高中数学 4.4 参数方程 4.4.4 参数方程中曲线欣赏——平摆线、圆的渐开线同步测控 苏教版选修44.doc

4.4.4 参数方程中曲线欣赏平摆线、圆的渐开线同步测控我夯基,我达标1.关于渐开线和摆线的叙述，正确的是（ ）a.只有圆才有渐开线b.渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才能得到不同的图形c.正方形也可以有渐开线d.对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同解析：本题主要考查渐开线和摆线的基本概念不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形也有渐开线，渐开线和摆线的定义虽然从字面上有相似之处，但是它们的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同对于同一个圆不论在什么地方建立直角坐标系，画出的图形的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同答案：c2.给出下列说法:圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；圆的渐开线也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；圆的渐开线和x轴一定有交点而且是惟一的交点其中正确的说法有（ ）a. b. c. d.解析：本题主要考查渐开线和摆线的有关概念和参数方程的问题对于一个圆，只要半径确定，渐开线和摆线的形状就是确定的，但是随着选择体系的不同，其在坐标系中的位置也会不同，相应的参数方程也会有所区别，至于渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置答案：c3.已知圆的渐开线的参数方程是（为参数），则此渐开线对应的基圆的直径是_，当参数时，对应的曲线上的点的坐标为_.解析：圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为2求当=时对应的坐标只需把=代入曲线的参数方程，得x，y，由此可得对应的坐标为（，）.答案：2 （，）4.已知一个圆的摆线方程是（为参数），求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程.思路分析：首先根据所给出的摆线方程判断出圆的半径为4，易得圆的面积,再代入渐开线的参数方程的标准形式即可得圆的渐开线的参数方程.解：首先根据渐开线的参数方程可知圆的半径为4，所以面积是16，该圆对应的渐开线的参数方程是（为参数）.5.已知圆c的参数方程是（为参数，0,2)）和直线l对应的普通方程是x-y-=0.(1)如果把圆心平移到原点o，请问平移后圆和直线是什么关系？(2)写出平移后圆的摆线方程.(3)求摆线和x轴的交点.思路分析：首先根据条件，可知圆的半径是6，平移后的圆心为o（0，0），根据圆心o到直线的距离可以判断出直线和圆的位置关系再由圆的半径写出圆的摆线方程求摆线和x轴的交点只需令y0，求出对应的参数，再代入求出x值.解：(1)圆c平移后圆心为o（0，0），它到直线x-y-6=0的距离为d=6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的(2)由于圆的半径是6，所以可得摆线方程是（为参数）(3)令y0,得6-6cos0cos=1，所以2k(kz).代入x=6-6sin,得x=12k（kz），即圆的摆线和x轴的交点为（12k，0）（kz）.我综合,我发展6.已知一个圆的参数方程为（为参数,0,2)），那么圆的摆线方程中与参数对应的点a与点b(，2)之间的距离为（ ）a.-1 b. c. d.解析：根据圆的参数方程，可知圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为（为参数），把代入参数方程中可得即a(3(-1)，3)，|ab|.答案：c7.如图，abcd是边长为1的正方形，曲线aefgh叫做“正方形的渐开线”，其中ae、ef、fg、gh、的圆心依次按b、c、d、a循环，它们依次相连接，则曲线aefgh的长是（ ）a.3 b.4 c.5 d.6解析：根据渐开线的定义，可知是半径为的圆周长，长度为；继续旋转可得是半径为的圆周长，长度为；是半径为3的圆周长，长度为；是半径为的圆周长，长度为2.所以，曲线aefgh的长是5.答案：c8.渐开线（为参数）的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到的曲线的焦点坐标为_.解析：根据圆的渐开线方程，可知基圆的半径r6，其方程为x2+y236，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到的曲线的方程为(x)2+y236，整理可得1，这是一个焦点在x轴上的椭圆c=，故焦点坐标为（6，0）和（-6，0）.答案：（6，0）和（-6，0）9.我们知道关于直线yx对称的两个函数互为反函数，则圆的摆线（为参数）关于直线yx对称的曲线的参数方程为_.解析：关于直线yx对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x与y的互换所以，要写出摆线方程关于直线yx的对称曲线方程，只需把其中的x与y互换即可.答案：（为参数）10.求摆线(t2)与直线y的交点的直角坐标.思路分析：本题考查交点坐标的求法，可利用代入法求解解：当y2时,有2(1-cost)2，cost.又t2，t或t.当t时，x；当t时，x3+2.摆线与直线y的交点为（，-2），（，3+2）.我创新，我超越11.星形线的参数方程一轴承的剖面如图所示，小圆表示滚球，半径为r，大圆表示轴瓦，半径为a4r.设想大圆固定，而小圆在大圆内无滑动地滚动小圆上的一定点m在运动中的轨迹为一条曲线，称为星形线试推导它的参数方程.思路分析：解实际应用题，一般先建立适当的坐标系，然后根据条件转化为数学问题.解：取大圆圆心为坐标原点，设小圆的定点m开始时位于点a处，x轴正方向为向量的方向.小圆滚动角后，圆心在c点，与大圆切点为b，小圆上的定点m的位置如题图所示因为是无滑动的滚动，所以.记aob，由r，a4r得r4r.由此知.作cd平行于x轴，则bcd，得dcmbcmbcd3.由此知cm与x轴正向形成的任意角为-3.由|oc|ar3r，用向量的坐标表达式，得 （3rcos，3rsin），（rcos(-3),rsin(-3)）（rcos3，-rsin3）.因此有（3rcosrcos3，3rsin-rsin3）.用三角函数的三倍角公式cos34c