（试题 试卷 真题）2013年中考数学模拟试题汇编 二次函数

2013年中考数学模拟试题汇编 二次函数一、选择题1、(2013年河北三摸)某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线，一条水流的高度h（单位：m）与水流运动时间t（单位：s）之间的关系式为h30t5t2，那么水流从抛出至回落到地面所需要的时间是A.6s B.4s C.3s D.2s答案：A二、解答题1、(2013年深圳育才二中一摸)如图，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，已知点坐标为（4，0）（1）求抛物线的解析式；（2）试探究的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点是线段下方的抛物线上一点，求的面积的最大值，并求出此时点的坐标解：（1）将B（4，0）代入抛物线的解析式中，得： 则 抛物线的解析式为：2分（2）由（1）的函数解析式可求得：A（1，0）、C（0，2）；OA=1，OC=2，OB=4 又OCAB， OACOCB 3分OCA=OBC； ACB=OCA+OCB=OBC+OCB=90 4分 ABC为直角三角形，AB为ABC外接圆的直径5分 所以该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为6分（3）已求得：B（4，0）、C（0，2），可得直线BC的解析式为：设直线，则该直线的解析式可表示为：，当直线与抛物线只有一个交点时，可列方程：，且=0则直线：8分由于，长度是定值，则当最大（即点M到直线BC的距离最远）时，的面积最大所以点M即直线和抛物线的唯一交点，则9分解得：即 M（2，4）10分2、(2013年广西南丹中学一摸)如图，已知抛物线yx2bxc与坐标轴交于A、B、C三点， A点的坐标为（1，0），过点C的直线yx3与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PHOB于点H若PB5t，且0t1 （1）填空：点C的坐标是 ，b ，c ；（2）求线段QH的长（用含t的式子表示）；（3）依点P的变化，是否存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与COQ相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由第26题图【解答】（1）（0，3），b，c33分（2）由（1），得yx2x3，它与x轴交于A，B两点，得B（4，0）OB4，又OC3，BC5由题意，得BHPBOC，OCOBBC345，HPHBBP345，PB5t，HB4t，HP3tOHOBHB44t由yx3与x轴交于点Q，得Q（4t，0）OQ4t4分当H在Q、B之间时，QHOHOQ（44t）4t48t5分当H在O、Q之间时，QHOQOH4t（44t）8t46分综合，得QH48t；6分（3）存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与COQ相似7分当H在Q、B之间时，QH48t，若QHPCOQ，则QHCOHPOQ，得，t8分若PHQCOQ，则PHCOHQOQ，得，即t22t10t11，t21（舍去）9分当H在O、Q之间时，QH8t4若QHPCOQ，则QHCOHPOQ，得，t10分若PHQCOQ，则PHCOHQOQ，得，即t22t10t1t21（舍去）11分综上所述，存在的值，t11，t2，t312分3、(2013年河北二摸)如图，已知抛物线yx2bxc与坐标轴交于A、B、C三点，A点的坐标为（1，0），过点C的直线yx3与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PHOB于点H若PB5t，且0t1（1）填空：点C的坐标是 ，b ，c ；（2）求线段QH的长（用含t的式子表示）；（3）依点P的变化，是否存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与COQ相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由解：（1）（0，3），b，c33分（2）由（1），得yx2x3，它与x轴交于A，B两点，得B（4，0）4分OB4，又OC3，BC5由题意，得BHPBOC，OCOBBC345，HPHBBP345，PB5t，HB4t，HP3t5分OHOBHB44t由yx3与x轴交于点Q，得Q（4t，0）OQ4t6分当H在Q、B之间时，QHOHOQ（44t）4t48t7分当H在O、Q之间时，QHOQOH4t（44t）8t48分综合，得QH48t；（3）存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与COQ相似当H在Q、B之间时，QH48t，若QHPCOQ，则QHCOHPOQ，得，t9分若PHQCOQ，则PHCOHQOQ，得，即t22t10t11，t21（舍去）10分当H在O、Q之间时，QH8t4若QHPCOQ，则QHCOHPOQ，得，t11分若PHQCOQ，则PHCOHQOQ，得，即t22t10t1t21（舍去）12分综上所述，存在的值，t11，t2，t34、(2013年河北三摸)已知：如图1，抛物线的顶点为Q，与轴交于A（-1，0）、B(5，0)（图1）xCyOAB两点，与轴交于C点. （1）求抛物线的解析式及其顶点Q的坐标；（2）在该抛物线的对称轴上求一点,使得的周长最小.请在图中画出点的位置，并求点的坐标；（3）如图2，若点D是第一象限抛物线上的一个动点，过D作DE 轴，垂足为E有一个同学说：“在第一象限抛物线上的所有点中，抛物线的顶点Q与轴相距最远，所以当点D运动至点Q时，折线D-E-O的长度最长”。这个同学的说法正确吗？请说明理由.（图2）EDBAOCxyQ（备用图）xCyOAB若与直线交于点.试探究：四边形能否为平行四边形？若能,请直接写出点的坐标；若不能,请简要说明理由；答案：解：(1)将A（-1，0）、B(5，0)分别代入中，得 ，得 .2分图1EDBAOCyQP， Q（2 ，9）.3分（2）如图1，连接BC,交对称轴于点P,连接AP、AC.4分AC长为定值，要使PAC的周长最小，只需PA+PC最小.点A关于对称轴=1的对称点是点B（5，0），抛物线与y轴交点C的坐标为（0，5）.x由几何知识可知，PA+PC=PB+PC为最小. 5分设直线BC的解析式为y=k+5,将B（5，0）代入5k+5=0，得k=-1，=-+5，当=2时，y=3 ，点P的坐标为（2，3）. .6分(3) 这个同学的说法不正确. 7分设，设折线D-E-O的长度为L，则，图2DCyFEOABx，当时，.而当点D与Q重合时，该该同学的说法不正确.9分（4）四边形不能为平行四边形.10分如图2，若四边形为平行四边形,则EF=DF,CF=BF. DE轴，,即OE=BE=2.5.当=2.5时,即；当=2.5时, ,即.图3DCyFEOAB2.5. 即,这与EF=DF相矛盾，四边形不能为平行四边形. 12分 4、(2013年河北四摸) (本题9分)我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入x万元，可获得利润（万元）当地政府拟在“十二五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售在外地销售的投资收益为：每投入x万元，可获利润（万元）若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少？若按规划实施，求5年所获利润（扣除修路后）的最大值是多少？根据、，该方案是否具有实施价值？解：当x=60时，P最大且为41，故五年获利最大值是415=205万元前两年：0x50，此时因为P随x增大而增大，所以x=50时，P值最大且为40万元，所以这两年获利最大为402=80万元后三年：设每年获利为y，设当地投资额为x,则外地投资额为100x，所以y=PQ=+=，表明x=30时，y最大且为1065，那么三年获利最大为10653=3495万元，故五年获利最大值为803495502=3475万元有极大的实施价值5、(2013年河北四摸) (本题12分) 已知,如图11,二次函数图象的顶点为,与轴交于、两点(在点右侧),点、关于直线:对称.(1)求、两点坐标,并证明点在直线上;(2)求二次函数解析式;(3)过点作直线交直线于点,、分别为直线和直线上的两个动点,连接、,求和的最小值.图11备用图解:(1)依题意,得解得,点在点右侧点坐标为,点坐标为直线:当时,点在直线上(2)点、关于过点的直线:对称 过顶点作交于点则, 顶点 代入二次函数解析式,解得 二次函数解析式为(3)直线的解析式为 直线的解析式为由 解得 即,则 点、关于直线对称 的最小值是, 过点作直线的对称点,连接,交直线于则, 的最小值是,即的长是的最小值 由勾股定理得 的最小值为6、 (2013年河南西华县王营中学一摸)（11分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（1，），点B在x轴的负半轴上，且AB0=30，抛物线经过A，O，B三点 (1)求抛物线的解析式及对称轴； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点C，使AOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在x轴下方的抛物线上是否存在一点P，过点P作x轴的垂线，交直线AB于点D，线段OD把AOB分成两个三角形，使其中一个三角形面积与四边形BPOD面积之比为2:3?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)如图，过点A作AFx轴于点F， 在RtABF中，AB0=300，A的坐标为（1，）， OF=1,AF=，BF =3BO=BFOF=2 B(2,O). 设抛物线的解析式为y=ax(x+2)将点A(l，)代入，得抛物线的解析式为，对称轴为直线x=1(2)存在点C 设抛物线的对称轴x=1交x轴于点E点B（一2，O）和点O(0,O)关于抛物线的对称轴对称，当点C位于对称轴与线段AB的交点时，AOC的周长最小7、（2013年温州一摸）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y1=mx2-（2m+3）x+m+3与x轴交于点A、点 B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C（其中m0）。（1）求：点A、点B的坐标（含m的式子表示）；（2）若OB=4AO，点D是线段OC（不与点O、点C重合）上一动点，在线段OD的 右侧作正方形ODEF,连接CE、BE，设线段OD=t，CEB的面积为S，求S与t 的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；解： （1） A(1,0)、 （2）m=1(或解析式) 当0t2时，S=8-4t当2t4时，S=4t-88、（2013年温州一摸）如图，在边长为8cm正方形ABCD中，E，F是对角线AC上的两个动点，它们分别从点A，点C同时出发，沿对角线以1cm/s同速度运动，过E作EH垂直AC交的直角边于H；过F作FG垂直AC交RtACD的直角边于G，连接HG，EB设HE，EF，FG，GH围成的图形面积为S1，AE，EB，BA围成的图形面积为S2（这里规定：线段的面积为0）E到达C，F到达A停止若E的运动时间为s，解答下列问题：（1）当08时，直接写出以E，F，G，H为顶点的四边形是什么四边形，并求x为何值时，S1=S2（2）若是S1与S2的和，求与之间的函数关系式（图为备用图）求的最大值 答案：28.（1）根据正方形的性质可知HAE=GCF，由于A、C运动的速度相同，故AE=CF，易证AEHCFG，由平行线的判定定理可知HEGF，所以，以E，F，G，H为顶点的四边形是矩形正方形边长为，AC=16AE=，过B作BOAC于O，则BO=8S2=4（2分）HE=，EF=162，S1=（162）（3分）当S1=S2时，（162）=4解得=0（舍去），x2=69、(2013年上海市) ACBDEGNM（第21题图）某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施该设施的下部ABCD是矩形，其中AB = 2米，BC = 1米，上部CDG是等边三角形，固定点E为AB的中点EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆（1）当MN与AB之间的距离为0.5米时，求EMN的面积；（2）设MN与AB之间的距离为x米，EMN的面积为y（平方米），求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；（3）请你探究EMN的面积y（平方米）有无最大值，若有，请求出这个最大值；若没有，请说明理由解：（1）当MN和AB之间的距离为0.5米时，MN位于DC下方，且EMN中MN边上的高为0.5米EMN的面积（平方米）（2分）ACBDEGNM（第21题图1）ACBDEGNM（第21题图2）HF（2）（I）如图1，当MN在矩形区域滑动时：（2分）（II）如图2，当MN在三角形区域滑动：联结EG，交CD于点F，交MN于点H，则F为CD中点，GFCD，且，MNCD，（1分）（2分）（3）（I）当MN在矩形区域滑动时：，y的最大值是1（1分）（II）当MN在三角形区域滑动时：，当时，y的最大值是（1分），EMN的面积有最大值（平方米）（1分）10、(2013曲阜市实验中学中考模拟)如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC，已知O(0，0)，A(4，0)，C(0，3)，点P是OA边上的动点(与点O、A不重合)现将PAB沿PB翻折，得到PDB；再在OC边上选取适当的点E，将POE沿PE翻折，得到PFE，并使直线PD、PF重合(1)设P(x，0)，E(0，y)，求y关于x的函数关系式，并求y的最大值；(2)如图2，若翻折后点D落在BC边上，求过点P、B、E的抛物线的函数关系式；(3)在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点Q，使PEQ是以PE为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标图1图2解：(1)由已知PB平分APD，PE平分OPF，且PD、PF重合，则BPE=90OPEAPB=90又APBABP=90，OPE=PBARtPOERtBPA2分即y=(0x4)且当x=2时，y有最大值4分(2)由已知，可得P(1，0)，E(0，1)，B(4，3) 设过此三点的抛物线为y=ax2bxc，则6分y=7分(3)由(2)知EPB=90，即点Q与点B重合时满足条件直线PB为y=x1，与y轴交于点(0，1)将PB向上平移2个单位则过点E(0，1)，该直线为y=x1.由得Q(5，6)故该抛物线上存在两点Q(4，3)、(5，6)满足条件 10分11、（2013温州市中考模拟）如图，在边长为8cm正方形ABCD中，E，F是对角线AC上的两个动点，它们分别从点A，点C同时出发，沿对角线以1cm/s同速度运动，过E作EH垂直AC交的直角边于H；过F作FG垂直AC交RtACD的直角边于G，连接HG，EB设HE，EF，FG，GH围成的图形面积为S1，AE，EB，BA围成的图形面积为S2（这里规定：线段的面积为0）E到达C，F到达A停止若E的运动时间为s，解答下列问题：（1）当08时，直接写出以E，F，G，H为顶点的四边形是什么四边形，并求x为何值时，S1=S2（2）若是S1与S2的和，求与之间的函数关系式（图为备用图）求的最大值 答案：（1）根据正方形的性质可知HAE=GCF，由于A、C运动的速度相同，故AE=CF，易证AEHCFG，由平行线的判定定理可知HEGF，所以，以E，F，G，H为顶点的四边形是矩形正方形边长为，AC=16AE=，过B作BOAC于O，则BO=8S2=4（2分）HE=，EF=162，S1=（162）（3分）当S1=S2时，（162）=4解得=0（舍去），x2=612、（2013湖州市中考模拟试卷8）我市某服装厂主要做外贸服装，由于技术改良，2011年全年每月的产量y（单位：万件）与月份x之间可以用一次函数表示，但由于“欧债危机”的影响，销售受困，为了不使货积压，老板只能是降低利润销售，原来每件可赚10元，从1月开始每月每件降低0.5元。试求：（1）几月份的单月利润是108万元？（2）单月最大利润是多少？是哪个月份