？我们比比看行吗？请一个同学在这几道题中选一题或自己重新出一道这样的题，我们同时开始好吧!请准备好草稿纸和笔，用计算器也行。XX同学请出题。师生同时做题。想知道老师是怎么算得这么快的吗？（想）是老师直接告诉你们方法，还是大家一起研究一下呢？（我们自己研究）师：其实这种速算源于拼图游戏里的发现，今天我们也到游戏中来研究“数与形”。（板书课题：数与形）【设计意图】充分利用现有资源，引导学生自主质疑，引发由数到形的数学思考和研究。二、动手动脑、探究新知1.通过拼摆小正方形，初步感受数与形的联系师：复杂的问题，我们通常从简单的入手。（1）比如，我手里拿的这一个小正方形，可以用数字几来表示？（1，贴上1个正方形，并板书1.）请你也拿出一个小正方形。（2）至少再拼几个这样的小正方形就能拼成一个较大的正方形呢？（3个）请动手拼一拼。（3）谁能说说你是怎么拼的？（原来有一个，再拿三个往它旁边一围就成了。）把你的拼法呈现在黑板上。（4）现在共有几个小正方形？（4个）可以怎样算出来呢？生1:1+3=4（板书1+3，请你说一说1和3分别在哪儿？）生2:224（请你说一说两个2分别指什么？）（5）“22”还可以写成什么？（2的平方）老师板书22，1+3和2的平方都表示这个大正方形里一共有4个小正方形，所以1+3和2的平方是？（相等的）板书“=”。（6）猜猜看，在这个基础上再加几个小正方形又能拼一个更大的正方形呢？（5个）动手拼一拼吧！（学生开始拼图。）（7）谁能说一说你是怎么拼的？把你的拼法呈现在黑板上。（8）现在共有几个小正方形？（9个）你是怎么算出来的？生1:1+3+5=9（老师板书1+3+5，请你说一说5在哪里？）生2:339（老师请你说一说两个3分别指什么？）（9）“33”还可以写成什么？（3的平方）老师板书32，1+3+5和3的平方都表示这个大正方形里一共有9个小正方形，所以1+3+5和3的平方是？（相等的）板书“=”。（10）4个小正方形和9个小正方形分别可以看22和32，那么1个小正方形呢？（12）2.观察比较，发现规律（1）观察这几个算式左边的加数，你发现了什么？（2）学生观察讨论后汇报。（从1开始的连续奇数）（3）式子右边几的平方与左边的加数的个数有什么关系？把你的发现在小组里说一说吧！（4）指名汇报。（5）如果求从1开始的“n”个连续奇数相加的和，和是？（n的平方）板书：n2【设计意图】形中发现数的规律，同时利用图形的排列规律证明了数的规律。（6）按照这个规律，在1+3+5的基础上再加上一个奇数，该加上几呢？（7）猜一猜和是多少呢？（16，因为1+3+5+7共有4个加数。） 课件画图检验一下： 1=12 1+3=22 1+3+5=32 1+3+5+7=42 这个式子再次证明了：从1开始的n个连续奇数相加的和，和是n2。（6）你能利用规律直接写一写吗？请在课本第107页完成。 1+3+5+7+9+11+13=（ ） =92 你是怎么想到1+3+5+7+9+11+13+15+17=92的？（）我看到9的平方，我想到了一个边长9格的大正方形里包含着81个小正方形，我们来涂色看看这81个小正方形是不是由1到17的连续奇数相加的和？课件检验。看来同学们研究的结论很有效，其实老师用的就是这个结论。这个结论是？大家齐读一遍吧！从1开始的n个连续奇数相加的和，和是n2。【设计意图】1.放手让学生动手拼摆，在实践中获取数学知识； 2.发挥“动车组”（小组讨论）合力作用，擦亮未来数学家思维碰撞的火花；3.图形验证学生的猜想1+3+5+7=42，让学生体会图形的排列中包含数的规律，数的运算可以用图形来直观解释；4.及时应用，让学生的发现更有价值。三、活学活用、巩固新知你能应用这个规律解决下面的问题吗？1.课本第108页“做一做”第1题。（1）请根据例1的结论算一算。把书翻到课本第108页，独立完成“做一做”第1题。（2）指名汇报，请说明你是怎么算的？（3）根据学生的回答电脑逐一出示：1357531=42+32=25、1357911131197531=72+62=85 2. 课本第108页“做一做”第2题。（1）下面每个图中各有多少个红色小正方形和多少个蓝色小正方形？（2）照这样接着画下去，第6个图形有多少个红色小正方形和多少个蓝色小正方形？62618（个）（3）你发现什么规律了吗？（4）第10个图形呢？（5）第100个图形呢？你是怎么算出来的？【设计意图】通过两个练习，让学生进一步体会数形结合的特点，感受用形来解决数的有关问题的直观性与用数和数的运算来表达图形的排列规律的简捷性。在练习中充分让学生动脑、动口、动手，在交流中发现特点，解决问题。四、全课小结、强化新知1.通过这节课的学习，你有什么收获能跟大家分享一下吗？（全班交流）2.引导小结：正如华罗庚先生所说“数形结合百般好，隔离分家万事非。”3.现在知道老师刚才为什么算得这么快了吧！学生质疑：怎样求从1开始的一列连续奇数共有多少个呢？生1：最大的奇数加上1的和再除以2的商就是这一列奇数的个数。生2：因为第n个奇数是2n-1，所以可以利用最后的一个奇数倒推出n。4.如果这样的问题还能用例1的规律解决吗？3579=5.宣布下课。【设计意图】1.体会数学在生活中的应用价值，生活离不开数学；2.渗透数学文化教育，突出“数形结合”的好处；3.培养学生“举一反三”的能力。五、板书。数与形从1开始的n个连续奇数的和等于n21=121+3=221+3+5=32【分析研究】经历数与形5次修改教学设计，5次磨课研课，再加上基于小学数学核心素养的课堂教学策略研究课题的实践研究,我们关注发展学生的数学核心素养比较多，结合数与形这课，我想借助数形结合思想谈谈如何帮助学生发展核心素养。1引导学生借助数形结合思想，发展学生核心素养之数感和数据分析观念。形的问题中包含着数的规律，数的问题也可以用形来帮助解决，教学时，既可以从数的角度出发，让学生看看可以怎样用图形来表示数的规律，也可以让学生寻找图形中所包含的数的规律。通过数与形的对应关系，互相印证结果、感受数学的魅力。发现“和”都是“平方数”，再通过图形的规律理解“平方数”（即正方形数）的含义，并让学生大胆说出自己发现的其他规律，从不同角度寻找规律，例如从第一个图到第三个图，每次增加多少个小正方形，用加法怎样列式，加数都是连续奇数，这些奇数在图中什么地方，从而对规律形式更直观的认识。让学生在具体的问题情境中进行数据分析与比较，并作出正确而合理的判断，从而培养学生的数感和数据分析能力。2. 引导学生借助数形结合思想， 发展学生核心素养之几何直观和空间观念。小学六年级的学生已具备初步的逻辑思维能力，但仍以形象思维为主，教材在小学中年级的数学教学中，已经逐渐借助推理与知识迁移来完成，并结合教材挖掘、创造条件开始渗透数形结合思想。高年级学生逻辑思维能力已有一定发展，为了使学生更直观的理解知识，同时又满足学生逻辑思维能力的发展，因此本课教材在编排上体现了先“数”后“形”的顺序，把形象真正放在“支撑”地位，课中，我引导学生在形中发现数的规律，又用形来验证数的规律,体现了几何直观的优势；我又让学生“猜一猜在1+3+5的基础上再加上一个奇数，该加上几呢？和是多少呢？” 学生要想象“7”加在哪里？加了7 以后会是4的平方吗？孩子们会自觉在几何直观的基础上展开空间想象。3. 引导学生借助数形结合思想，发展学生核心素养之推理能力和运算能力。因为要研究“从1开始的连续奇数的和的速算”才展开系列的研究活动。在拼图活动中发现：1=12，1+3=22,，1+3+5=32，然后引导学生思考：式子右边几的平方与左边的加数的个数有什么关系？计算一个数的平方比求一列数的和要简单多了，为了提高运算能力，学生希望这组数的和是某的数的平方，这仅只是推理，然后增加奇数进行验证，证明推理“从1开始的几个连续奇数的和等于这组数的个数的平方。”学生在数形结合猜想验证的过程中发展推理能力，提高运算能力。4. 引导学生借助数形结合思想，发展学生核心素养之符号意识和模型思想。借助图形，学生已经推导出“从1开始的几个连续奇数的和等于这组数的个数的平方。”老师顺势而为，问：如果是从1开始的n个连续奇数相加的和，和怎么表示?这时候学生会自然而然想到用符号“n”，并建立了“如果是从1开始的n个连续奇数相加的和等于n2”这样的模型，并由此在本课小结时有学生产生这样的疑问：怎样求从1开始的一列连续奇数共有多少个呢？完善了对模型思想的认识。5. 引导学生借助数形结合思想，发展学生核心素养之应用意识和创新意识。经历数形结合的整个研究过程，学生已经建立模型，然而实际问题中奇数数列有倒序排列、有在一个算式里有时有两个或两个以上的奇数数列、还有不完整的奇数数列，他们都能迁移类推到刚刚学会的模型上来，说明孩子们有极强的应用意识。在这节课中也有一些同学有着了不起的创新意识