高中数学 1.1 空间几何体 1.1.4 投影与直观图教案 新人教B版必修2.doc

1.1.4 投影与直观图示范教案教学分析在教学中，要引导学生体会画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连结这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形水平放置时，直观图的画法可以归结为确定点的位置的画法而在平面上确定点的位置，可以借助于平面直角坐标系，确定了点的坐标就可以确定点的位置因此，画水平放置的平面直角坐标系应当是学生首先要掌握的方法值得注意的是直观图的教学应注意引导学生正确把握图形尺寸大小之间的关系；另外，教学中还可以借助于信息技术向学生多展示一些图片，让学生辨析它们是平行投影下的图形还是中心投影下的图形三维目标1通过用斜二测画法画水平放置的平面图形和空间几何体的直观图，提高学生识图和画图的能力，培养探究精神和意识，以及转化与化归的数学思想方法2了解平行投影和中心投影的性质，提高实践能力重点难点教学重点：用斜二测画法画空间几何体的直观图教学难点：将直观图还原为实物图课时安排1课时导入新课设计1.画几何体时，画得既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系，怎样画呢？教师指出课题：直观图设计2.正投影主要用于绘制三视图，在工程制图中被广泛采用，但三视图的直观性较差，因此绘制物体的直观图一般采用斜投影或中心投影中心投影虽然可以显示空间图形的直观形象，但作图方法比较复杂，又不易度量，因此在立体几何中通常采用斜投影的方法来画空间图形的直观图把空间图形画在纸上，是要用一个平面图形来表示空间图形，这样表达的不是空间图形的真实形状，而是它的直观图推进新课讨论结果： (1)已知图形f，直线l与平面相交(下图)过f上任意一点m作直线mm平行于l，交平面于点m，则点m叫做点m在平面内关于直线l的平行投影(或象)如果图形f上的所有点在平面内关于直线l的平行投影构成图形f，则f叫做图形f在内关于直线l的平行投影平面叫做投射面，l叫做投射线(2)当图形中的直线或线段不平行于投射线时，平行投影都具有下述性质：直线或线段的平行投影仍是直线或线段；平行直线的平行投影是平行或重合的直线；平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；如左上图中，abab，cdcd.与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等；在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比(右上图)事实上，如果线段ab在平面内关于直线l的平行投影是ab(右上图)，点m在ab上，且ammbmn，则点m的平行投影m在ab上，由初中所学的知识可以得出ammbmn.(1)如何用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图？(2)上述画直观图的方法称为斜二测画法，请总结其步骤.(3)探求空间几何体的直观图的画法.用斜二测画法画长、宽、高分别是4 cm、3 cm、2 cm的长方体abcdabcd的直观图.(4)用斜二测画法画水平放置的平面图形和几何体的直观图有什么不同？并总结画几何体的直观图的步骤讨论结果：(1)画法：如下图(1)，在正六边形abcdef中，取ad所在直线为x轴，对称轴mn所在直线为y轴，两轴相交于点o.在下图(2)中，画相应的x轴与y轴，两轴相交于点o，使xoy45.在下图(2)中，以o为中点，在x轴上取adad，在y轴上取mnmn.以点n为中点画bc平行于x轴，并且等于bc；再以m为中点画ef平行于x轴，并且等于ef.连结ab，cd，de，fa，并擦去辅助线x轴和y轴，便获得正六边形abcdef水平放置的直观图abcdef下图(3)(2)步骤是：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点o.画直观图时，把它们画成对应的x轴与y轴，两轴交于点o，且使xoy45(或135)，它们确定的平面表示水平面已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x轴或y轴的线段已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半(3)画法：画轴如下图，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点o，使xoy45，xoz90.画底面以点o为中点，在x轴上取线段mn，使mn4 cm；在y轴上取线段pq，使pq cm.分别过点m和n作y轴的平行线，过点p和q作x轴的平行线，设它们的交点分别为a、b、c、d，四边形abcd就是长方体的底面画侧棱过a、b、c、d各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段aa、bb、cc、dd.成图顺次连结a、b、c、d，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图点评：画几何体的直观图时，如果不作严格要求，图形尺寸可以适当选取，用斜二测画法画图的角度也可以自定，但是要求图形具有一定的立体感(4)画几何体的直观图时还要建立三条轴，实际是建立了空间直角坐标系，而画水平放置平面图形的直观图实际上建立的是平面直角坐标系画几何体的直观图的步骤是：在已知图形所在的空间中取水平平面，作互相垂直的轴ox、oy，再作oz轴，使xoy90，yoz90.画出与ox、oy、oz对应的轴ox、oy、oz，使xoy45，yoz90，xoy所确定的平面表示水平平面已知图形中，平行于x轴、y轴和z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x轴、y轴和z轴的线段，并使它们在所画坐标轴中的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图斜二测画法的作图技巧：在已知图中建立直角坐标系，理论上在任何位置建立坐标系都行，但实际作图时，一般建立特殊的直角坐标系，尽量运用原有直线为坐标轴或图形的对称直线为坐标轴或图形的对称点为原点或利用原有垂直正交的直线为坐标轴等在原图中与x轴或y轴平行的线段在直观图中依然与x轴或y轴平行，原图中不与坐标轴平行的线段可以先画出线段的端点再连线，画端点时作坐标轴的平行线为辅助线原图中的曲线段可以通过取一些关键点，利用上述方法作出直观图中的相应点后，用平滑的曲线连结而画出在画一个水平放置的平面时，由于平面是无限延展的，通常我们只画出它的一部分表示平面，一般地，用平行四边形表示空间一个水平平面的直观图讨论结果：中心投影的投影线交于一点空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线可能变成了相交的直线中心投影后的图形与原图形相比虽然改变较多，但直观性强，看起来与人的视觉效果一致，最像原来的物体，所以在绘画时，经常使用这种方法但在立体几何中很少用中心投影原理来画图思路1例1用斜二测画法画水平放置的圆的直观图解：画法：(1)如下图(1)，在o上取互相垂直的直径ab、cd，分别以它们所在的直线为x轴与y轴，将线段ab n等分过各分点分别作y轴的平行线，交o于e，f，g，h，画对应的x轴和y轴，使xoy45.(2)如上图(2)，以o为中点，在x轴上取abab，在y轴上取cdcd，将ab n等分，分别以这些分点为中点，画与y轴平行的线段ef，gh，使efef，ghgh，.(3)用光滑曲线顺次连结a，d，f，h，b，g，e，c，a并擦去辅助线，得到圆的水平放置的直观图上图(3)点评：本题主要考查用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图变式训练关于“斜二测画法”，下列说法不正确的是()a原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于x轴，长度不变b原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y轴，长度变为原来的c在画与直角坐标系xoy对应的xoy时，xoy必须是45d在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同解析：在画与直角坐标系xoy对应的xoy时，xoy也可以是135.答案：c例2画正五棱锥的直观图分析：回顾斜二测画法的规则，指明其关键是确定关键点的位置解：画法：(1)画底面(根据平面图形的直观图画法)(下图)；(2)画z轴(z轴与x轴的交角为90)，并画高线(与原长相等)，连线成图(下图)；(3)擦去辅助线，被遮线画虚线点评：画简单几何体的直观图时，通常先画下部，按从下到上的顺序，依次画出变式训练画圆柱的直观图解：如下图所示，步骤略思路2例3如下图所示，梯形abcd中，abcd，ab4 cm，cd2 cm，dab30，ad3 cm，试画出它的直观图. 活动：利用斜二测画法作该梯形的直观图，要注意在斜二测画法中，要有一些平行于原坐标轴的线段才好按部就班地作图，所以先在原坐标系中过d作出该点在x轴的垂足，则对应地可以作出线段de的直观图，进而作出整个梯形的直观图解：步骤是：(1)如下图(1)所示，在梯形abcd中，以边ab所在的直线为x轴，点a为原点，建立平面直角坐标系xoy.如下图(2)所示，画出对应的x轴，y轴，使xay45.(2)如下图(1)所示，过d点作dex轴，垂足为e.在x轴上取abab4 cm，aeae cm2.598 cm；过e作edy轴，使eded0.75(cm)，再过点d作dcx轴，且使dccd2 cm. (1) (2) (3)(3)连结ad、bc、cd，并擦去x轴与y轴及其他一些辅助线，上图(3)所示，则四边形abcd就是所求作的直观图点评：本题考查利用斜二测画法画空间图形的直观图在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，便于画点；原图中的共线点，在直观图中仍是共线点；原图中的共点线，在直观图中仍是共点线；原图中的平行线，在直观图中仍是平行线本题中，关键在于点d位置的确定，这里我们采用作垂线的方法，先找到垂足e，再去确定d的位置变式训练1.如下图所示，直角梯形abcd中，adbc，且adbc，该梯形绕边ad所在直线ef旋转一周得一几何体，画出该几何体的直观图答案：该几何体是由一个圆锥和一个圆柱拼接而成的简单组合体，其直观图如下图所示2已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积是()a16 b64 c16或64 d都不对解析：根据直观图的画法，平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段变为原来的一半，于是长为4的边如果平行于x轴，则正方形边长为4，面积为16，边长为4的边如果平行于y轴，则正方形边长为8，面积是64.答案：c1利用斜二测画法画直观图时：三角形的直观图是三角形；平行四边形的直观图是平行四边形；正方形的直观图是正方形；菱形的直观图是菱形以上结论中，正确的是_解析：斜二测画法保持平行性和相交性不变，即平行直线的直观图还是平行直线，相交直线的直观图还是相交直线，故正确；但是斜二测画法中平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半，则正方形的直观图不是正方形，菱形的直观图不是菱形，所以错答案：2一个三角形用斜二测画法画出来的直观图是边长为2的正三角形，则原三角形的面积是()a2 b4c. d都不对解析：根据斜二测画法的规则，正三角形的边长是原三角形的底边长，原三角形的高是正三角形高的2倍，而正三角形的高是，所以原三角形的高为2，于是其面积为222.答案：a3一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于()a. b1c1 d2解析：平面图形是上底长为1，下底长为1，高为2的直角梯形计算得面积为2.答案：d4斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点m(4,4)在直观图中对应点是m，则点m的找法是_解析：在x轴的正方向上取点m1，使om14，在y轴上取点m2，使om22，过m1和m2分别作平行于y轴和x轴的直线的交点就是m.答案：在xoy中，过点(4,0)和y轴平行的直线与过(0,2)和x轴平行的直线的交点即是画一几何体的直观图，该几何体是由一个长方体和一个以直四棱柱的上底面为底面的四棱锥拼接而成解：步骤是：(1)作出长方体的直观图abcda1b1c1d1，如下图(1)所示(2)再以上底面a1b1c1d1的对角线交点为原点建立空间直角坐标系，如下图(2)所示，在z上取点v，使得vo的长度为棱锥的高，连结va1、vb1、vc1、vd1得到四棱锥的直观图，如下图(2)(3)擦去辅助线和坐标轴，遮住部分用虚线表示，得到几何体的直观图，如下图(3)本节课学习了：1平行投影、中心投影、直观图的概念；2直观图的画法；3规律总结：用斜二测画法画直观图，关键是掌握水平放置的平面图形的直观图的画法，而画水平放置的平面图形的关键是确定多边形的顶点因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连结这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形水平放置时，直观图的画法就可归结为确定点的位置的画法本节练习a3,4题由于直观图的画法可以灵活多变，尺寸不作严格要求因此本节教学设计中没有设计过多地严格按步骤画直观图的题目，这要引起我们的注意特别是高考中很少见直接考查画直观图的题目，并且高考试题关于立体几何的解答题其直观图通常直接给出，因此本节主要是通过画直观图培养学生的空间想象能力，以及画图和识图的能力备选习题【例】 若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积是原来三角形面积的()a.倍 b2倍c.倍 d.倍解析：直观图也是三角形，并且有一条公共边，但是这条公共边上的高发生变化直观图中公共边上的高是原三角形中公共边上高的，则直观图的面积是原来三角形面积的倍答案：a知识拓展直观图的概念与分类按平行投影法，把空间图形在纸上或黑板上画得既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系(主要是长、宽、高三个方面的)，我们把这种投影图叫做直观图用平行投影法把物体连同直角坐标系一起投影到一个投影面上所得的投影图，叫做轴测投影图(简称轴测图)，这种投影画法称为轴测投影法轴测投影按投影线与轴测投影面斜交或垂直，可分为斜轴测投影和正轴测