直线与圆的位置关系(公式及技巧).ppt

第二节直线与圆的位置关系 一 圆周角 其所对弧的度 数的一半 AOB 相等 相等 AOB 90 直径 90 直径 二 圆的切线 垂直 垂直 垂直于 垂直于 相等 CA CB 三 弦切角定理及其推论 一半 相等 相等 ADC 四 圆中的比例线段 相等 相等 等比中项 五 圆内接四边形的性质定理和判定定理 互补 互补 1 如图 已知PA PB是圆O的切线 A B分别为切点 C为圆O上不与A B重合的另一点 若 ACB 120 则 APB 解析 过C作 O的一直径CD 连结AD BD AO BO CAD CBD 90 ACD BCD ACB 120 ADC 180 ACD CAD BDC 180 BCD CBD ADC BDC ADB 60 AOB 120 PA PB为 O的切线 PAO PBO 90 APB AOB 180 APB 60 答案 60 2 已知 如图 PT切 O于点T PA交 O于A B两点且与直径CT交于点D CD 2 AD 3 BD 6 则PB 解析 由AD BD CD TD 得TD 9 又由得PB PB 9 PB 6 2 92 则PB 15 答案 15 3 如图 已知EB是半圆O的直径 A是BE延长线上一点 AC切半圆O于点D BC AC于点C DF EB于点F 若BC 6 AC 8 则DF 解析 设圆的半径为r AD x 连经OD 得OD AC 故即故x r 又由切割线定理AD2 AE AB 即由三角形相似 知则DF 3 答案 3 4 如图 AB是半圆O的直径 点C在半圆上 CD AB于D 且AD 4DB 设 COD 则cos2 解析 AD 4DB OC OD 4 OC OD 即3OC 5OD cos2 2cos2 1 2 答案 5 如图 AD是 O的切线 AC是 O的弦 过C作AD的垂线 垂足为B CB与 O相交于点E AE平分 CAB 且AE 2 则AB AC BC 解析 CAE EAB EAB ACB ACB CAE EAB 又 CB AD ACB CAE EAB 30 又 AE 2 AB BC 3 答案 6 如图 EB EC是 O的两条切线 B C是切点 A D是 O上两点 如果 E 46 DCF 32 则 A的度数是 解析 连结OB OC AC 根据弦切角定理 可得 BAD BAC CAD 180 E DCF 67 32 99 答案 99 1 圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系 从而证明三角形全等或相似 可求线段或角的大小 2 涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化 关于圆周上的点 常作直径 或半径 或向弦 弧 两端画圆周角或作弦切角 如图所示 O的直径为6 AB为 O的直径 C为圆周上一点 BC 3 过C作圆的切线l 过A作l的垂线AD AD分别与直线l 圆交于D E 则 DAC 线段AE的长为 1 BCF BAC 30 ACD BCF ACD DAC 90 2 可证明Rt ABE Rt BAC 解 由已知 ABC是直角三角形 易知 CAB 30 由于直线l与 O相切 由弦切角定理知 BCF 30 由 DCA ACB BCF 180 知 DCA 60 故在Rt ADC中 DAC 30 法一 连结BE 如图 1 所示 EAB 60 CBA 则Rt ABE Rt BAC 所以AE BC 3 法二 连结EC OC 如图 2 所示 则由弦切角定理知 DCE CAE 30 又 DCA 60 故 ECA 30 又因为 CAB 30 故 ECA CAB 从而EC AO 由OC l AD l 可得OC AE 故四边形AOCE是平行四边形 又因为OA OC 故四边形AOCE是菱形 故AE AO 3 答案 30 3 1 已知C点在圆O直径BE的延长线上 CA切圆O于A点 DC是 ACB的平分线交AE于点F 交AB于点D 则 ADF的度数为 证明四点共圆的方法 利用定理 若一个四边形的对角互补 则四点共圆 如图所示 已知AP是 O的切线 P为切点 AC是 O的割线 与 O交于B C两点 圆心O在 PAC的内部 点M是BC的中点 1 证明A P O M四点共圆 2 求 OAM APM的大小 1 可利用圆内接四边形对角互补来证明A P O M四点共圆 2 利用 1 所得结论即可求得 OAM APM的大小 证明 连结OP OM 如图 1 所示 因为AP与 O相切于点P 所以OP AP 因为M是 O的弦BC的中点 所以OM BC 于是 OPA OMA 180 由圆心O在 PAC的内部 可知四边形APOM的对角互补 所以A P O M四点共圆 2 连结OA 如图 2 所示 由 1 得A P O M四点共圆 所以 OAM OPM 由 1 得OP AP 又圆心O在 PAC的内部 可知 OPM APM 90 所以 OAM APM 90 2 如图 AB CD是两条平行弦 BE AC 并交CD于E 过A点的切线交DC的延长线于P PC ED 1 PA 2 则AB AC 解析 连结AD 由切割线定理得 PA2 PC PD PD 4 又PC DE 1 CE 2 AB 2 分别作AH PD于H BM DE于M 连结BD 则 ACD BDC BED 在Rt APH中 AH 在Rt ACH中 AC 答案 2 1 相交弦定理 切割线定理主要是用于与圆有关的比例线段的计算与证明 解决问题时要注意相似三角形知识及圆周角 弦切角 圆的切线等相关知识的综合应用 2 应用相交弦定理 切割线定理要抓住几个关键内容 如线段成比例与相似三角形 圆的切线及其性质 与圆有关的相似三角形等 已知 O1和 O2相交于A B两点 过A点作 O1的切线交 O2于点E 连接EB并延长交 O1于点C 直线CA交 O2于点D 1 如图所示 当点D与点A不重合时 试猜想线段EA ED是否成立 证明你的结论 2 当点D与点A重合时 直线AC与 O2有怎样的位置关系 此时若BC 2 CE 8 求 O1的直径 可作出两圆的公共弦 然后利用弦切角定理 切割线定理解决 解 1 EA ED成立 连结AB 在EA的延长线上取点F 如图 1 所示 AE是 O1的切线 切点为A FAC ABC FAC DAE ABC DAE ABC是 O2内接四边形ABED的外角 ABC D DAE D EA ED 2 当点D与点A重合时 直线CA与 O2只有一个公共点 所以直线CA与 O2相切 如图 2 所示 由弦切角定理知 1 3 2 4 又 1 2 3 4 180 90 AC与AE分别为 O1和 O2的直径 由切割线定理知 AC2 CB CE 而CB 2 CE 8 AC2 2 8 16 AC 4 故 O1的直径为4 3 如图所示 割线PAB与圆O相交于A B两点 PC为圆O的切线 圆O的半径为10 D为弧AB的中点 OD交AB于点E 如果PA 4 PC 8 则OE的长度为 解析 由切割线定理可得PC2 PA PB 即64 4PB 解得PB 16 所以AB 16 4 12 因为D为弧AB的中点 所以OE AB 且点E平分线段AB 所以EB 6 圆O的半径为10 所以OE 答案 8 通过近两年高考题的统计分析 可以看出本节主要考查圆周角定理 圆的切线的判定定理与性质定理及圆内接四边形的性质 题型为填空题 难度不大 如2009年广东卷15题就考查了该内容 注意 执果索因 这一分析问题的方法在解题中的应用 2009 广东高考 如图 点A B C是圆O上的点 且AB 4 ACB 45 则圆O