流体力学 第三章.ppt

第三章流体静力学 流体静力学就是研究平衡流体的力学规律及其应用的科学 静止 或者说平衡 是指流体宏观质点之间没有相对运动 达到了相对的平衡 静止 绝对静止 相对静止 流体对地球无相对运动 但流体对运动容器无相对运动 流体质点之间也无相对运动 本节课讨论的主要内容 3 1流体静压强及其特性3 2流体平衡方程式注意梯度 旋度 微分算子等概念 3 1流体静压强及其特性 一 静压强 静止的流体无相互运动不表现出黏性 即不存在摩擦力 剪力 切向应力为零 只存在法向应力即压力 应力处处与其作用面垂直 流体静压强就是负的法向应力 即 二流体静压强的特性 1 流体静压强方向必然重合于受力面的内法线方向 即流体静压强的方向沿作用面的内法线方向 假设 在静止流体中 流体静压强方向不与作用面相垂直 与作用面的切线方向成 角 切向压强pt 法向压强pn 则存在 流体要流动 与假设静止流体相矛盾 2 压强大小跟受力面位置的关系通常 压强的大小跟受力面的位置 或说方向 有关 但是对于静止流体 流体中任一点流体静压强的大小与其作用面在空间的方位无关 只是该点坐标的连续函数 也就是说 静止流体中任一点上不论来自何方的静压强均相等 证明取如图微元面体 认为作用在各个面上的压强均匀分布的 Y方向上的力平衡 由于 因此 当四面体向A点收缩时 3 2流体平衡方程式 1 平衡方程式取一个矩形微元六面体 其六个面分别与坐标轴平行 设微元中心处的压强为p 由于这是个微小体积 因此认为六个面上的压强各自均匀分布 常用面向中心来代表 而面上中心处的压强又可以围绕六面体中心做Taylor展开 并忽略二阶以上的高阶量 则A B点的静压强为 假设 为六面体的平均密度 为作用在六 面体内单位质量流体上的质量力沿坐标的分力 则x方向的平衡方程为 流体平衡的欧拉方程 2压强差公式及等压面 静压强全微分 欧拉方程代入 压差公式 压强相等的各点组成的面称为等压面 即 作用于静止流体中任一点的质量力必垂直于通过该点的等压面 静止流场基本特性 1 流体静止时质量力必须满足的条件对静力学基本方程两边取旋度 有 则有 由于 所以有 即流体静止的必要条件 在直角坐标系中为 例 设在一流场中有质量力 问 当 v取何值时 该流场是静止的 解 流场中流体静止的条件是质量力满足式 对给定的质量力求偏导数 在直角坐标系中的表达式为 将其带入流体静止条件得 要使上式恒成立 只能是各项的系数为零 即 解三元一次方程组得 只有满足上述条件时 该流场中的流体才是静止的 2 质量力有势对于不可压缩流体 其密度 const 则 所以 这是不可压缩流体静止的必要条件 两边取旋度 流体质量力满足这个关系就称为质量力有势 因此质量力有势是不可压缩流体静止的必要条件 U被称为质量力势函数 右边的负号表示质量力作正功等于质量力势的减少 流体的密度只随压强变化的正压流场 压强差公式 总结 流体静压强及其特性掌握静止的概念 静压强的特性 理解原理 流体平衡方程式 掌握 理解 预习 3 3重力场中流体的平衡珀斯卡原理3 4液柱式测压计3 5流体的相对平衡 3 3重力场中流体的平衡 单位质量力的分力各为 代入压差公式 流体静力学基本方程式 一 流体静力学基本方程式 基本方程不同表达 重力作用下静止流体中各点的单位重量流体的总势能是相等的 物理意义 单位重量流体对某一基准面的位势能 单位重量流体的压强势能 位势能和压强势能之和称为单位重量流体的总势能 z c 例 对于a b两点 有 重力作用下的连续均质不可压缩静止流体中 各点单位重量流体的总势能保持不变 考察a点和自由液面上的某点列静力学基本方程式 帕斯卡原理 帕斯卡原理 施于在重力作用下不可压缩流体表面上的压强 将以同一数值沿各个方向传递到流体中的所有流体质点 几何意义 1 单位质量流体所具有的能量用液柱高度来表示 称为水头 位置水头 2 压强作用下 在完全真空的测压管中测得的高度叫压强水头 3 位置水头与压强水头的和称静水头 各点静水头的连线叫静水头线 1 在重力作用下的静止液体中 静压强随深度按线性规律变化 即随深度的增加 静压强值成正比增大 三个重要结论 2 在静止液体中 任意一点的静压强由两部分组成 自由液面上的压强p0 该点到自由液面的单位面积上的液柱重量 gh 3 在静止液体中 位于同一深度 h 常数 的各点的静压强相等 即任一水平面都是等压面 二 标准大气的压强分布 对流层 从海平面到11000m 同温层 11000m到20100m 近似 积分限 三 绝对压强 计示压强 绝对压强 以完全真空为基准计量的压强 液面上的压强就是大气压强时 则a点的绝对压强为 计示压强 以当地大气压强为基准计量的压强 a点的计示压强为 可正可负 绝对压强小于当地大气压强的负计示压强又称真空 3 4液柱式测压计 1 测压管结构简单 测量准确 缺点 只能测量较小的压强 2 U形管测压计 测压 测真空度 计示压强 测压管 3 U形管压差计 4 倾斜微压计5 补偿式微压计 一 直线等加速运动容器中的静止液体一个盛有液体的容器相对于地面作直线匀加速运动 其加速度为 若将非惯性坐标系固定在容器上 则由达朗贝尔原理 该非惯性坐标系中的流体将受到惯性力的作用 且单位质量流体受到的惯性力为 a 3 5液体的相对平衡 将上式代入基本方程得 于是容器中单位质量流体的质量力就由惯性力和重力两部分组成 其直角坐标系下的分量式为 一般性 课本中 如图有 代入下式 等压面 边界条件 压力方程 自由液面 adx gdz积分得z ax g c自由液面通过原点 则c 0 则自由液面方程为 说明自由液面是斜率为 a g的倾斜平面 此外 槽车内液体的压力分布为 改写成 此式表明 在非惯性坐标系中 静止液体中压力同样只是液体深度的函数 练习 一加满水的柱体直径为30cm 60cm高 问逐渐加上多少加速度会溢出1 4的水量 1 2的水量 全部的水量 二 等角速度旋转容器中液体的平衡 代入压强差公式 积分 边界条件 回顾 1 重力场中流体的平衡帕斯卡原理掌握静力学基本方程式 理解其物理意义及几何意义 掌握帕斯卡原理 了解标准大气的压强分布 掌握绝对压强及计示压强 2 液柱式测压计 理解原理 3 液体的相对平衡掌握水平直线等加速运动容器及等角速旋转容器中液体的相对平和规律 要求 1 课后仔细理解书中的例题 2 复习 3 预习 第三章的剩余部分 作业 3 3 3 4 3 5 3 7 面积矩 平面图形对某一轴的面积矩S等于此图形中各微面积与其到该轴距离的成绩的代数和 也等于此图形的面积与此图形的形心到该轴距离的乘积 合力矩定理 平面力系的合力对平面上任一点之矩 等于各分力对同一点之矩的代数和 惯性矩 面积元素至y轴或z轴距离平方的乘积 平行移轴定理 该截面对P轴的截面惯性矩等于对与P轴平行的形心轴 x轴 的截面惯性矩与其截面面积和两轴 P轴和x轴 间距离平方的乘积之和 水平壁面的总压力 图2 22中四容器底面总压力相等 作用在容器底面的总压力不能与容器所盛液体的重力相混淆 3 6静止液体作用在平面上的总压力 1总压力的大小 液深不同 静压强不同 但方向均垂直指向平面A 组成一平行力系 问题 平行力系的合成问题 微元面积上的压强 沿面积A积分 平面A对ox轴的面积矩 C为形心 式中 Ix为平面A对Ox轴的惯性距 由惯性距性质进一步分析可知 压力中心D永远在形心c的下方 2总压力的作用点D 总压力的作用线与平面的交点 合力矩定理 惯性矩 根据惯性矩平行移轴定理 代入 曲面上压力体的重力 3 7静止液体作用在曲面上的总压力 1 总压力的大小和方向 水平分力 垂直分力 总压力大小 总压力与垂线间的夹角 2作用点 如图2 26 垂直分力通过压力体重心指向受压面 水平分力通过压力中心指向受压面 总压力作用线通过两条线交点与垂线成角指向受压面 与受压面交点即为作用点 3压力体如图2 27 液体作用在曲面上的总压力的垂直分力等于压力体的液体重力 但并非作用在曲面上的一定是它上面压力体的液体重力 3 8静止液体作用在潜体和浮体上的浮力完全浸没或部分浸没在液体中的物体 要受到液体对它的作用力 其合力称之为浮力 表示为 其中 表示dA上的压力与相反 A为物体表面面积 为表面单位法线矢量 p为物体表面所受的压力 完全浸没物体的浮力对于一个完全浸没在液体中的物体 物体体积为V 表面积为A液体密度为 自由液体与大气接触 大气压为p0 物体表面所受压力为 以坐标原点为参数点 则浮力为 由于p0为常数 故有根据奥 高公式有 上式表明 物体所受到的浮力等于其所排开的液体的重量 方向垂直向上 即阿基米德定律 部分浸没物体的浮力 物体的浮力可写成 假定沿自由液面切割物体 物体切割面的面积为A0 显然有 于是A1 A0构成封闭面 应用奥 高公式有 上式表明 部分浸没的物体受的浮力同样等于其所排开的液体的重量 方向垂直向上 于是可将液体中的物体受的浮力写成 阿基米德原理 液体作用在沉没物体上的总压力的方向垂直向上 大小等于沉没物体所排开液体的重力 课本 物体浮出水面 平衡 潜体 物体下沉 例3 6 如图 一矩形闸门两面受到水的压力 闸门宽度试求作用在闸门上的总压力及其作用点 解 例题 以上作用点是分别以闸门两侧液面交点为基准 转为以o点为基准的力矩平衡式为 例3 7 一柱形闸门如图 闸门宽度 试求作用于曲面上的总压力 解 水平分力 垂直分力 总压力大小 方向 例3 10 汽油容器底部有一的圆阀 阀芯用拽绳系于的柱形浮子上 浮子与阀芯的总质量 汽油密度 拽绳长度 试求开启圆阀的液面高度 解 浮力 向下的力 两力相等得开阀液面高度 本章概念汇总 1 流体静力学 研究流体处于平衡的力学规律 2 静止状态 流体相对于惯性系没有运动的状态 3 相对静止状态 流体相对于惯性系有运动 而对某非惯性系没有运动的状态 4 静止状态的流体不呈现粘性 所以静力学的结论对理想流体和粘性流体均适用 5 流体静压强 流体中某点的静态压强 6 作用于静止流体中任一点的质量力必垂直于通过该点的等压面 当质量力只有重力时 静止液体的等压面一定是水平面 7 在重力作用下的连续均质不可压缩静止流体中 各点总势能保持不变 8 静止流体中任一点的静压强等于自由表面压强与液柱压强之和 9 绝对压强 以完全真空为基准计量的压强 10 计示压强 以当地大气压强为基准计量的压强 11 作用在容器底面的总压力不能与容器所盛液体的重力相混淆 12 液体作用在曲面上的总压力的垂直分力等于压力体的液体重力 但压力体内并非一定容有液体 13 液体作用在沉没物体上的总压力的方向垂直向上 大小等于沉没物体所排开液体的重力 作业 3