高中数学 1.2 点、线、面之间的位置关系 1.2.1 平面的基本性质与推论课堂探究 新人教B版必修2.doc

1.2.1 平面的基本性质与推论课堂探究探究一 文字语言、图形语言和符号语言的转换我们在立体几何中使用符号语言时，还应明确符号语言在代数与几何中的差异首先是结合集合知识了解规定符号的背景，找出它们的区别与联系：(1)“，”等符号来源于集合符号，但在读法上用几何语言，例如，a，读作“点a在平面内”，a读作“直线a在平面内”，l读作“平面，相交于直线l”(2)在“a，a，l，l”中“a”视为平面(集合)内的点(元素)，直线l(集合)视为平面(集合)的子集明确这一点，才能正确使用集合符号【典型例题1】 如图所示，写出图形中的点、直线和平面之间的关系图(1)可以用几何符号表示为_图(2)可以用几何符号表示为_解析：图(1)可以用几何符号表示为ab，a，b，aab，bab即平面与平面相交于直线ab，直线a在平面内，直线b在平面内，直线a平行于直线ab，直线b平行于直线ab图(2)可以用几何符号表示为mn，abc的三个顶点满足条件amn，b，c，bmn，cmn即平面与平面相交于直线mn，abc的顶点a在直线mn上，点b在内但不在直线mn上，点c在平面内但不在直线mn上答案：ab，a，b，aab，babmn，abc的三个顶点满足条件amn，b，c，bmn，cmn探究二 点线共面问题(1)证明点线共面的主要依据：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内(基本性质1)；经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(基本性质2及推论)(2)证明点线共面的常用方法：纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面，再证明其余元素确定平面，最后证明平面，重合【典型例题2】 (1)有下列四个说法：过三点确定一个平面； 矩形是平面图形；三条直线两两相交则确定一个平面； 两个相交平面把空间分成四个区域其中错误的序号是()a和 b和 c和 d和解析：不共线的三点确定一个平面，故错；三条直线两两相交，交于三点时，确定一个平面，交于一点时，可确定一个或三个平面，故错答案：b(2)如图所示，已知直线a与两平行直线b，c都相交求证：a，b，c三线共面思路分析：有两种方法先用两平行直线b，c确定一个平面，再证a也在这个平面内；先由两条相交直线a，b确定一个平面，再证c也在这个平面内证法一：因为bc，则b，c确定一个平面，设为，如图，令aba，acb，所以a，b，所以ab，即直线a所以a，b，c三线共面证法二：因为a与b是相交直线，则a，b确定一个平面，设为，如图，设aca，过a点在内作直线cb，因为cb，cb，所以cc又因为c与c相交于点a，所以c与c重合所以a，b，c三线共面点评本题为我们证明共面问题提供了多角度的思维模式，但整体套路都是先用部分对象确定一个平面，再证明剩余对象都在这个平面内探究三 点共线、线共点问题证明多点共线，通常是过其中两点作一条直线，然后证明其他的点也在这条直线上，或者根据已知条件设法证明这些点同时在两个相交平面内，然后根据基本性质3就得到这些点在两个平面的交线上证明三线共点问题，可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证另两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看做某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证这两点重合，从而得到三线共点【典型例题3】 (1)如图，l，在梯形abcd中，adbc，且ab，cd求证：ab，cd，l共点(相交于一点)证明：如图，在梯形abcd中，设abcde，因为ab，cd，所以e，e又l，所以el，即ab，cd，l共点(相交于一点)(2)如图所示，已知abc的三个顶点都不在平面内，它的三边ab，bc，ac延长后分别交平面于点p，q，r求证：点p，q，r在同一条直线上证明：已知ab的延长线交平面于点p，根据基本性质3，平面abc与平面必相交于一条直线，设为l因为p直线ab，所以p平面abc又直线abp，所以p所以p是平面abc与平面的公共点因为平面abc平面l，所以pl同理，ql，rl所以点p，q，r在同一条直线l上探究四 交线问题画两平面的交线时，关键是找到这两个平面的两个公共点，这两个公共点的连线即是在找公共点的过程中往往要借助于基本性质1和基本性质3，一般是用基本性质1找到，再用基本性质3证明【典型例题4】 如图所示，g是正方体abcda1b1c1d1的棱dd1延长线上一点，e，f是棱ab，bc的中点试分别画出过下列点、直线的平面与正方体表面的交线(1)过点g及直线ac；(2)过三点e，f，d1思路分析：找出两个平面的两个公共点，则过这两个公共点的直线为两平面的交线解：(1)画法：连接ga交a1d1于点m；连接gc交c1d1于点n；连接mn，ac，则ma，cn，mn，ac为所求平面与正方体表面的交线如图所示(2)画法：连接ef交dc的延长线于点p，交da的延长线于点q；连接d1p交cc1于点m，连接d1q交aa1于点n；连接mf，ne，则d1m，mf，fe，en，nd1为所求平面与正方体