高中数学 专题2.4.2 抛物线的简单几何性质教案 新人教A版选修21.doc

抛物线的简单几何性质【教学目标】1知识与技能目标：（1）掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；（2）能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此基础上列表、描点、画抛物线图形；（3）在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化.2过程与方法目标：（1）通过抛物线图像的探究，培养学生发现规律、认识规律并利用规律解决实际问题的能力.（2）在抛物线性质的发现过程中进一步渗透数形结合等数学思想和方法3情感态度与价值观目标：（1）通过抛物线性质的归纳过程获得培养学生探索数学的兴趣.（2）通过结论的推导培养学生求简意识并能懂得欣赏数学的“简洁美”.（3）通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识. 【重点难点】1.教学重点：抛物线的性质及应用2.教学难点：抛物线的性质的应用【教学过程】情境引入某公园要建造一个如图1的圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子oa，o恰在水面中心，oa0.81米，安置在柱子顶端a处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过oa的任一平面上抛物线路径如图2所示.为使水流形状较为漂亮，设计成水流在与oa距离为1米处达到距水面最大高度2.25米.探索新知预学1:在上述情境中，如果不计其他因素，那么水池的半径至少要2.25米，才能使喷出的水流不致落到池外.议一议:影响抛物线开口大小的量是什么?是如何影响的?(抢答)【解析】影响抛物线开口大小的量是参数p.p值越大，抛物线的开口越开阔，反之，开口越扁狭.预学2:抛物线y22px(p0)的一些简单几何性质(1)范围:因为p0，由方程y22px可知，这条抛物线上任意一点m的坐标(x，y)满足等式.所以这条抛物线在y轴的右侧;当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸，它开口越开阔.(2)对称性:以y代y，方程y22px(p0)不变，因此这条抛物线是以x轴为对称轴的轴对称图形，抛物线的对称轴叫作抛物线的轴.(3)顶点:抛物线和它的轴的交点叫作抛物线的顶点.在方程y22px(p0)中，当y0时，x0，因此这条抛物线的顶点就是坐标原点.(4)离心率:抛物线上的点与焦点和准线的距离的比，叫作抛物线的离心率，用e表示，按照抛物线的定义，e1.(5)通径:过抛物线的焦点且垂直于抛物线对称轴的一条弦，称为抛物线的通径，通径长为2p，且通径是所有过焦点的弦中的最短弦.议一议:抛物线x22py(p0)有几条对称轴?是否是中心对称图形?(指定小组回答，其他组补充)【解析】有一条对称轴，即y轴，不是中心对称图形.例题讲解考点一：抛物线的对称性正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y22px(p0)上，求这个正三角形的边长解析如图，设正三角形oab的顶点a、b在抛物线上，且它们坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)则：y2px1，y2px2又|oa|ob|，xyxy，即xx2px12px20，(x1x2)(x1x22p)0x10，x20,2p0，x1x2，由此可得|y1|y2|，即线段ab关于x轴对称由于ab垂直于x轴，且aox30tan30，而y2px1， y12p于是|ab|2y14p考点二：抛物线焦点弦的性质斜率为2的直线经过抛物线y24x的焦点，与抛物线相交于两点a、b，求线段ab的长解析如图，由抛物线的标准方程可知，焦点f(1,0)，准线方程x1由题设，直线ab的方程为：y2x2代入抛物线方程y24x，整理得：x23x10设a(x1，y1)、b(x2，y2)，由抛物线定义可知，|af|等于点a到准线x1的距离|aa|，即|af|aa|x11，同理|bf|x21，|ab|af|bf|x1x22325方法规律总结解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解考点三：最值问题设p是抛物线y24x上的一个动点，f为抛物线焦点(1)求点p到点a(1,1)的距离与点p到直线x1的距离之和的最小值；(2)若b(3,2)，求|pb|pf|的最小值解析(1)如图，易知抛物线的焦点为f(1,0)，准线方程是x1，由抛物线的定义知：点p到直线x1的距离等于点p到焦点f的距离于是，问题转化为：在曲线上求一点p，使点p到点a(1,1)的距离与点p到f(1,0)的距离之和最小显然，连af交抛物线于p点，故最小值为，即(2)如图把点b的横坐标代入y24x中，得y，因为2，所以b在抛物线内部，自b作bq垂直准线于q，交抛物线于p1此时，由抛物线定义知：|p1q|p1f|那么|pb|pf|p1b|p1q|bq|314即最小值为4针对训练1.等腰rtabo内接于抛物线y22px(p0)，o为抛物线的顶点，oaob，则abo的面积是()a8p2b4p2c2p2dp22.过抛物线y28x的焦点作直线l，交抛物线于a，b两点，若线段ab中点的横坐标为3，则|ab|的值为_ 解析由抛物线y28x知，p4设a(x1，y1)，b(x2，y2)，根据抛物线定义知：|af|x2，|bf|x2，|ab|af|bf|x1x2x1x2p，x1x2|ab|p由条件知3，则x1x26，|ab|p6，又p4，|ab|103.定点m与抛物线y