数学广角教学设计.doc

数与形1、 教学内容： 人教版，第八单元，第107页。二、教学目标：1、使学生通过自主探究会利用图形来解决一些数的问题。2、使学生发现图形中隐含着数的规律，并会应用所发现的规律。3、使学生在解决问题的过程中，体会和掌握数形结合，归纳推理等基本的数学思想。三、教学过程：（一）、直接揭题：同学们，今天我们来学习数与形（板书）。小学阶段我们对数与形已经有了一定的了解，那么数与形之间到底有什么关系呢？这就是我们今天要研究的内容。（二）、探索新知：1、以形助数首先我们来看这样一道题目，1+3+5+7+99=?（板书）（1）、猜想：思考问题我们先从观察题目特征入手。谁能说一说等号左边的加数有什么特征呢？生1：都是等差数列。师：真不错！再想一想，这些数都是什么数呢？生2：都是奇数（板书）。师：很好，是什么样的奇数相加呢？从几开始？谁能把这句话完整的说一遍。生2：从一开始，连续的奇数相加（板书）。师：那么，从1开始，连续的奇数相加的和等于多少呢？（让学生到黑板前讲解）生1：（1+99）+（2+98）+（49+51）=10025=2500生2：（1+99）+（2+98）+（99+1）=100502=2500生3：（1+99）502=2500引导学生思考，左边有多少个加数？你是怎么想的？（板书：50个数）。再观察右边的结果2500，是谁的平方呢？等于50（板书）。最后，再来观察整个算式，你有什么发现吗？能把你的发现说完整吗？引导学生猜想：从1开始，连续的奇数相加的和=加数个数的平方（板书）。这真是一个大胆的猜想，如果猜想正确，我们再遇到这种类型的题目，答案便可脱口而出了。（2）、验证：怎样验证这个猜想呢？复杂的问题我们先从简单的入手。从1开始，一个奇数相加，1是不是=1？两个奇数相加，1+3=？是不是=2？三个奇数相加，1+3+5=？是不是=3？像这样一一列举，能写的完吗？这里面一定藏有什么道理，到底是什么呢？（给与一定时间思考，当学生遇到困难时再给与提示）看来这的确是个难题，想一想，数的问题我们能不能借助图形来帮忙呢？从1开始，由1，你能想到什么图形？生：正方形。师：什么样的正方形呢？生：边长为1的正方形，面积为1。师：2有几个这样的小正方形组成？想一想：这个2在图中表示什么？生：一排有2个，一共有2排。22=4。师：3有几个边长为1的正方形组成？3在图中表示什么？生：33=9个。那么这些连续的奇数在正方形中的什么位置？下面我们在小组活动中来研究这个内容。、小组活动：找学生阅读活动要求。、展示交流。提问：能具体说一说你是怎么画的吗？思考：我们来看这3幅图，从左往右看，加数个数在不断增加，所拼成的正方形越来越大。那么加数的个数和所拼成的正方形大小有什么关系呢？1个加数表示1层，有几个加数就有几层，是吗？想一想这个层数实际上就是大正方形的什么？每条边上正方形个数。（3）、归纳总结：哦，原来这些连续的奇数相加的和可以表示为一个大正方形（板书），大正方形中小正方形的个数=每条边上正方形个数（板书）。瞧，这么复杂的数学问题结合图形的直观演示，我们得出这个猜想是正确的。那么照这样的方法，第四个图形的样子你能想出来吗？2、以数解形换个角度想一想，图形中会不会还有其他的规律呢？你们同意吗？你能从不同的角度进行观察，真是一个会思考的孩子!我们一起来看。你能用算式表示吗？生：1+2+3+4+3+2+1=4观察这个算式你有什么新的发现，多有意思的发现呀，你能结合图形来分析这个发现吗？（为什么它们相加的和=最中间数？）最中间正方形的个数和每条边上正方形的个数有什么关系呢？我们之前研究的图形是否也有这样的规律呢？认真观察，先说一说这组算式中加数的特征？你得到了什么结论？结论：从1开始，连续的自然数相加（板书：1+2+3+），加到N，再倒过来加到1，相加的和=N（注意N加几次）。（读一遍）板书：1+2+3+n+(n-1)+(n-2)+3+2+1=n（3） 、巩固练习。 根据我们所发现的规律，这些题目的结果你们能脱口而出吗？1、算一算1+3+5+7+9+11+13+15=1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=1+3+5+7+5+3+1=（四）、课时小结同学们，你们今天的表现实在是太棒了，你们像一个小数学家那样，经历了观察猜想验证归纳总结之后，最终收获了知识。而最重要的是在这个探索的过程中，我们深深地感受到数与形联系紧密。有的时候利用图形来直观的解释一些比较抽象的数学问题，让人一目了然（板书：以形助数）；有的时候，是图形中隐含着数的规律，可利用数的规律来解决图形的问题（板书：以数解形）。在数学上我们把利用数与形之间的相互对应和转化来解决问题的方法，称为数形结合。用数形结合的思想去解决问题，我们其实并不陌生。例如：小学阶段我们认识了不少图形，通过用数来分析，我们对图形有了更深入的了解；我们经常用画线段图的方法分析数量之间的关系，利用面积模型解释了乘法分配律、两位数乘两位数的算理。著名数学家华罗庚先生曾这样描述数与形之间的关系：数缺形时少直观，形缺数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事休！描述的十分贴切。（五）课后作业思考：2+4+6+8+100=那么这节课我们用数形结合的方法，研究了从1开始，连续的奇数相加的和=加数个数的平方，那么从2开始，连续的偶数相加会有什么规律呢？你能用数形结合的方法来进行