轴对称变换 要点全析

轴对称变换要点全析1变换 在现代汉语词典中，变换的意思是：事物的一种形式或内容换成另一种，如变换位置、变换手法新 -课- 标-第 -一-网 在前面学习全等三角形时，学习和介绍了全等变换所谓全等变换，即把一个图形经过平移、翻折、旋转后，得到另一个图形的过程在这个过程中，原来图形的形状、大小都没有改变，只是位置、方向发生了改变 如图14-2-1中，（1）图是ABC平移后得到DEF，（2）图是ABC翻折后得到DBC，（3）图是ABC旋转一个角（即BAD）后，得到ADE，（4）图是ABC先平移（BE），后翻折，得到DEF，以上这几种图形变化的过程都是全等变换变换前后，两图形全等 2轴对称变换由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换 例如：图14-2-2中，DEF与ABC成轴对称，同样得到ABC的一系列对称图形GHK、PQR、LMN等，并且ABCDEFGHKPRQLMN以上这些图形的变化过程就是轴对称变换3轴对称变换的性质 （1）变换前后的两个图形的形状、大小完全一样新 |课 |标| 第 |一| 网 （2）新图形的每一个点，都是原图形上每一个点关于某直线的对称点 （3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分 【说明】如图14-2-2中，以ABC与DEF关于直线l对称为例说明如下： ABC与DEF全等，只是图形的位置与方向发生变化，而形状、大小没变 点A、B、C分别与点D、E、F关于直线l对称 线段AD、CF被直线l垂直平分 （4）当对称轴平行时，变换一次，方向改变；变换两次，与原图形方向相同依此类推，当变换奇数次时，方向改变，当变换偶数次时，方向不变如图14-2-3 当对称不平行时，方向改变的幅度随对称轴的倾斜程度而变化如图14-2-4 4轴对称变换的应用新 课 标 第 一 网 利用轴对称变换可以设计出精美的图案，在许多美术作品和工艺制品中，经常看到轴对称变换的例子如图14-2-5中的设计图： 再如图14-2-6中的剪纸图： 5如何作一个图形关于某直线的对称图形 由轴对称图形的性质可知，对称点的连线被对称轴垂直平分因此，先把一个几何图形看成由一些点组成，只要作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可得到原图形关于对称轴的对称图形 对于一些由特殊直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可得到原图形关于对称轴的对称图形http:/ www.x 例如：如图14-2-7中，已知ABC和直线l作出ABC关于直线l的对称图形 分析：在（1）图中，ABC的三个顶点已确定，只要作出三个顶点关于直线l的对称点，连接这三个对称点，就得ABC关于直线l对称图形 作法：（1）图中， （1）过点A作直线l的垂线，垂足为G，在垂直线上截取GAGA则点A，就是点A关于直线l的对称点（因AA被直线l垂直平分） （2）同样道理和方法，分别作出点B、C关于直线l的对称点B、C （3）连接AB、BC、CA，得到ABC即为所求 在（2）图中，作法同（1）图的作法，图形如（2）图所示再如一些几何图形的对称图形的画法，如图14-2-8所示 6应用轴对称，寻找最佳方案问题 例如：如图14-2-9，在金水河的同一侧有两个村庄A、B要从河边同一点修两条水渠到A、B两村浇灌蔬菜，问抽水站应修在金水河MN何处使两条水渠最短？ 分析：先将具体问题抽象成数学模型河流为直线MN，在直线MN的同一侧有A、B两点在直线MN上找一点P，使P点到A、B两点的距离之和为最小这里就要充分运用轴对称图形的性质加以解决 解：如图14-2-9所示，作B点关于直线MN的对称点B，连接AB与MN相交于点P，则P点即为所求事实上，如果不是P点而是P点时，则连接AP、PB和PB新 课 标 第 一 网 由轴对称性可知，PBPB，PBPB，所以P到A、B的距离之和APPBAPPB 而P到A、B的距离之和APPBAPPBAB， 在ABP中，三角形两边之和大于第三边，即APPBAB所以P点即为所求的点 【说明】（1）此题为典型的最佳方案选择问题，问题的核心是如何节省材料，反映在数学上就是寻找最小值问题 （2）与此类型相似，前几节学过的利用角平分线、线段垂直平分线的性质解决等距问题，也是按此方法处理的 （3）解决这类问题时，先把具体问题抽象成数学模型，再用数学中学过的有关法则、定理等去解决 （4）在本例中，充分利用了轴对称的性质 7轴对称的坐标表示方法 点（x，y）关于x轴对称点的坐标为（x，y）；点（x，y）关于y轴对称点的坐标为（x，y） 如图14-2-10中，点P（2，3）关于x轴的对称点为P2（2，3），关于y轴的对称点为P1，（2，3）；点P2关于y轴的对称点为P3（2，3）；而点P3（2，3）与点P1（2，3）关于x轴对称 因此，我们得到规律： 关于x轴对称的两个点的坐标，横坐标不变，纵坐标变成它的相反数；关于y轴对称的两个点，纵坐标不变，横坐标变成它的相反数反过来，也成立 例如：判断下列各点的位置关系：A（2，5）B（2，5）C（2，5）D（2，5） 解：由坐标特点知，A与B关于x轴对称，A与C关于y轴对称，B与D关于y轴对称 8点P（x，y）关于直线xa的对称点坐标http:/ www.x 如图14-2-11中，点P（1，4）关于直线x2的对称点为P1（3，4）；关于直线x1的对称点为P2（3，4） 由此可以看出，点P、P1、P2的纵坐标都没变，都是4，而P1、P2的横坐标发生了变化，变化的规律是：P1点的横坐标比A点横坐标2多了一个AP1（即AP）的长，而AP的长为211，P1横坐标为2（21）3 同样道理，P2点的横坐标是比B点横坐标1多了一个BP2（即BP）的长，而BP的长为112，P2横坐标为1（11）3 因此，得出规律：点P（x，y）关于直线xm的对称点P1的横坐标为m（mx）2mx，纵坐标不变，即点P1、坐标为（2mx，y） 同样，点P（x，y）关于直线ym的对称点P2的纵坐标为m（my）2my，横坐标不变，即点P2坐标为（x，2my） 由此可以直接写出点P（3，2）关于直线x5的对称点坐标为P1（253，2），即P1（7，2），关于y3的对称点P2的坐标为P2（3，4） 例如：写出下列点关于直线x4和直线y5的对称点的坐标A（2，3）B（4，5）C（3，1）D（2，1） 解：由上面的式子可知，点关于直线x4的对称点和关于直线y5的对称点坐标列表如下：A（2，3）B（4，5）C（3，1）D（2，1）关于直线x4的对称点A1（6，3）B1（4，）C1（11，）D1（10，1）关于直线y5的对称点A2（2，）B2（4，）C2（3，9）D2（2，11） 同样，关于x轴（y0）对称的点的坐标中x坐标不变，y坐标为其相反数；关于y轴（x0）对称的点的坐标中，y坐标不变，x坐标为其相反数 9轴对称在生产实际中的应用X| k |B| 1 . c|O |m 应用点的对称性质能解决生产实践中遇到的寻求最佳点的问题，看下面两个例子 例 1：如图14-2-12，EFGH是一个长方形的台球桌面，有黑、白两球分别位于A、B位置上试问：怎样撞击黑球A，使黑球先撞击台边EF，反弹后再击中白球B？试画出黑球A的运动路线 画法：（1）作点A关于EF的对称点A （2）连接AB交EF于点M 点M就是黑球A撞击边框EF的位置，黑球A的运动路线为AMB 根据物理知识，黑球A的入射角AMC只有与黑球A撞击边框EF反弹后的反射角BMC相等，黑球A才能击中白球B 证明：过点M作垂线CD EF是线段AA的中垂线， MAMA，AMFAMF 又FMCFMD90（已知）， AMCAMF90，AMDAMF90 AMCAMD（等角的余角相等） 又AMDBMC（对顶角相等）X k B 1 . c o m AMCBMC（等量代换） 例 2：如图14-2-13，甲、乙、丙三人做接力游戏开始时，甲站在AOB内的P点，乙站在OA上，丙站在OB上游戏规则：甲将接力棒传给乙，乙将接力棒传给丙，最后丙跑到终点P处如果甲、乙、丙三个人速度相同，试找出乙、丙站在何处，他们比赛所用的时间最短 画法：（1）作点P关于OA的对称点P1 （2）作点P关于OB的对称点P2 （3）连接P1P2交OA于点M，交OB于点N 则点M是乙所站的位置，点N是丙所站的位置 证明：