（试题 试卷 真题）北京市海淀区2016届高三上学期期末考试数学理试题

海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理科）2016.1 本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1. 已知，则的值为 A. B. C. D.2. 抛物线的准线与轴的交点的坐标为 A. B. C. D.3. 如图，正方形中，为的中点，若， 则的值为 A. B. C. D.4. 某程序框图如图所示，执行该程序，若输入的值为1，则输 出的值为 A. B. C. D.5. 已知数列，其中, 则 满足的不同数列一共有A. 个 B.个 C.个 D.个6. 已知圆, 直线， 若被圆所截得的弦的长度之比为，则的值为 A. B.1 C. D.7. 若满足 则的最大值为 A. B. C. D.8. 已知正方体，记过点与三条直线所成角都相等的直线条数为, 过点与三个平面所成角都相等的直线的条数为，则下面结论正确的是A. B. C. D. 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。9. 已知双曲线的一条渐近线过点,则其离心率为10. 在的展开式中，常数项为_.（用数字作答）11. 已知等比数列的公比为，若，则12. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥中最长棱的棱长为13. 已知函数 若的最小值是，则14. 已知，若存在，满足,则称是的 一个“友好”三角形.(i) 在满足下述条件的三角形中，存在“友好”三角形的是_：（请写出符合要求的条件的序号） ； .(ii) 若等腰存在“友好”三角形，且其顶角的度数为_.三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。15. （本小题满分13分）已知函数.（）求函数的最小正周期；（）求函数在区间上的最大值与最小值的和. 16. （本小题满分13分） 已知某种动物服用某种药物一次后当天出现A症状的概率为. 为了研究连续服用该药物后出现A症状的情况，做药物试验.试验设计为每天用药一次，连续用药四天为一个用药周期. 假设每次用药后当天是否出现A症状的出现与上次用药无关. （）如果出现A症状即停止试验”，求试验至多持续一个用药周期的概率；（）如果在一个用药周期内出现3次或4次A症状，则这个用药周期结束后终止试验，试验至多持续两个周期. 设药物试验持续的用药周期数为，求的期望.17. （本小题满分14分）如图，在四棱锥中，底面，底面为梯形，且. （）若点为上一点且，证明：平面；（）求二面角的大小；（）在线段上是否存在一点，使得? 若存在，求出的长；若不存在，说明理由. 18. （本小题满分13分）已知函数. （）当时，求函数的单调区间和极值；（）求证：当时，关于的不等式在区间上无解.（其中）19. （本小题满分14分）已知椭圆的离心率为，其左顶点在圆上.（）求椭圆的方程；（）若点为椭圆上不同于点的点，直线与圆的另一个交点为. 是否存在点，使得? 若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 20. （本小题满分13分）若实数数列满足，则称数列为“数列”.（）若数列是数列，且，求，的值；() 求证：若数列是数列，则的项不可能全是正数，也不可能全是负数；() 若数列为数列，且中不含值为零的项，记前项中值为负数的项的个数为，求所有可能取值. 海淀区高三年级第一学期期末练习参考答案数学（理科） 2016.1阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.题号12345678答案ABDCACDD二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.题号91011121314答案；说明：第9，14题第一空3分，第二空2分三、解答题: 本大题共6小题，共80分.15解：（）因为.1分.5分（两个倍角公式，每个各2分）.6分所以函数的最小正周期. .7分（）因为，所以，所以. .8分当时，函数取得最小值; .10分当时，函数取得最大值, .12分因为,所以函数在区间上的最大值与最小值的和为. .13分16.解：（）设持续天为事件，用药持续最多一个周期为事件，.1分所以，.5分则. .6分法二：设用药持续最多一个周期为事件，则为用药超过一个周期，.1分所以, .3分所以. .6分（）随机变量可以取，.7分所以, , .11分所以. .13分17解：（）过点作，交于,连接,因为，所以.1分又，所以.2分所以为平行四边形, 所以.3分又平面，平面,.4分（一个都没写的，则这1分不给）所以平面. .5分（）因为梯形中，,所以.因为平面，所以,如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系,.6分所以.设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为,因为所以，即，.7分取得到,.8分同理可得,.9分所以,.10分因为二面角为锐角，所以二面角为.11分（）假设存在点，设，所以,.12分所以，解得,.13分所以存在点，且.14分18解：（）因为,所以，.1分当时，.2分令，得，.3分所以随的变化情况如下表：极大值极小值.6分所以在处取得极大值，在处取得极小值.7分函数的单调递增区间为，, 的单调递减区间为.8分（）证明：不等式在区间上无解，等价于在区间上恒成立，即函数在区间上的最大值小于等于1. 因为，令，得.9分因为时，所以.当时，对成立，函数在区间上单调递减，.10分所以函数在区间上的最大值为,所以不等式在区间上无解；.11分当时，随的变化情况如下表：极小值所以函数在区间上的最大值为或.12分此时,，所以 . 综上，当时，关于的不等式在区间上无解.13分19解：（）因为椭圆的左顶点在圆上，令，得，所以.1分又离心率为，所以，所以,.2分所以,.3分所以的方程为.4分（）法一：设点，设直线的方程为，.5分与椭圆方程联立得,化简得到,.6分因为为上面方程的一个根，所以，所以.7分所以.8分因为圆心到直线的距离为，.9分所以,.10分因为，.11分代入得到.13分显然，所以不存在直线，使得. .14分法二：设点，设直线的方程为，.5分与椭圆方程联立得化简得到,由得. .6分显然是上面方程的一个根，所以另一个根，即.7分由，.8分因为圆心到直线的距离为，.9分所以.10分因为，.11分代入得到,.13分若，则，与矛盾，矛盾，所以不存在直线，使得. .14分法三：假设存在点，使得，则，得. .5分显然直线的斜率不为零，设直线的方程为，.6分由，得,由得，.7分所以.9分同理可得，.11分所以由得，.13分则，与矛盾，所以不存在直线，使得. .14分20.解：（）因为是数列，且所以，所以, 所以，解得, .1分所以. .3分 () 假设数列的项都是正数，即，所以，与假设矛盾.故数列的项不可能全是正数,.5分假设数列的项都是负数，则而,与假设矛盾,.7分故数列的项不可能全是负数.()由()可知数列中项既有负数也有正数，且最多连续两项都是负数，最多连续三项都是正数. 因此存在最小的正整数满足（）.设，则.,故有, 即数列是周期为9的数列.9分由上可知这9项中为负数，这两项中一个为正数，另一个为负数，其余项都是正数. 因为,所以当时，;