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动力学习题课 牛顿力学普遍定理的联合运用 解题思路上的要点及几个关节点 一 解题要点 1 求约束反力 a 一般用动量定理 质心运动定理 b 若约束反力对转轴之矩不为零 也可用动量矩定理 c 但不能用动能定理 因为它不能求不做功的约束反力 2 求位移 或角位移 用动能定理 3 求速度 或角速度 a 约束反力不做功 做功的力可计算 多用动能定理 b 系统内力复杂 做功情况不明确 多用动量定理 质心运动定理 c 如有转动问题 可用动量矩定理 4 求加速度 或角加速度 a 对质点系 可用动量定理 质心运动定理 b 定轴转动刚体 可用动量矩定理 刚体定轴转动微分方程 c 平面运动刚体 可用平面运动微分方程 d 有两个以上转轴的质点系 或既有转动刚体 又有平动 平面运动的复杂问题 可用积分形式的动能定理 建立方程后求导求解 5 补充方程 运动学补充方程 力的补充方程 二 几个关节点 1 求运动量 特别是速度问题 优先考虑用动能定理 整体分析 2 求约束反力 必须用动量定理或质心运动定理 也涉及到动量矩定理 转动 曲线运动 3 初瞬时问题 鲜用动能定理 4 注意约束的位置和性质及是否系统的动量或动量矩守恒 某一方向 5 根据题意寻找运动学方程或约束方程往往是解动力学问题的关键 解 1 由动能定理 T2 T1 WA 综 1滑块M的质量为m 可在固定与铅垂面内 半径为R的光滑圆环上滑动 如图示 滑块M上系有一刚度系数为k的弹性绳MOA 此绳穿过固定环O并固结在A点处 已知滑块在点O时绳子的张力为零 开始时滑块在B点静止 当它受到微小扰动时即沿圆环滑下 求 下滑的速度v与角 的关系及圆环对滑块M的支反力 式中 90 F 2kRsin 2 再取滑块M分析 由牛顿第二定律 整理后可得 综 4正方形均质板的质量为40kg 在铅直平面内以三根软绳拉住 板的边长b 100mm 求 1 当软绳FG剪断后 木板开始运动时的加速度及AD和BE两绳的张力 2 当AD和BE两绳位于铅直位置时 板中心C的加速度和两绳的张力 由 联立可得F1 71 8 N F2 267 8 N 解 1 取板分析 初瞬时问题 只有切向加速度 由动力学方程 切向投影有 法向投影有 平动物体 角加速度恒为零 故有 设绳长为L 由动能定理得 由质心运动定理及对质心的动量矩定理 联立求得 F1 F2 248 5 N 2 取最低位置板分析 对A块 有动力学方程 联立 1 2 3 4 5 得 对B块 有动力学方程 由运动学关系 综 5图示三棱柱A沿三棱柱B的斜面滑动 A和B的质量各为m1和m2 三棱柱B的斜面与水平面成 角 不计摩擦 求三棱柱B的加速度 取B处的小球分析受力及运动 此时刻动系半圆槽无竖向加速度 即 解 取系统分析 水平方向动量守恒 由动能定理 联立 1 2 可得 在铅直方向投影 综 质量为m0的物体上刻有半径为r的半圆槽 放在光滑的水平面上 原处于静止状态 有一质量为m的小球自A处无初速地沿光滑的半圆槽下滑 若m0 3m 求小球滑到B处时相对于物体的速度和槽对小球的正压力 设A块由静止上升了s米 解 1 取系统分析 由动能定理 综 13图示机构中 物块A B的质量均为m 两均质圆轮的质量均为2m 半径均为R 轮C铰接于无重的悬臂梁CK上 D为动滑轮 梁的长度为3R 绳与轮之间无滑动 系统由静止开始运动 求 1 A物块上升的加速度 2 HE段绳的拉力 3 固定端K处的约束反力 由对固定点的动量矩定理 2 取A块 C轮组合体分析 由动量定理有 X方向 Y方向 3 取KC杆分析 平衡问题 X 0 Y 0 MK F 0 解 1 系统分析 如图示 由动能定理T2 T1 WA 综 18图示均质杆AB长为l 放在铅直平面内 杆的一端A靠在光滑的铅直墙上 另一端B在光滑的水平地板上 并与水平面成 0 此后 令杆由静止倒下 求 1 杆在任意位置时的角加速度和角速度 2 当杆脱离墙时 此杆与水平面所夹的角 c o A B o FA FB x y mg 2 由题意及图示 杆脱离墙壁时必有FA 0 故先求FA 杆在脱离墙壁前有质心运动定理 水平投影 解 1 B端未脱离墙壁前杆作定轴转动 由动能定理有 综 19均质杆AB长为l 质量为m 起初紧靠在铅垂的墙壁上 由于微小的干扰 杆绕B点倾倒如图 不计摩擦 求 1 B端未脱离墙时AB杆的角速度和角加速度和B处的约束反力 2 B端脱离墙时的夹角 1 3 杆着地时质心的速度及杆的角速度 2 B端刚脱离墙壁时 FB 0由上式可得 3 在上述FB 0以后 质心水平速度守恒 且在A端着地之前杆作平面运动 整个过程中约束反力不作功 由动能定理得 而在A即触地面时有 速度投影定理 系统的质心守恒 初始系统的质心B 静止 综 25两质量皆为m 长皆为l的相同的均质杆AB与BC 在点B处用光滑铰链连接 在两杆的中点之间连一刚度为k的无质量的弹簧 弹簧原长为l 2 初始时将此两杆拉开成一直线 静止放在光滑的水平面上 求杆受微小干扰而合拢成互相垂直时 B点的速度和各杆的角速度 补充例题均质杆AB的质量为m 长为L 用两根柔索悬挂 如图示 现将OB绳突然切断 求此瞬时AB杆的角加速度和AD绳的张力 解 1 球杆系统在重力作用下的运动 方程 习11 13图示两小球A和B 质量分别为mA 2kg mB 1kg 用AB l 0 6m的无重刚杆连接 在初瞬时 杆在水平位置 B不动 而A的速度VA 0 6 m s 方向铅直向上 求 1 两小球在重力作用下的运动 2 在t 2秒时 两小球在定坐标系A xy的位置 3 在t 2秒时 杆轴线方向的内力 2 t 2秒时 两球相对于定坐标系A xy的位置 1 球杆系统在重力作用下的运动 方程 3 t 2秒时 杆轴线方向的内力 注 1 亦可取A球分析 最后的结果相同 2 B点的加速度合成亦可写成 取B球分析 此题的特点是 多物体 多约束 运动形式复杂 但只求某瞬时的运动量 加速度 且为单自