《等边三角形的性质》进阶练习（二）.doc

等边三角形的性质进阶练习一、选择题1.如图所示，正方形 ABCD的面积为12， ABE是等边三角形，点 E在正方形 ABCD内，点 P是对角线 AC上一动点，若 PD+ PE的和最小，则这个最小值为（） A. B.C.3 D.2.ABCD是边长为1的正方形，BPC是等边三角形，则BPD的面积为（）A. B. C. D.3. 如图，在正方形ABCD的内部作等边ADE，则AEB度数为（） A.80 B.75C.70 D.60二、填空题4.若等边三角形的边长为6，则这个三角形的高线长是_ _.5.在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，若三角形ABC的边长为1，AE=2，则CD的长为 _ _ 6.如图，三角形 ABC 的三条边的长都是 2 个单位，现将三角形 ABC 沿射线 BC 方向向右平移 1 个单位后，得到三角形 DEF ，则四边形 ABFD 的周长为 个单位。 三、计算题7.如图，在等边三角形ABC中，BDAC于D，延长BC到E，使CE=CD，AB=6cm （1）求BE的长； （2）判断BDE的形状，并说明理由参考答案1.A2.B3.B4.35.1或36.87.解：（1）ABC为等边三角形， BC=AB=6cm， BDAC， AD=CD=AC=3cm， CD=CE=3cm， BE=BC+CE=6cm+3cm=9cm； （2）BDE为等腰三角形理由如下： ABC为等边三角形， ABC=ACB=60， BDAC， CBD=ABC=30， CD=CE， CDE=E， 而CDE+E=ACB=60， E=30， CBD=E， BDE为等腰三角形1. 【分析】 此题主要考查轴对称-最短路线问题，要灵活运用对称性解决此类问题由于点B与D关于AC对称，所以连接BD，与AC的交点即为P点此时PD+PE=BE最小，而BE是等边ABE的边，BE=AB，由正方形ABCD的面积为12，可求出AB的长，从而得出结果 【解答】 解：设BE与AC交于点F（P），连接BD， 点B与D关于AC对称，PD=PB，PD+PE=PB+PE=BE最小即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，为BE的长度；正方形ABCD的面积为12，AB=2又ABE是等边三角形，BE=AB=2故所求最小值为2故选A 2. 解：BPD的面积等于BCP和CDP面积和减去BCD的面积 因此本题求解BCP、CDP面积和BCD的面积即可， SBCP=， SCDP=， SBCD=11=， SBPD=+-= 故选B 根据三角形面积计算公式，找到BPD的面积等于BCP和CDP面积和减去BCD的面积的等量关系，并进行求解 本题考查了三角形面积的计算，考查了正方形对角线平分正方形为2个全等的等腰直角三角形解决本题的关键是找到BPD的面积等于BCP和CDP面积和减去BCD的面积的等量关系 3. 【分析】 本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握正方形和等边三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键由正方形和等边三角形的性质得出AB=AE，BAE=30，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出AEB的度数. 【解答】 解：四边形ABCD是正方形，BAD=90，AB=AD，ADE是等边三角形，DAE=60，AE=AD，AB=AE，BAE=90-60=30，AEB=（180-30）=75；故选B 4. 【分析】 本题主要考查了等边三角形的性质及勾股定理在直角三角形中的运用，本题中根据勾股定理计算AD的值是解题的关键根据等边三角形三线合一的性质可得D为BC的中点，即BD=CD，在直角三角形ABD中，已知AB、BD，根据勾股定理即可求得AD的长，即可解题 【解答】 解：等边三角形三线合一， D为BC的中点，ADBC，BD=DC=3，在RtABD中，AB=6，BD=3，AD=3，这个三角形的高线长是3， 故答案为3 5. 解：当E在线段BA的延长线上，D在线段BC的延长线上时，如图1所示， 过E作EFBD，垂足为F点，可得EFB=90， EC=ED，F为CD的中点，即CF=DF=CD， ABC为等边三角形，ABC=60， BEF=30， BE=AB+AE=1+2=3， FB=EB=， CF=FB-BC=， 则CD=2CF=1； 当E在线段AB的延长线上，D在线段CB的延长线上时，如图2所示， 过E作EFBD，垂足为F点，可得EFC=90， EC=ED，F为CD的中点，即CF=DF=CD， ABC为等边三角形，ABC=EBF=60， BEF=30， BE=AE-AB=2-1=1， FB=BE=， CF=BC+FB=， 则CD=2CF=3， 综上，CD的值为1或3 故答案为：1或3当E在线段BA的延长线上，D在线段BC的延长线上时，如图1所示，过E作EFBD，垂足为F点，由EC=ED，利用三线合一得到F为CD的中点，再由三角形ABC为等边三角形，利用等边三角形的性质得到ABC=60，可得出BEF=30，利用30所对的直角边等于斜边的一半，根据EB的长求出BF的长，由BF-BC求出CF的长，即可得到CD的长； 当E在线段AB的延长线上，D在线段CB的延长线上时，如图2所示，过E作EFBD，垂足为F点，由EC=ED，利用三线合一得到F为CD的中点，再由三角形ABC为等边三角形，利用等边三角形的性质得到ABC=EBF=60，可得出BEF=30，利用30所对的直角边等于斜边的一半，根据EB的长求出BF的长，由BF+BC求出CF的长，即可得到CD的长 此题考查了等边三角形的性质，含30度直角三角形的性质，利用了分类讨论的思想，熟练掌握等边三角形的性质是解本题的关键 6. 【分析】 本题考查平移的基本性质：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等根据平移的基本性质作答. 【解答】 解：根据题意，将边长为2个单位的等边ABC沿边BC向右平移1个单位得到DEF， 故四边形ABFD的边长分别为AD=1个单位，BF=3个单位，AB=DF=2个单位；故其周长为8个单位故答案为8. 7. （1）根据等边三角形的性质得BC=AB=6cm，再根据“三线合一”得AD=CD=AC=3cm，而CD=CE=3cm，所以BE=BC+CE=9cm； （2）根据等边三角形的性质得ABC=ACB=60，再根据“三线合一”得CBD=ABC=30，而CD=CE，则CDE=E，接着利用三角形外角性质得CDE+E=ACB=60，