2000年考研数学一真题及参考答案

2000 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 理工数学一试题理工数学一试题 一 填空题一 填空题 1 1 2 0 2xx dx 2 曲面 222 2321xyz 在点 1 2 2 的法线方程为 3 微分方程 30 xyy 的通解为 4 已知方程组 1 2 3 1211 2323 120 x ax ax 无解 则a 5 设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为 1 9 A发生B不发生的概率与B发生A不 发生的概率相等 则P A 二 选择题二 选择题 1 设 f xg x是恒大于零得可导函数 且 0fx g xf x gx 则当axb B f x g af a g x C f x g xf b g b D f x g xf a g a 2 设 2222 1 0 S xyzazS 为S在第一卦限中的部分 则有 A 1 4 SS xdSxdS B 1 4 SS ydSxdS C 1 4 SS zdSxdS D 1 4 SS xyzdSxyzdS 3 设级数 1 n n u 收敛 则必收敛的级数为 A 1 1 n n n u n B 2 1 n n u C 212 1 nn n uu D 1 1 nn n uu 4 设n维列向量组 1 m mn 取逆时针方向 六 六 设对于半空间0 x 内任意的光滑有向封闭曲面 S都有 2 0 x S xf x dydzxyf x dzdxe zdxdy 其中函数 f x在 0 内具有连续的一阶导数 且 0 lim1 x f x 求 f x 七 七 求幂级数 1 1 32 n n n n x n 的收敛区域 并讨论该区间断电处的收敛性 八 八 设有一半径为R的球体 0 P是此球的表面上的一个定点 球体上任一点的密度与该点到 0 P 距离的平方成正比 比例常数0k 求球体的重心位置 九 九 设函数 f x在 0 上连续 且 00 0 cos0 f x dxf xxdx 试证 在 0 内 至少存在两个不同的点 12 使 12 0ff 十 本题满分十 本题满分 6 分 分 设矩阵A的伴随矩阵 1000 0100 1010 0308 A 且 11 3 ABABAE 其中E为 4 阶单位矩阵 求矩阵 B 十一 十一 某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工得人数统计 然后将 1 6 熟练工支援 其他生产部门 其缺额由招收新的非熟练工补齐 新 老非熟练工经过培训及之间实践至年 终考核有 2 5 成为熟练工 设第n年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为 n x和 n y 记为向量 n n x y 1 求 1 1 n n x y 与 n n x y 的关系式并写成矩阵形式 11 11 nn nn xx A yy 2 验证 12 41 11 是A的两个线性无关的特征向量 并求出相应的特征值 3 当 1 1 1 2 1 2 x y 时 求 1 1 n n x y 十二 十二 某流水生产线上每一个产品不合格的概率为 01pp 其中0 为未知参数 又设 12 n x xx 是X的一组样本观测值 求参数 的最大似然估计 值 2000 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 理工数学一试题详解及评析理工数学一试题详解及评析 一 填空题一 填空题 1 1 2 0 2xx dx 答 4 详解 11 2 22 2 000 2111sincos 4 xx dxxdxxttdt 2 曲面 222 2321xyz 在点 1 2 2 的法线方程为 答 122 146 xyz 详解 令 222 2321F x y zxyz 则有 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 222 1 2 248 1 2 2612 x y z Fx Fy Fz 因此所求法线方程为 122 146 xyz 3 微分方程 30 xyy 的通解为 答 2 1 2 C yC x 详解 令 py 则原方程化为 3 0 pp x 其通解为 3 pCx 因此 32 2 112 2 22 CCC yCx dxCxCC x 4 已知方程组 1 2 3 1211 2323 120 x ax ax 无解 则a 答 1 详解 化增广矩阵为阶梯形 有 121112111211 2323011011 120023100313 aaa aaaaa 可见 当1a 时 系数矩阵的秩为 2 而增广矩阵的秩为 3 因此方程组无解 注意 当3a 时 系数矩阵和增光矩阵的秩均为 2 方程组有无穷多解 5 设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为 1 9 A发生B不发生的概率与B发生A不 发生的概率相等 则 P A 答 2 3 详解 由题设 有 1 9 P ABP ABP AB 因为A和B相互独立 所以A与B A与B也相互独立 于是由 P ABP AB 有 P A P BP A P B 即有 11 P AP BP AP B 可得 P A P B 从而 21 1 9 P ABP A P BP A 解得 P A 2 3 二 选择题二 选择题 1 设 f xg x是恒大于零得可导函数 且 0fx g xf x gx 则当axb B f x g af a g x C f x g xf b g b D f x g xf a g a 答 应选 A 详解 由题设知 2 0 f xfx g xf x gx g xgx 因此当axb 即 f x g bf b g x 可见 A 为正确选项 2 设 2222 1 0 S xyzazS 为S在第一卦限中的部分 则有 A 1 4 SS xdSxdS B 1 4 SS ydSxdS C 1 4 SS zdSxdS D 1 4 SS xyzdSxyzdS 答 应选 C 详解 显然 待选答案的四个右端均大于零 而S关于平面0 x 和0y 对称 因此 A B D 三项中的左端项均能为零 可见 C 一定为正确选项 事实上 有 11 44 SSS zdSzdSxdS 3 设级数 1 n n u 收敛 则必收敛的级数为 A 1 1 n n n u n B 2 1 n n u C 212 1 nn n uu D 1 1 nn n uu 答 应选 D 详解 利用级数的性质即知 D 为正确选项 事实上 A B C 三个选项可举 反例说明是不正确的 例如 2 1 1 ln n n n 收敛 但 22 1 1 ln n n nn u nnn 发散 可排除 A 1 1 1 n nn 收敛 但 2 11 1 n nn u n 发散 可排除 B 1 1 1 1 n n n 收敛 但 212 111 111 212 nn nnn uu nnn 发散 可排除 c 4 设n维列向量组 1 m mn 线性无关 则n维列向量组 1 m 线性无关的充 分必要条件为 A 向量组 1 m 可由向量组 1 m 线性表示 B 向量组 1 m 可由向量组 1 m 线性表示 C 向量组 1 m 与向量组 1 m 等价 D 矩阵 1 m A 与矩阵 1 m B 等价 答 应选 D 详解 用排除法 A 为充分但非必要条件 若向量组 1 m 可由向量组 1 m 线性表示 则一定可推 导 1 m 线性无关 因为若 1 m 线性相关 则 1 m rm 取逆时针方向 详解 2222 44 yx PQ xyxy 则有 22 2 22 4 0 0 4 PyxQ x y xy xy 作足够小的椭圆 cos 2 sin xt C yt 0 2 tC 取逆时针方向 于是由格林公式有 22 0 4 L C xdyydx xy 从而有 2 2 22222 0 1 2 44 LC xdyydxxdyydx IIdt xyxy 六 六 设对于半空间0 x 内任意的光滑有向封闭曲面 S都有 2 0 x S xf x dydzxyf x dzdxe zdxdy 其中函数 f x在 0 内具有连续的一阶导数 且 0 lim1 x f x 求 f x 详解 由题设和高斯公式得 2 2 0 x S x xf x dydzxyf x dzdxe zdxdy xfxf xxf xedV 其中 为S围成的有界闭区域 号对应曲面取外侧或内侧 由S的任意性 知 2 0 0 x xfxf xxf xex 即 2 11 1 0 x fxf xex xx 这是一阶线性非齐次微分方程 其通解为 x x e f xeC x 由于 2 00 limlim1 xx xx eCe f x x 故必有 2 0 lim0 xx x eCe 即 10C 从而1C 因此 1 x x e f xe x 七 七 求幂级数 1 1 32 n n n n x n 的收敛区域 并讨论该区间断电处的收敛性 详解 因为 1 11 1 2 1 32 3 1 limlimlim 3 3212 3 11 3 n n n n nn nnnn n n n a a n n 所以收敛半径为3R 相应的收敛区间为 3 3 当3x 时 因为 311 2 32 n n n nn 且 1 1 n n 发散 所以原级数在点3x 处发散 当3x 时 由 于 32111 1 3232 nn n nn nn nnn 且 1 1 n n n 与 1 21 32 n n n n n 都收敛 所以原级数在点3x 处收敛 八 八 设有一半径为R的球体 0 P是此球的表面上的一个定点 球体上任一点的密度与该点到 0 P 距离的平方成正比 比例常数0k 求球体的重心位置 分析 本题为一物理应用题 由于重心坐标是相对某一些坐标系而言的 因此本题的关键 是建立适当的坐标系 一般来说 可考虑选取球心或固定点 0 P作为坐标原点 相应的有两种 求解方法 详解 1 用 表示球体 以 的球心为原点 O射线 0 OP为正x轴建立直角坐标系 则点 0 P的坐标为 0 0R球面的方程为 2222 xyzR 设 的重心位置为 x y z 由对称性 得 0 0 yz 2 22 2 22 x kxRyzdV x kxRyzdV 而 2 22 2232225 22 000 5 4 8sin 3 32 15 R xRyzdV xyzdVR dVddrrdrR R 2 222 2236 2 28 315 xxRyzdVRx dV R xyzdVR 故 4 R x 因此 球体 的重心位置为 0 0 4 R 详解 2 用 表示所考虑的球体 O表示球心 以点 0 P选为原点 射线 0 P O为正z轴建立直角坐标系 则球面的方程为 222 2xyzRz 设 的重心位置为 x y z 由对称性 得 0 0 xy 223 223 kz xyzdV z k xyzdV 因为 2cos 2224 22 000 5 4sin 32 15 R xyzdVddrdr R 2cos 2225 22 000 67 2 0 6 4sincos 64 cossin 3 8 3 R z xyzdVddrdr Rd R 故 5 4 zR 因此 球体 的重心位置为 5 0 0 4 R 九 九 设函数 f x在 0 上连续 且 00 0 cos0 f x dxf xxdx 试证 在 0 内 至少存在两个不同的点 12 使 12 0ff 详解 令 0 F xf t dt 则有 00 FF 又因为 00 00 0 0coscos cossin sin f xxdxxdF x F xxF xxdx F xxdx 令 0 sinG xF xtdt 则 00 GG 于是存在 0 使 sin0 F 因为当 0 这样就证明了 00FFF 再对 F x在区间 0 上分别用罗尔定理知 至少存在 1 0 2 使 12 0FF 即 12 0ff 十 本题满分十 本题满分 6 分 分 设矩阵A的伴随矩阵 1000 0100 1010 0308 A 且 11 3 ABABAE 其中E为 4 阶单位矩阵 求矩阵 B 分析 本题为解矩阵方程问题 相当于是未知矩阵 其一般原则是先简化 再计算 根据 题设等式 可先右乘A 再左乘 A 尽量不去计算 1 A 详解 1 由 AAA AA E 知 1 n AA 因此有 3 8AA 于是 2A 在等式 11 3 ABABAE 两边先右乘A 再左乘 A 得 23 BA BA AA B 26 EABE 于是 1 1 10006000 01000600 6 26 10106060 03060301 BEA 详解 2 2A 同解 1 由 AAA AA E 得 11 1000 0100 22 1010 31 00 88 2000 0200 2020 31 00 44 AA AA 可见AE 为逆矩阵 于是由 1 3 AE BAE 有 1 3BAEA 而 1 1 10001000 01000100 20102010 433 01000 344 AE 因此 10002000 6000 01000200 0600 3 20102020 6060 431 030101000 344 B 十一 十一 某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工得人数统计 然后将 1 6 熟练工支援 其他生产部门 其缺额由招收新的非熟练工补齐 新 老非熟练工经过培训及之间实践至年 终考核有 2 5 成为熟练工 设第n年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为 n x和 n y 记为向量 n n x y 1 求 1 1 n n x y 与 n n x y 的关系式并写成矩阵形式 11 11 nn nn xx A yy 2 验证 12 41 11 是A的两个线性无关的特征向量 并求出相应的特征值 3 当 1 1 1 2 1 2 x y 时 求 1 1 n n x y 详解 1 由题意 得 1 1 52 1 65 6 3 1 5 6 nnnn nnn xxxy yxy 化简 1 1 92 105 13 105 nnn nnn xxy yxy 即