《金融工程学》习题及参考答案.pdf

1 金融工程学 习题及参考答案 金融工程学 习题及参考答案 2 无套利定价和风险中性定价无套利定价和风险中性定价 练习练习 1 假定外汇市场美元兑换马克的即期汇率是 1 美元换 1 8 马克 美元利率是 8 马克利 率是 4 试问一年后远期无套利的均衡利率是多少 2 银行希望在 6 个月后对客户提供一笔 6 个月的远期贷款 银行发现金融市场上即期利 率水平是 6 个月利率为 9 5 12 个月利率为 9 875 按照无套利定价思想 银行为 这笔远期贷款索要的利率是多少 3 假如英镑与美元的即期汇率是 1 英镑 1 6650 美元 远期汇率是 1 英镑 1 6600 美元 6 个月期美远与英镑的无风险年利率分别是 6 和 8 问是否存在无风险套利机会 如 存在 如何套利 4 一只股票现在价格是 40 元 该股票一个月后价格将是 42 元或者 38 元 假如无风险利 率是 8 用无风险套利原则说明 执行价格为 39 元的一个月期欧式看涨期权的价值 是多少 5 条件同题 4 试用风险中性定价法计算题 4 中看涨期权的价值 并比较两种计算结果 6 一只股票现在的价格是 50 元 预计 6 个月后涨到 55 元或是下降到 45 元 运用无套利 定价原理 求执行价格为 50 元的欧式看跌期权的价值 7 一只股票现在价格是 100 元 有连续两个时间步 每个步长 6 个月 每个单步二叉树 预期上涨 10 或下跌 10 无风险利率 8 连续复利 运用无套利原则求执行价 格为 100 元的看涨期权的价值 8 假设市场上股票价格 S 20 元 执行价格 X 18 元 r 10 T 1 年 如果市场报价欧式 看涨期权的价格是 3 元 试问存在无风险的套利机会吗 如果有 如何套利 9 股票当前的价格是 100 元 以该价格作为执行价格的看涨期权和看跌期权的价格分别 是 3 元和 7 元 如果买入看涨期权 卖出看跌期权 再购入到期日价值为 100 的无风 险债券 则我们就复制了该股票的价值特征 可以叫做合成股票 试问无风险债券的 投资成本是多少 如果偏离了这个价格 市场会发生怎样的套利行为 参考答案参考答案 1 按照式子 1 8 美元 1 8 1 4 马克 得到 1 美元 1 7333 马克 2 设远期利率为 i 根据 1 9 5 1 i 1 9 875 i 9 785 3 存在套利机会 其步骤为 1 以 6 的利率借入 1655 万美元 期限 6 个月 2 按市场汇率将 1655 万美元换成 1000 万英镑 3 将 1000 万英镑以 8 的利率贷出 期限 6 个月 4 按 1 6600 美元 英镑的远期汇率卖出 1037 5 万英镑 5 6 个月后收到英镑贷款本息 1040 8 万英镑 1000e0 08 0 5 剩余 3 3 万英镑 6 用 1037 5 万元英镑换回 1722 3 万美元 1037 5 1 66 7 用 1715 7 美元 1665 e0 06 0 5 归还贷款本息 剩余 6 6 万美元 8 套利盈余 6 6 万美元 3 3 万英镑 4 考虑这样的证券组合 购买一个看涨期权并卖出 股股票 如果股票价格上涨到 42 元 组合价值是 42 3 如果股票价格下降到 38 元 组合价值是 38 若两者相等 则 42 3 38 075 可以算出一个月后无论股票价格是多少 组合 的价值都是 28 5 今天的价值一定是 28 5 的现值 即 28 31 28 5 e 0 08 0 08333 即 f 40 28 31 f 是看 涨期权价格 f 1 69 3 5 按照风险中性的原则 我们首先计算风险中性条件下股票价格向上变动的概率 p 它满 足等式 42p 38 1 p 40 e0 08 0 08333 p 0 5669 期权 的价值是 3 0 5669 0 0 4331 e 0 08 0 08333 1 69 同题 4 按照无套利定价原则计算的结果相同 6 考虑这样的组合 卖出一个看跌期权并购买 股股票 如果股票价格是 55 元 组合的 价值是 55 如果股票的价格是 45 元 组合的价值是 45 5 若两者相等 则 45 5 55 05 一个月后无论股票价格如何变化 组合的价值都是 27 5 今天的价值则一定 是 27 5 的现值 即 27 5 e 0 1 0 5 26 16 这意味着 p 50 26 16 p 1 16 p 是看跌期 权的价值 7 按照本章的符号 u 1 1 d 0 9 r 0 08 所以 p e0 08 0 5 0 9 1 1 0 9 0 7041 这里 p 是风 险中性概率 期权的价值是 0 70412 21 2 0 7041 0 2959 0 0 29592 0 e 0 08 9 61 8 本题中看涨期权的价值应该是 S Xe rT 20 18e 0 1 3 71 显然题中的期权价格小于此数 会引发套利活动 套利者可以购买看涨期权并卖空股票 现金流是 20 3 17 17 以 10 投 资一年 成为 17 e0 1 18 79 到期后如果股票价格高于 18 套利者以 18 元的价格执行期 权 并将股票的空头平仓 则可获利 18 79 18 0 79 元 若股票价格低于 18 元 比如 17 元 套利者可以购买股票并将股票空头平仓 盈利是 18 79 17 1 79 元 9 无风险证券的投资成本因该是 100 7 3 96 元 否则 市场就会出现以下套利活动 第一 若投资成本低于 96 元 比如是 93 元 则合成股票的成本只有 97 元 7 3 93 相对于股票投资少了 3 元 套利者以 97 元买入合成股票 以 100 元卖空标的股票 获得无 风险收益 3 元 第二 若投资成本高于 96 元 比如是 98 元 则合成股票的成本是 102 元 高于股 票投资成本 2 元 套利者可以买入股票同时卖出合成股票 可以带来 2 元的无风险利润 4 无套利分析 远期和期货无套利分析 远期和期货 练习 1 某交易商拥有 1 亿日元远期空头 远期汇率为 0 008 美元 日元 如果合约到期 时汇率分别为 0 0074 美元 日元和 0 0090 美元 日元 那么该交易商的盈亏如 何 2 目前黄金价格为 500 美元 盎司 1 年远期价格为 700 美元 盎司 市场借贷年利 率为 10 假设黄金的储藏成本为 0 请问有无套利机会 3 一交易商买入两份橙汁期货 每份含 15000 磅 目前的期货价格为每磅 1 60 元 初始保证金为每份 6000 元 维持保证金为每份 4500 元 请问在什么情况下该交 易商将收到追缴保证金通知 在什么情况下 他可以从保证金账户中提走 2000 元 4 一个航空公司的高级主管说 我们没有理由使用石油期货 因为将来油价上升 和下降的机会是均等的 请对此说法加以评论 5 每季度计一次复利的年利率为 14 请计算与之等价的每年计一次复利的年利率 和连续复利年利率 6 每月计一次复利的年利率为 15 请计算与之等价的连续复利年利率 7 某笔存款的连续复利年利率为 12 但实际上利息是每季度支付一次 请问 1 万 元存款每季度能得到多少利息 8 假设连续复利的零息票利率如下 期限 年 年利率 1 期限 年 年利率 1 12 0 2 2 13 0 3 3 13 7 4 4 14 2 5 5 14 5 请计算第 2 3 4 5 年的连续复利远期利率 9 假设连续复利的零息票利率分别为 期限 月 年利率 3 期限 月 年利率 3 8 0 6 6 8 2 9 9 8 4 12 12 8 5 15 15 8 6 18 18 8 7 请计算第 2 3 4 5 6 季度的连续复利远期利率 10 假设一种无红利支付的股票目前的市价为 20 元 无风险连续复利年利率为 10 求该股票 3 个月期远期价格 11 假设恒生指数目前为 10000 点 香港无风险连续复利年利率为 10 恒生指数 股息收益率为每年 3 求该指数 4 个月期的期货价格 12 某股票预计在 2 个月和 5 个月后每股分别派发 1 元股息 该股票目前市价等于 5 30 所有期限的无风险连续复利年利率均为 6 某投资者刚取得该股票 6 个月期的远期 合约空头 请问 该远期价格等于多少 若交割价格等于远期价格 则远期合约的初始 值等于多少 3 个月后 该股票价格涨到 35 元 无风险利率仍为 6 此时远期价格和 该合约空头价值等于多少 13 假设目前白银价格为每盎司 80 元 储存成本为每盎司每年 2 元 每 3 个月初预 付一次 所有期限的无风险连续复利率均为 5 求 9 个月后交割的白银期货的价格 14 有些公司并不能确切知道支付外币的确切日期 这样它就希望与银行签订一种在 一段时期中都可交割的远期合同 公司希望拥有选择确切的交割日期的权力以匹配它的现 金流 如果把你自己放在银行经理的位置上 你会如何对客户想要的这个产品进行定价 15 有些学者认为 远期汇率是对未来汇率的无偏预测 请问在什么情况下这种观 点是正确的 16 一家银行为其客户提供了两种贷款选择 一是按年利率 11 一年计一次复利 贷出现金 一是按年利率 2 一年计一次复利 货出黄金 黄金贷款用黄金计算 并需 用黄金归还本息 假设市场无风险连续复利年利率为 9 25 储存成本为每年 0 5 连续 复利 请问哪种贷款利率较低 17 瑞士和美国两个月连续复利率分别为 2 和 7 瑞士法郎的现货汇率为 0 6500 美元 2 个月期的瑞士法郎期货价格为 0 6600 美元 请问有无套利机会 18 一个存款账户按连续复利年利率计算为 12 但实际上是每个季度支付利息的 请问 10 万元存款每个季度能得到多少利息 19 股价指数期货价格大于还是小于指数预期未来的点数 请解释原因 参考答案 1 若合约到期时汇率为 0 0075 美元 日元 则他赢利 1 亿 0 008 0 0075 5 万美元 若合约到期时汇率为 0 0090 美元 日元 则他赢利 1 亿 0 008 0 009 10 万美元 2 套利者可以借钱买入 100 盎司黄金 并卖空 1 年期的 100 盎司黄金期货 并等 到 1 年后交割 再将得到的钱用于还本付息 这样就可获得无风险利润 3 如果每份合约损失超过 1500 元他就会收到追缴保证金通知 此时期货价格低 于 1 50 元 磅 当每份合约的价值上升超过 1000 元 即期货价格超过 1 667 元 磅时 他就可以从其保证金账户提取 2000 元了 4 他的说法是不对的 因为油价的高低是影响航空公司成本的重要因素之一 通 过购买石油期货 航空公司就可以消除因油价波动而带来的风险 5 每年计一次复利的年利率 1 0 14 4 4 1 14 75 连续复利年利率 4ln 1 0 14 4 13 76 6 连续复利年利率 12ln 1 0 15 12 14 91 7 与 12 连续复利利率等价的每季度支付一次利息的年利率 4 e0 03 1 12 18 因此每个季度可得的利息 10000 12 8 4 304 55 元 6 8 第 2 3 4 5 年的连续复利远期利率分别为 第 2 年 14 0 第 3 年 15 1 第 4 年 15 7 第 5 年 15 7 9 第 2 3 4 5 6 季度的连续复利远期利率分别为 第 2 季度 8 4 第 3 季度 8 8 第 4 季度 8 8 第 5 季度 9 0 第 6 季度 9 2 10 期货价格 20e 0 1 0 25 20 51 元 11 指数期货价格 10000e 0 1 0 05 4 12 10125 78 点 12 1 2 个月和 5 个月后派发的 1 元股息的现值 e 0 06 2 12 e 0 06 5 12 1 96 元 远期价格 30 1 96 e 0 06 0 5 28 89 元 若交割价格等于远期价格 则远期合约的初始价格为 0 2 3 个月后的 2 个月派发的 1 元股息的现值 e 0 06 2 12 0 99 元 远期价格 35 0 99 e 0 06 3 12 34 52 元 此时空头远期合约价值 28 89 34 52 e 0 06 3 12 5 55 元 13 9 个月储藏成本的现值 0 5 0 5e 0 05 3 12 0 5e 0 05 6 12 1 48 元 白银远期价格 80 1 48 e 0 05 9 12 84 59 元 14 银行在定价时可假定客户会选择对银行最不利的交割日期 我们可以很容易证 明 如果外币利率高于本币利率 则拥有远期外币多头的客户会选择最早的交割 日期 而拥有远期外币空头的客户则会选择最迟的交割日期 相反 如果外币利 率低于本币利率 则拥有远期外币多头的客户会选择最迟的交割日期 而拥有远 期外币空头的客户则会选择最早的交割日期 只要在合约有效期中 外币利率和 本币利率的高低次序不变 上述分析就没问题 银行可按这个原则定价 但是当外币利率和本币利率较为接近时 两者的高低次序就有可能发生变化 因此 客户选择交割日期的权力就有特别的价值 银行应考虑这个价值 如果合约签订后 客户不会选择最有利的交割日期 则银行可以另赚一笔 15 只有当外币的系统性风险等于 0 时 上述说法才能成立 16 将上述贷款利率转换成连续复利年利率 则正常贷款为 10 44 黄金贷款为 1 98 假设银行按 S 元 盎司买了 1 盎司黄金 按 1 98 的黄金利率贷给客户 1 年 同时卖出 e 0 0198盎司 1 年远期黄金 根据黄金的储存成本和市场的无风险利率 我 们可以算出黄金的 1 年远期价格为 Se 0 0975元 盎司 也就是说银行 1 年后可以收到 Se 0 0198 0 0975 Se0 1173 元现金 可见黄金贷款的连续复利收益率为 11 73 显然黄金 贷款利率高于正常贷款 17 瑞士法郎期货的理论价格为 0 65e 0 1667 0 07 0 02 0 06554 可见 实际的期货价格太高了 投资者可以通过借美元 买瑞士法郎 再卖瑞 士法郎期货 来套利 18 与 12 连续复利年利率等价的 3 个月计一次复利的年利率为 4 e 0 03 1 12 18 因此 每个月应得的利息为 10 万 0 1218 4 3045 5 元 19 由于股价指数的系统性风险为正 因此股价指数期货价格总是低于预期未来的指 数值 7 无套利分析 互 换 无套利分析 互 换 习题习题 1 A 公司和 B 公司如果要在金融市场上借入 5 年期本金为 2000 万美元的贷款 需支 付的年利率分别为 固定利率 浮动利率 A 公司 12 0 LIBOR 0 1 B 公司 13 4 LIBOR 0 6 A 公司需要的是浮动利率贷款 B 公司需要的是固定利率贷款 请设计一个利率互换 其中银行作为中介获得的报酬是 0 1 的利差 而且要求互换对双方具有同样的吸引力 2 X 公司希望以固定利率借入美元 而 Y 公司希望以固定利率借入日元 而且本金 用即期汇率计算价值很接近 市场对这两个公司的报价如下 日元 美元 X 公司 5 0 9 6 Y 公司 6 5 10 0 请设计一个货币互换 银行作为中介获得的报酬是 50 个基点 而且要求互换对双方具 有同样的吸引力 汇率风险由银行承担 3 一份本金为 10 亿美元的利率互换还有 10 月的期限 这笔互换规定以 6 个月的 LIBOR 利率交换 12 的年利率 每半年计一次复利 市场上对交换 6 个月的 LIBOR 利率 的所有期限的利率的平均报价为 10 连续复利 两个月前 6 个月的 LIBOR 利率为 9 6 请问上述互换对支付浮动利率的那一方价值为多少 对支付固定利率的那一方价值为 多少 4 一份货币还有 15 月的期限 这笔互换规定每年交换利率为 14 本金为 2000 万英 镑和利率为 10 本金为 3000 万美元两笔借款的现金流 英国和美国现在的利率期限结 构都是平的 如果这笔互换是今天签订的 那将是用 8 的美元利率交换 11 的英镑利率 上述利率是连续复利 即期汇率为 1 英镑 1 6500 美元 请问上述互换对支付英镑的那一 方价值为多少 对支付美元的那一方价值为多少 5 解释互换的市场风险和信用风险的区别 6 X 公司和 Y 公司的各自在市场上的 10 年期 500 万美元的投资可以获得的收益率为 固定利率 浮动利率 X 公司 8 0 LIBOR Y 公司 8 8 LIBOR X 公司希望以固定利率进行投资 而 Y 公司希望以浮动利率进行投资 请设计一个利 率互换 其中银行作为中介获得的报酬是 0 2 的利差 而且要求互换对双方具有同样的吸 引力 7 A 公司和 B 公司如果要在金融市场上借款需支付的利率分别为 A 公司 B 公司 8 美元浮动利率 LIBOR 0 5 LIBOR 1 0 加元固定利率 5 0 6 5 假设 A 公司需要的是美元浮动利率贷款 B 公司需要的是加元固定利率贷款 一家银 行想设计一个互换 并从希望中获得的 0 5 的利差如果互换对双方具有同样的吸引力 A 公司和 B 公司的利率支付是怎么安排的 8 为什么说货币互换可以分解为一系列远期外汇协议 习题答案 1 A公司在固定利率贷款市场上有明显的比较优势 但A公司想借的是浮动利率贷款 而 B 公司在浮动利率贷款市场上有明显的比较优势 但 A 公司想借的是固定利率贷款 这 为互换交易发挥作用提供了基础 两个公司在固定利率贷款上的年利差是 1 4 在浮动利 率贷款上的年利差是 0 5 如果双方合作 互换交易每年的总收益将是 1 4 0 5 0 9 因为银行要获得 0 1 的报酬 所以 A 公司和 B 公司每人将获得 0 4 的收益 这意味着 A 公司和 B 公司将分别以 LIBOR 0 3 和 13 的利率借入贷款 合适的协议安排如图所示 12 3 12 4 12 A 金融中介 B LIBOR 0 6 LIBOR LIBOR 2 X 公司在日元市场上有比较优势但想借入美元 Y 公司在美元市场上有比较优势但 想借入日元 这为互换交易发挥作用提供了基础 两个公司在日元贷款上的利差为 1 5 在美元贷款上的利差为 0 4 因此双方在互换合作中的年总收益为 1 5 0 4 1 1 因 为银行要求收取 0 5 的中介费 这样 X 公司和 Y 公司将分别获得 0 3 的合作收益 互换 后 X 公司实际上以 9 6 0 3 9 3 的利率借入美元 而 Y 实际上以 6 5 0 3 6 2 借入日元 合适的协议安排如图所示 所有的汇率风险由银行承担 日元 5 日元 6 2 日元 5 A 金融中介 B 美元 10 美元 9 3 美元 10 3 根据题目提供的条件可知 LIBOR 的收益率曲线的期限结构是平的 都是 10 半 年计一次复利 互换合约中隐含的固定利率债券的价值为 0 3333 0 10 8333 0 1 6106103 33ee 百万美元 互换合约中隐含的浮动利率债券的价值为 0 3333 0 1 1004 8101 36e 百万美元 因此 互换对支付浮动利率的一方的价值为103 33 101 361 97 百万美元 对支付 固定利率的一方的价值为 1 97 百万美元 4 我们可以用远期合约的组合来给互换定价 英镑和美元的连续复利年利率分别为 10 43 和 7 70 3 个月和 15 个月的远期汇率分别别 0 25 0 0273 1 651 6388e 和 9 1 25 0 0273 1 651 5946e 对支付英镑的一方 远期合约的价值为 0 077 0 25 32 8 1 63881 56e 百万美元 0 077 1 25 32 8 1 59461 33e 百万美元 本金交换对应的远期合约的价值为 0 077 1 25 3020 1 59464 61e 百万美元 所以互换合约的价值为1 56 1 33 1 724 61 百万美元 5 信用风险源于交易对方违约的可能性 而市场风险源于利率 汇率等市场变量的波 动 6 X 公司在固定利率投资上的年利差为 0 8 在浮动利率投资上的年利差为 0 因此 互换带来的总收益是 0 8 其中有 0 2 要支付给银行 剩下的 X 和 Y 每人各得 0 3 换句话说 X 公司可以获得 8 3 的回报 Y 公司可以获得 LIBOR 0 3 的回报 互换流 程如图所示 8 3 8 5 LIBOR X 金融中介 Y 8 8 LIBOR LIBOR 7 A 公司在加元固定利率市场上有比较优势 而 B 公司在美元浮动利率市场 上有比较优势 但两个公司需要的借款都不是自己有比较优势的那一种 因此存 在互换的机会 两个公司在美元浮动利率借款上的利差是 0 5 在加元固定利率借款上的 利差是 1 5 两者的差额是 1 因此合作者潜在的收益是 1 或 100 个基点 如 果金融中介要了 50 个基点 A B 公司分别可得 25 个基点 因此可以设计一个 互换 付给 A 公司 LIBOR 0 25 的美元浮动利率 付给 B 公司 6 25 的加元固 定利率 加元 5 加元 6 25 加元 5 A 金融中介 B 美元 LIBOR 1 美元 LIBOR 0 25 美元 LIBOR 1 本金的支付方向在互换开始时与箭头指示相反 在互换终止时与箭头指示相 同 金融中介在此期间承担了外汇风险 但可以用外汇远期合约抵补 8 货币互换的每一项支付都可以看作一份远期合约 因此货币互换等价与于 远期合约的组合 10 连续时间模型 期权连续时间模型 期权 习题 习题 1 假设某不付红利股票价格遵循几何布朗运动 其预期年收益率 16 年波动率 30 该股票当天收盘价为 50 元 求 第二天收盘时的预期价格 第二天收盘时股价的标准 差 在量信度为 95 情况下 该股票第二天收盘时的价格范围 2 变量 X1和 X2遵循普通布朗运动 漂移率分别为 1和 2 方差率分别为 1 2和 2 2 请 问在下列两种情况下 X1 X2分别遵循什么样的过程 1 在任何短时间间隔中 X1和 X2的变动都不相关 2 在任何短时间间隔中 X1和 X2变动的相关系数为 3 假设某种不支付红利股票的市价为 50 元 风险利率为 10 该股票的年波动率为 30 求该股票协议价格为 50 元 期限 3 个月的欧式看跌期权价格 4 请证明布莱克 舒尔斯看涨期权和看跌期权定价公式符合看涨期权和看跌期权平 价公式 5 某股票市价为 70 元 年波动率为 32 该股票预计 3 个月和 6 个月后将分别支付 1 元股息 市场无风险利率为 10 现考虑该股票的美式看涨期权 其协议价格为 65 元 有效期 8 个月 请证明在上述两个除息日提前执行该期权都不是最优的 并请计算该期权 价格 6 某股票目前价格为 40 元 假设该股票 1 个月后的价格要么为 42 元 要么 38 元 连续复利无风险年利率为 8 请问 1 个月期的协议价格等于 39 元欧式看涨期权价格等于 多少 参考答案 参考答案 1 由于 tt S S 在本题中 S 50 0 16 0 30 t 1 365 0 00274 因此 S 50 0 16 0 00274 0 3 0 00274 0 5 0 0004 0 0157 S 0 022 0 785 因此 第二天预期股价为 50 022 元 标准差为 0 785 元 在 95 的置信水平上第 2 天股价会落在 50 022 1 96 0 785 至 50 022 1 96 0 785 即 48 48 元至 51 56 元之间 2 1 假设 X1和 X2的初始值分别为 a1和 a2 经过一段时间 T 后 X1的概率分布为 111 aTT X2的概率分布为 222 aTT 根据独立的正态分布变量之和的性质 可求 X1和 X2的概率分布为 11 22 112212 22 121212 aTaTTT aaTT 这表明 X1和 X2遵循漂移率为 12 方差率为 22 12 的普通布朗运动 2 在这种情况下 X1和 X2在短时间间隔 t 之内的变化的概率分布为 22 121212 2 tt 如果 1212 和都是常数 则 X1和 X2在较长时间间 隔 T 之内的变化的概率分布为 22 121212 2 TT 这表明 X1和 X2遵循漂移率为 12 方差率为 22 12 12 2 的普 通布朗运动 3 在本题中 S 50 X 50 r 0 1 0 3 T 0 25 因此 1 21 ln 50 50 0 1 0 09 2 0 25 0 2417 0 30 25 0 30 250 0917 d dd 这样 欧式看跌期权价格为 0 1 0 25 0 1 0 25 50 0 0917 50 0 2417 50 0 463450 0 40452 37 pNeN e 4 根据布莱克 舒尔斯看跌期权定价公式有 21 rT pSXeNdSNdS 由于 N d1 1 N d1 上式变为 21 rT pSXeNdSN d 同样 根据布莱克 舒尔斯看涨期权定价公式有 12 2 21 1 rTrT rT rT rT cXeSN dXeN dXe NNd cXeXeNdSN d 2 由于 d上式变为 可见 rT pScXe 看涨期权和看跌期权平价公式成立 5 D1 D2 1 t1 0 25 T 0 6667 r 0 1 X 65 12 2 21 0 1 0 1667 0 1 0 25 1 65 1 1 07 1 65 1 1 60 r T t r tt Xee Xee 可见 2 21 2 1 1 1 r T t r tt DXe DXe TT 请证明其最优保值比率为 Trrf e 3 假设现在是 1 月 30 日 你正管理一个价值 600 万美元的债券组合 该组合的 平均久期为 8 2 年 9 月份长期国债期货价格为 108 15 交割最合算债券的久 期为 7 6 年 请问你应如何规避今后 7 个月利率变动的风险 4 某银行发现其资产负债不匹配 其存款为浮动利率 贷款为固定利率 请问应 如何应用互换来抵消这种风险 5 假设你管理一个价值 6000 万美元的投资组合 其 系数等于 2 0 市场无风险 利率为 5 标准普尔 500 指数为 300 该指数和该组合每年的股息收益率都 是 3 请问为了防止该组合价值低于 5 400 万美元 应购买什么期权对它套 期保值 6 某种不支付股息股票价格的年波动率为 25 市场无风险利率为 10 请计算 该股票 6 个月期处于平价状态的欧式看涨期权的 Delta 值 7 某金融机构刚出售一些七个月期的日元欧式看涨期权 假设现在日元的汇率为 1 日元 0 80 美分 期权的协议价格为 0 81 美分 美国和日本的无风险利率分 别为 8 和 5 日元的年波动率为 15 请计算该期权的 Delta Gamma Vega Theta Rho 值 并解释其含义 8 某金融机构拥有如下柜台交易的英镑期权组合 种类 头寸 期权的 Delta 期权的 Gamma 期权的 Vega 看涨 1000 0 50 2 2 1 8 看涨 500 0 80 0 6 0 2 看跌 2000 0 40 1 3 0 7 看涨 500 0 70 1 8 1 4 现有一种可交易期权 其 Delta 值为 0 6 Gamma 值为 1 5 Vega 值为 0 8 请问 为使该组合处于 Gamma 和 Delta 中性状态 需要多少该可交易期权和英镑头 寸 为使该组合处于 Vega 和 Delta 中性状态 需要多少该可交易期权和英镑 15 头寸 9 在上例中 假设有第二种可交易期权 其 Delta 值为 0 1 Gamma 值为 0 5 Vega 值为 0 6 请问应如何使该组合处于 Delta Gamma 和 Vega 中性状态 参考答案参考答案 1 该公司应卖空的合约份数为 1 2 10 000 000 500 270 88 9 89 份 2 在 时刻 期货价格和现货价格的关系为 f r rT FS e 假设保值比率为 h 则通过保值可以卖出的价格为 00 f r rT h FFShFShS e 如果 f rrT he 则卖出的价格恒等于 hF0 这时保值组合的方差为 0 也 就证明了 f rrT he 是最优保值比率 3 每份期货合约的价值为 108 46875 1 000 108 468 75 美元 应该卖空的合约 份数为 6 000 0008 2 59 760 108 468 757 6 份 4 该银行可以与其他金融机构签订一份它支付固定利率 接受浮动利率的利率互换 协议 5 当该投资组合的价值降到 5400 万美元时 你的资本损失为 10 考虑到你在 1 年中得到了 3 的现金红利 你的实际损失为 7 令 E RP 表示投资组合的预 期收益率 E RI 表示指数的预期收益率 根据资本资产定价模型有 E RP rf E RI rf 因此当 E RP 7 时 E RI E RP rf rf 1 由于指数 1 年的红利收 益率等于 3 因此指数本身的预期变动率为 4 因此 当组合的价值降到 5400 万美元时 指数的预期值为 0 96 300 288 因此应购买协议价格等于 288 期限 1 年的欧式看跌期权来保值 所需的欧式看跌期权的数量为 2 60 000 000 300 100 4000 份 其中每份期权的规模为 100 美元乘以指数点 6 在本题中 S X r 0 1 0 25 T t 0 5 因此 2 1 ln 0 10 25 2 0 5 0 3712 0 25 0 5 S X d N d1 0 64 该期权