高中数学 2.3 圆的方程 2.3.2 圆的一般方程学案 新人教B版必修2.doc

2.3.2圆的一般方程1掌握圆的一般方程及其特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程，从而求出圆心和半径；能用待定系数法由已知条件导出圆的方程；能将圆的标准方程转化为圆的一般方程2理解圆的一般方程的结构，掌握利用待定系数法求圆的一般方程的方法3了解一般二元二次方程ax2bxycy2dxeyf0表示圆的条件1圆的一般方程圆的一般方程是x2y2dxeyf0，限制条件是_【做一做11】下列方程中表示圆的是()ax2y22x2y20bx2y22xyy10cx22y22x4y30dx2y24x6y902二元二次方程x2y2dxeyf0表示的图形方程条件图形x2y2dxeyf0_不表示任何图形_表示一个点，点的坐标为_d2e24f0表示以_为圆心，以_为半径的圆二元二次方程ax2bxycy2dxeyf0表示圆必须具备以下两个条件：ac0，b0；d2e24af0.【做一做21】若方程x2y2xym0表示圆，则实数m满足的条件是()am bm10 cm dm【做一做22】已知圆x24x4y20的圆心是点p，则点p到直线xy10的距离是_【做一做23】方程x3xy22x22xy2x0表示的图形是_1求圆关于一个点或一条直线对称的圆的方程的问题剖析：要求圆c：(xa)2(yb)2r2关于点p(x0，y0)对称的圆的方程，首先找圆心c(a，b)关于点p(x0，y0)的对称点，得到对称圆的圆心，半径不变如：求圆(x2)2y25关于原点对称的圆的方程因为已知圆的圆心是(2,0)，它关于原点的对称点是(2,0)，所以所求的圆的方程为(x2)2y25.同理求圆关于直线mxnyp0对称的圆的方程，只需求圆心关于直线的对称点如：已知圆c与圆(x1)2y21关于直线yx对称，求圆c的方程，我们可以通过设圆心(1,0)关于yx对称的点为(a，b)，则得所以所求圆的方程为x2(y1)21.2圆的标准方程与一般方程的比较剖析：(1)圆的标准方程，需要确定圆心的坐标和圆的半径；而圆的一般方程，则需要确定一般方程中的三个系数d，e，f.圆的一般方程也含有三个参变量，因此必须具备三个独立的条件，才能确定一个圆(2)圆的标准方程明确指出了圆的圆心和半径，而圆的一般方程表明了方程形式上的特点题型一 求圆的一般方程【例1】求经过p(2,4)，q(3，1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6的圆的一般方程分析：本题考查圆的方程的同时，也考查了弦长公式，应注意根与系数的关系所涉及的x1x2，x1x2与x1x2的关系反思：用待定系数法求圆的方程有两种不同的选择：一般地，已知圆上三点时用一般方程；已知圆心或半径时，用标准方程题型二 圆的方程中参数范围问题【例2】已知方程x2y22(t3)x2(14t2)y16t490(tr)表示的图形是圆(1)求t的取值范围；(2)求其中面积最大的圆的方程；(3)若点p(3,4t2)恒在所给圆内，求t的取值范围分析：明确圆的一般方程成立的条件，圆面积仅与半径有关，而点在圆内则给出了t满足的不等关系反思：本题考查二元二次方程表示圆的条件，同时考查点与圆的位置关系的判定方法及两种形式互化问题题型三 求圆关于点(线)对称的圆【例3】试求圆c：x2y2x2y0关于直线l：xy10对称的曲线c的方程分析：对称圆的圆心坐标变化、半径不变，另外可利用相关点法来求反思：圆关于点(线)对称的圆的大小不变，即半径不变，改变的只是圆的位置即圆心位置，所以只需求出已知圆的圆心关于对称点(线)对称的点即为所求圆的圆心，就能确定对称圆的方程题型四 易错辨析【例4】已知圆的方程为x2y26x6y140，求过点a(3，5)的直线交圆的弦pq的中点m的轨迹方程错解：设m(x，y)是所求轨迹上的任意一点，圆的方程可化为(x3)2(y3)24，圆心c(3,3)cmam，kcmkam1，即1，整理得x2(y1)225.所求动点m的轨迹方程是x2(y1)225.错因分析：忽视了动点一定在已知圆内这个大前提，因此求出轨迹方程后，要有检验意识1若方程a2x2(a2)y22axa0表示圆，则a的值是()a1 b2 c1或2 d12过点p(2,1)且被圆c：x2y22x4y0截得弦最长的直线l的方程是()a3xy50 bx3y50c3xy50 dx3y503圆c：x2y24x2y0关于直线yx1对称的圆的方程是()a(x1)2(y2)25b(x4)2(y1)25c(x2)2(y3)25d(x2)2(y3)254圆x2y24x2y10的圆心为_，半径为_5若直线l将圆x2y24x2y0平分，并且l不经过第二象限，则直线l的斜率的取值范围是_答案：基础知识梳理1d2e24f0【做一做11】d2d2e24f0d2e24f0【做一做21】a方程x2y2xym0可化为22m.方程表示圆，m0，即m.【做一做22】由x24x4y20得(x2)2y28，即圆心为p(2,0)，故点p到直线xy10的距离为.【做一做23】直线(y轴)或点(1，1)由题意，得x(x1)2(y1)20，x0或方程表示的图形为直线(y轴)或点(1，1)典型例题领悟【例1】解：设圆的方程为x2y2dxeyf0，将p，q点的坐标分别代入得令y0，得x2dxf0.设x1，x2是方程的两根，由|x1x2|6，得d24f36.由解得d2，e4，f8，或d6，e8，f0.所以所求圆的一般方程为x2y22x4y80或x2y26x8y0.【例2】解：(1)已知方程可化为(xt3)2(y14t2)2(t3)2(14t2)216t49，r27t26t10，即7t26t10，解得t1.故t的取值范围是.(2)r.当t时，rmax，此时圆的面积最大对应的圆的方程是22.(3)当且仅当t217t26t1时，点p恒在圆内，8t26t0，解得0t.故t的取值范围是.【例3】解法一：设p(x，y)为所求曲线c上任意一点，p关于l的对称点为p(x0，y0)，则p(x0，y0)在圆c上由题意可得解得(*)因为p(x0，y0)在圆c上，所以xyx02y00，将(*)代入，得(y1)2(x1)2(y1)2(x1)0.化简，得x2y24x3y50，即曲线c的方程是x2y24x3y50.解法二：(特殊对称)圆c关于直线l的对称图形仍然是圆，且半径不变，故只需求圆心c，圆心c关于直线l：xy10的对称点为c，因此所求圆c的方程为(x2)22.【例4】正解：方法一：设所求轨迹上任一点m(x，y)，圆的方程可化为(x3)2(y3)24，圆心c(3,3)cmam，kcmkam1，即1，即x2(y1)225.所求轨迹方程为x2(y1)225(已知圆内的部分)方法二：设过a点的弦pq的中点坐标为m(x，y)，p(x1，y1)，q(x2，y2)，因为p，q两点都在已知圆上，所以由得(xx)(yy)6(x2x1)6(y2y1)0，即(x1x26)(x2x1)(y1y26)(y2y1)0.当x1x2时，直线方程为x3，显然