高中数学 第2章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理 2.1.2 演绎推理课堂导学案 苏教版选修12.doc

2.1.2 演绎推理课堂导学三点剖析各个击破一、认清“三段论”的结构【例1】 指出下面三段论的大前提,小前提和结论.相同边数的正多边形都是相似的;这两个正多边形的边数相同;所以这两个正多边形也是相似的.解：是“大前提”，是“小前提”，是“结论”.温馨提示三段论法的论断基础是这样一个公理：“凡肯定（或否定）了某一类对象的全部，也就肯定（或否定）了这一类对象的各部分或个体.”简言之,“全体概括个体.”m、p、s三个概念之间的包含关系表现为:如果概念p包含了概念m,则必包含了m中的任一概念s(如下图(1);如果概念m排斥概念p,则p必排斥m中的任一概念s(如下图(2).弄清以上道理,才会使我们在今后的演绎推理中不犯(或少犯)错误.类题演练1指出下面推理中的错误.(1)自然数是整数大前提-6是整数小前提所以-6是自然数结论(2)中国的大学分布于中国各地大前提北京大学是中国的大学小前提所以北京大学分布于中国各地结论解：（1）大、小前提中的“自然数”（p）与“-6”（s）都分别与“整数”（m）的一部分存在联系，这样“整数”（m）就不能起到联结“自然数”（p）与“-6”（s）的作用，因此不能使“自然数”（p）与“-6”（s）发生必然的确定关系.(2)这个推理的错误原因是“中国的大学”未保持同一，它在大前提中表示中国的各所大学，而在小前提中表示中国的一所大学.变式提升1将“菱形对角线互相平分”写成三段论的形.解：平行四边形对角线互相平分（大前提）菱形是平行四边形（小前提）菱形对角线互相平分（结论）二、应用三段论证明数学问题【例2】梯形的两腰和一底如果相等,它的对角形必平分另一底上的两个角.已知在梯形abcd中(如右图),ab=dc=ad,ac和bd是它的对角线.求证:ac平分bcd,db平分cba.证明：(1)等腰三角形两底角相等(大前提),dac是等腰三角形,da、dc是两腰(小前提),1=2(结论).(2)两条平行线被第三条直线截出的内错角相等(大前提),1和3是平行线ad、bc被ac截出的内错角(小前提),1=3(结论).(3)等于同一个量的两个量相等(大前提),2和3都等于1(小前提),2=3(结论),即ac平分bcd.(4)同理,db平分cba.温馨提示这个证明中如果把(4)也详细地写出,则一共通过六次三段论的形.因此一个命题的证明形,确切地常叫做复合三段论的形,或说命题的推证方法是复合三段论法,但是事实上,每一次三段论的大前提并不写出,某一次三段论的小前提如果是它前面某次三段论的结论,也就不再写出了.如例3的证明可写成:da=dc(省略了大前提),1=2.adbc,且被ac截得的内错角为1和3(省略大前提),1=3.2=3,即ac平分bcd(省略大前提,小前提),同理可证db平分abc.这样,一般地在推论命题时所采用的这种表达的方法,就叫做简化的复合三段论法.类题演练2由三段论形证明:在梯形abcd中,adbc,ab=dc. 则b=c.证明：延长ab、dc交于点m，(如下图)平行线分线段成比例大前提amd中,adbc小前提结论等量代换大前提ab=cd小前提mb=mc结论在三角形中等边对等角大前提mb=mc小前提1=mbc=mcb=2结论等量代换大前提b=-1c=-2小前提b=c结论变式提升2设a0,b0,a+b=1.求证:8.证明：因为a0,b0，a+b=1,所以1=a+b2,所以,所以4.所以=(a+b)()+ 2+4+4=8,当且仅当a=b时等号成立，所以8.三、创新应用【例3】设f(x)=sin(2x+)(-0),y=f(x)图象的一条对称轴是直线x=.(1)求;(2)求函数y=f(x)的单调增区间;(3)证明直线5x-2y+c=0与函数y=f(x)的图象不相切.(1)解：x=是函数y=f(x)的图象的对称轴,sin(2+)=1.+=k+,kz.-0,=-.(2)解:由(1)知=-,因此y=sin(2x-).由题意得2k-2x-2k+,kz.函数y=sin(2x-)的单调增区间为k+,k+,kz(3)证明:|y|=|sin(2x-)|=|2cos(2x-)|2,曲线y=f(x)的切线斜率取值范围为-2,2.而直线5x-2y+c=0的斜率为2,直线5x-2y+c=0与函数y=sin(2x-)的图象不相切.温馨提示第3问考查直线与三角函数图象的位置的关系,很有新意.把函数值域,导数,斜率有机地联系在一起,是一道很灵活的好题.类题演练3如下图所示:三棱锥pabc中,已知pabc,pa=bc=l, pa、bc的公垂线ed=h,求证：vpabc=l2h.证明：连ad，pd，pa=bc=l,ed=h,又pabc，edpa于e，edbc于d.spad=edpa=lh.且bc面pad.截面pad把三棱锥pabc分割成两个三棱锥：bpad和cpad且bd+dc=bc=l,vp-abc=vb-pad+vc-pad=spadbd+spaddc=lh(bd+dc)=l2h.变式提升3已知f(x)=-x3-x+1(xr),证明：y=f(x)是定义域上的减函数.证明：设x1x2r,则