高中数学 3.3 几个三角恒等式导学案 苏教版必修4.doc

3.3几个三角恒等式学习目标重点难点1会运用所学知识推导积化和差与和差化积公式、万能公式、半角公式2能利用所学公式进行三角恒等变换.重点：积化和差公式、和差化积公式、万能公式及半角公式的推导难点：综合运用公式进行三角恒等变换.1积化和差、和差化积公式(1)积化和差公式：sin cos sin()sin()；cos sin ；cos cos ；sin sin .(2)和差化积公式：sin sin 2sincos；sin sin 2cossin；cos cos 2coscos；cos cos 2sinsin.预习交流1和差化积公式的适用条件是什么？提示：只有系数的绝对值相同的同名三角函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式若要求系数相同的异名函数的和与差，则要先用诱导公式化成同名三角函数，再运用公式2万能公式及半角公式(1)万能代换公式：sin ，cos ，tan .(2)半角公式：sin，cos，tan.预习交流2万能代换公式有何优点？提示：万能代换公式是将三种三角函数统一用tan(即半角的正切)表示，做到了形式上的统一因为该公式可以用tan的有理式统一表示角的任何三角函数值，所以称为“万能”公式一、三角函数式的求值求值：sin 20sin 40sin 60sin 80.思路分析：首先将三角函数化为余弦形式，代入特殊值后进行积化和差解：原式cos 10cos 30cos 50cos 70cos 10cos 50cos 70cos 70cos 40cos 70cos 70(cos 110cos 30)cos 70cos 110.1已知且cos cos ，则cos()_.答案：解析：由cos cos ，得2sinsin，2sinsinsin，sin.cos()12sin2122.2已知sin sin ，cos cos ，则sin()_.答案：解析：由sin sin ，得2sincos.由cos cos ，得2coscos.两式相除，得tan.根据万能公式得sin().1若没有给出角的范围，则根号前的正负号需要根据条件讨论2由已知三角函数值，求其他三角函数式的值的步骤：(1)先化简所求的式子(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从角和三角函数名称入手)(3)将已知条件代入所求式子，化简求值二、三角函数式的化简化简：(0)思路分析：本题主要考查半角公式及其变形的应用，从变角入手，将异角化为同角对根式形式的化简，以化去根号为目标，化简时注意角的范围解：原式，0，0.cos0，原式cos .1化简：2sin 70.解：原式2sin 702sin 7012化简：.解：原式11三角恒等变换常用技巧：(1)常值代换；(2)切化弦，弦化切；(3)降幂变倍角，升幂变半角；(4)角的变换；(5)公式的正用、逆用和变形用2对于三角函数式的化简有下面的要求：(1)能求出值的应求出值；(2)使三角函数种数尽量少；(3)使三角函数式中的项数尽量少；(4)尽量使分母不含有三角函数；(5)尽量使被开方数不含三角函数三、三角恒等式的证明如果tan m，求证：sin 2cos 2.思路分析：可考虑利用万能公式将需证明的等式左边转化为含tan 的形式，再利用条件代入进行证明证明：tan m，sin 2cos 2右式等式得证1在abc中，若，则abc的形状是_答案：等腰三角形或直角三角形解析：，sin acos asin bcos bsin 2asin 2bsin 2asin 2b2cos(ab)sin(ab)0.若cos(ab)0，则cos(c)cos c0.0c，c；若sin(ab)0，ab，ab0.ab.abc是直角三角形或等腰三角形2求证：tan.证明：设ttan，则左边(t1)右边，等式成立证明三角恒等式的实质：(1)消除等式两边的差异，有目的地化繁为简；(2)化简方向：从左到右、从右到左、左右归一或变更论证等；(3)具体方法：定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法及公式法等1已知sin sin 1，则cos()的值为_答案：1解析：因为|sin |1，|sin |1，所以|sin sin |1从而或于是cos()12若ab，则cos2acos2b的取值范围是_答案：解析：cos2acos2b1(cos 2acos 2b)1cos(ab)cos(ab)1cos(ab)，最小值为，最大值为.3(1)sin 105sin 15_；(2)sin 37.5cos 7.5_.答案：(1)(2)解析：(1)sin 105sin 152sincos2sin 60cos 45.(2)sin 37.5cos 7.5sin(37.57.5)sin(37.57.5)(sin 45sin 30).4如果tan，那么cos 的值是_答案：解析：tan，c