沪科版初中数学2018年中考第一轮复习4.3.pptx

4 3特殊三角形 了解等腰三角形和直角三角形的有关概念 掌握等腰三角形的判定 并会运用等腰三角形的性质解决问题 掌握直角三角形的性质和判定 理解等边三角形的性质和判定 掌握并运用勾股定理及其逆定理 掌握角平分线性质定理及其逆定理 并会利用它解决问题 掌握线段垂直平分线定理及其逆定理 并会利用它解决问题 考点1等腰三角形的性质与判定 8年7考 1 等腰三角形的性质 1 等腰三角形的两个底角相等 简称 等边对等角 2 等腰三角形的顶角的平分线 底边上的高 底边上的中线重合 简称 等腰三角形三线合一 3 等腰三角形是轴对称图形 底边上的中线所在的直线就是它的对称轴 2 等腰三角形的判定 1 按定义 有两条边相等的三角形就是等腰三角形 2 有两个角相等的三角形是等腰三角形 简称 等角对等边 等腰三角形 三线合一 是证明两直线互相垂直的重要方法 也是处理等腰三角形问题中的常用辅助线作法 3 等边三角形 1 等边三角形的性质 等边三角形的三条边都相等 等边三角形的三个角都是60 2 等边三角形的判定 按定义 三边都相等的三角形是等边三角形 三个角都相等的三角形是等边三角形 有两个角是60 的三角形是等边三角形 有一个角是60 的等腰三角形是等边三角形 等边三角形的四种判定方法都可以应用 要根据不同的条件进行选择 以使问题简单化 典例1 2017 北京 如图 在 ABC中 AB AC A 36 BD平分 ABC交AC于点D 求证 AD BC 解析 由等腰三角形的性质及三角形内角和定理 可求出 ABD A 36 ABC C BDC 72 再据等角对等边及等量代换可得证 答案 AB AC A 36 ABC C 180 A 180 36 72 又 BD平分 ABC ABD DBC ABC 72 36 BDC A ABD 36 36 72 C AD BD BD BC AD BC 方法指导 证明两条线段相等 若这两条线段在一个三角形中 根据等腰三角形的判定定理可证这两边所对的两个角相等 若这两条线段分别在两个三角形中 可证这两个三角形全等 提分训练1 一个等腰三角形的两边长分别为4和6 则这个等腰三角形的周长为 D A 10B 14C 16D 14或16 解析 分两种情况 1 三边是4 4 6 周长是14 2 三边是4 6 6 周长是16 综上所述 该等腰三角形的周长为14或16 2 若等腰三角形的一个内角为100 则该等腰三角形的底角为40 解析 根据三角形的内角和定理 这个100 的内角必为顶角 所以另两个内角都为底角 底角的度数为 40 考点2直角三角形的性质与判定 8年7考 1 直角三角形的性质 1 直角三角形的两个锐角互余 2 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 3 直角三角形中 30 的角所对的直角边等于斜边的一半 等于斜边的一半的直角边所对的角是30 4 勾股定理 直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方 已知直角三角形中的两边求第三边 没有明确谁是斜边 时 一般要分类讨论 所求边是斜边 已知两边中的较长边是斜边 2 直角三角形的判定 1 有两个角的和等于90 的三角形是直角三角形 2 勾股定理的逆定理 如果一个三角形的一边的平方等于另两条边的平方和 那么这个三角形是直角三角形 这条边所对的角是直角 补充 一条边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形 这条边所对的角是直角 3 直角三角形面积的求法 典例2 2017 辽宁大连 如图 在 ABC中 ACB 90 CD AB 垂足为D 点E是AB的中点 CD DE a 则AB的长为 解析 由于CD AB CD DE a 答案 B 方法指导 在直角三角形中 已知两边的长 利用勾股定理可求第三边的长 已知三边的比 利用勾股定理构建方程 可求出三边的长 提分训练3 直角三角形的两直角边为3和4 则斜边上的高为2 4 知识拓展射影定理在直角三角形中 斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项 每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项 在Rt ABC中 ABC 90 BD是斜边AC上的高 则有射影定理如下 BD2 AD CD AB2 AD AC BC2 CD AC 提分训练4 如图 在Rt ABC中 ACB 90 CD AB于点D CD 2 BD 1 则AD的长是 D A 1B C 2D 4 解析 在Rt ABC中 ACB 90 CD AB 由射影定理得CD2 AD BD 即AD 4 考点3角的平分线的性质与判定 8年4考 1 定义在角的内部 以角的顶点为端点的一条射线把这个角分成两个相等的角 这条射线叫做这个角的平分线 2 性质角的平分线上的点到角的两边的距离相等 3 判定角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 典例3 2017 浙江台州 如图 点P是 AOB平分线OC上一点 PD OB 垂足为D 若PD 2 则点P到边OA的距离是 A 1B 2C D 4 解析 过点P作PH OA 垂足为H 点P是 AOB平分线OC上一点 PD OB PH OA PH PD 2 点P到边OA的距离是2 答案 B 方法指导 已知角的平分线及平分线上一点 要解决几何计算与证明问题 一般过角平分线上的一点作到两边的垂线 2020 1 7 17 提分训练5 如图 点P是 AOB平分线上的一点 点C在OA上 点D在OD上 添加下列条件 仍不能得到PC PD的是 D A PC OA PD OBB DPO CPOC OC ODD OC OP 解析 选项A中 PC OA于C PD OB于D 根据角的平分线的性质可得PC PD 选项B中 DPO CPO 而 DOP COP OP OP 可得 POC POD 所以PC PD 选项C中 OC OD 根据SAS可得 POC POD 所以PC PD 选项D的条件不能得到PC PD 6 如图 BP CP分别是 ABC的外角 CBD ECB的平分线 小明经过分析后 得出了以下结论 点P在 BAC的平分线上 BP CP 点P到AD AE BC的距离相等 把你认为正确的结论的序号写在横线上 解析 过点P作PM AB于点M PG AC于点G PN BC于点N 由角平分线的性质得PM PN PG 正确 根据角平分线的判定定理 知点P在 BAC的平分线上 正确 不成立 考点4线段的垂直平分线 8年3考 1 定义经过线段中点并且垂直于这条线段的直线 叫做这条线段的垂直平分线 2 性质线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 3 判定与线段两个端点距离相等的点 在这条线段的垂直平分线上 解题时常要把垂直平分线上的点与线段两端点连接 利用垂直平分线的性质解题 典例4 2017 广东深圳 如图 已知线段AB 分别以A B为圆心 大于AB为半径作弧 连接弧的交点得到直线l 在直线l上取一点C 使得 CAB 25 延长AC至M 则 BCM的度数为 A 40 B 50 C 60 D 70 解析 由作法可知直线l是线段AB的垂直平分线 AC BC CAB CBA 25 BCM CAB CBA 25 25 50 答案 B 方法指导 已知线段的垂直平分线 一般找相等的线段 再利用全等三角形或等腰三角形知识求解 变式拓展 如图 在 ABC中 AB的垂直平分线交AC于点E BE平分 ABC A 40 则 C的度数为60 解析 由线段垂直平分线的性质知AE BE 所以 A EBA 40 又BE平分 ABC 得 EBC EBA 40 所以 C 180 40 40 40 60 1 与特殊三角形有关的操作题典例1 2017 山东枣庄 如图 在Rt ABC中 C 90 以顶点A为圆心 适当长为半径画弧 分别交AC AB于点M N 再分别以M N为圆心大于MN长为半径画弧 两弧交于点P 作射线AP交BC于点D 若CD 4 AB 15 则 ABD的面积为 A 15B 30C 45D 60 解析 由题意得AP是 BAC的平分线 过点D作DE AB于点E 又 C 90 DE CD ABD的面积 AB DE 15 4 30 答案 B 2 与特殊三角形有关的动态问题典例2如图 在Rt ABC中 ABC 90 点D是AC的中点 作 ADB的平分线DE交AB于点E 1 求证 DE BC 2 若AE 3 AD 5 点P为BC上的一个动点 当BP为何值时 DEP为等腰三角形 请直接写出所有BP的值 解析 1 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BD AD AC 再根据等腰三角形三线合一的性质可得DE AB 再根据垂直于同一直线的两直线平行即可证明 2 利用勾股定理列式求出DE的长 根据等腰三角形三线合一的性质求出BE AE 然后分DE EP DP EP DE DP三种情况讨论求解 答案 1 ABC 90 点D是AC的中点 BD AD AC DE是 ADB的平分线 DE AB 又 ABC 90 DE BC 当DE DP时 过点D作DF BC于点F 则DF BE 3 3 与特殊三角形有关的探究问题典例3已知 ABC与 DEC是两个大小不同的等腰直角三角形 1 如图1所示 连接AE DB 试判断线段AE和DB的数量和位置关系 并说明理由 2 如图2所示 连接DB 将线段DB绕D点顺时针旋转90 到DF 连接AF 试判断线段DE和AF的数量和位置关系 并说明理由 解析 1 证明Rt ACE Rt BCD 即可求解 2 通过证明 EBD ADF 即可得解 答案 1 AE DB AE DB 理由 延长DB交AE于点M 由题意可知 CA CB CE CD ACE BCD 90 Rt ACE Rt BCD AE DB AEC BDC 又 AEC EAC 90 BDC EAC 90 在 AMD中 AMD 180 90 90 AE DB 2 DE AF DE AF 理由 设DE与AF相交于点N 由题意可知 BE AD EBD C BDC 90 BDC ADF BDF BDC 90 BDC EBD ADF 又 DB DF EBD ADF DE AF E FAD E 45 EDC 45 FAD 45 AND 90 DE AF 命题点1结合勾股定理考查最值 常考 1 2016 安徽第10题 如图 Rt ABC中 AB BC AB 6 BC 4 P是 ABC内部的一个动点 且满足 PAB PBC 则线段CP长的最小值为 B 解析 ABC 90 ABP PBC 90 PAB PBC PAB ABP 90 APB 90 点P在以AB为直径的 O上 连接OC交 O于点P 此时CP最小 在Rt BCO中 OBC 90 BC 4 OB 3 OC 5 CP OC OP 5 3 2 线段CP长的最小值为2 命题点2折叠与勾股定理综合 常考 2 2014 安徽第8题 如图 Rt ABC中 AB 9 BC 6 B 90 将 ABC折叠 使A点与BC的中点D重合 折痕为MN 则线段BN的长为 C 解析 设BN x 则AN DN 9 x 点D是CB的中点 则BD 3 在Rt NBD中 DN2 BD2 BN2