高中数学 第2章 平面向量 2.3.1 平面向量基本定理优化训练 苏教版必修4.doc

2.3.1 平面向量基本定理5分钟训练（预习类训练,可用于课前）1.如图2-3-1所示,、不共线，=t(tr)，用、表示.图2-3-1解: 、不共线，则、可作基底，据定理有且只有一组实数1、2，使=1+2.2.向量、的终点a、b、c在一条直线上，且=-3.设=p，=q,=r，则下列等式成立的是( )a.r=-p+q b.r=-p+2qc.r=p-q d.r=-q+2p思路解析:由=-3,得-=-3(-)，即2=-+3，=-+，即r=-p+q.答案:a10分钟训练（强化类训练,可用于课中）1.设一直线上三点a、b、p满足=(1)，o是空间一点，则用、表示为( )a.=+ b.=+(1-)c.= d.=+思路解析:由=(1),得-=(-),即=.答案:c2.已知四边形abcd是菱形，点p在对角线ac上(不包括端点a、c),则等于( )a.(+),(0,1)b.(+),(0,)c.(-),(0,1)d.(-),(0,)思路解析:点p在对角线ac上，与共线.又=+,=(+).当p与a重合时，=0；当p与c重合时，=1.答案:a3.如图2-3-2所示，四边形abcd为矩形，且ad=2ab,又ade为等腰直角三角形，f为ed的中点，=e1，=e2，以e1、e2为基底，表示向量、及.图2-3-2思路解析:可根据平面几何中有关知识，进行等量代换，并转化为向量的相关知识解决.解:=e1，=e2，=e2-e1.依题意有ad=2ab=de，且f为ed中点，四边形abdf为平行四边形.=e2-e1，=e2.=+=e2-e1+e2=2e2-e1.4.如图2-3-3所示，在平行四边形abcd中，m、n分别为dc、bc的中点，已知=c，=d，试用c、d表示和.图2-3-3思路解析:本题可将c、d看作基底，即用基底表示和.解:设=a，=b，则由m、n分别为dc、bc的中点可得=b，=a.从abn和adm中可得即=(2d-c)，=(2c-d).志鸿教育乐园感想 甲：听说你最近去美国考察了一次，感受不浅吧？ 乙：是啊，感触太深了，人家的文化水平就是高. 甲：何以见得呢？ 乙：人家大人小孩都会说英语.30分钟训练（巩固类训练,可用于课后）1.(2005 全国卷)已知向量=(k,12),=(4,5),=(-k,10)，且a、b、c三点共线，则k=_.思路解析:三点共线，则任意两点连线的斜率相等.因为=(k,12)，=(4,5),=(-k,10),所以a(k,12)、b(4,5)、c(-k,10).kab=kbc,所以，解得k=-.答案:- 2.(2005 山东)已知向量a、b，且=a+2b，=-5a+6b，=7a-2b,则一定共线的三点是( )a.a、b、d b.a、b、c c.b、c、d d.a、c、d思路解析:本题考查向量的概念及其运算.=+=2a+4b=2，a、b、d三点共线.答案:a3.已知四边形abcd是菱形，点p在对角线ac上(不包括端点a、c)，则等于( )a.(+),(0,1)b.(+),(0,)c.(-),(0,1)d.(-),(0,)思路解析:如图，由向量的运算法则=+及点p在对角线ac上,所以与同向,且|,故=(+),(0,1).答案:a4.平面直角坐标系中，o为坐标原点，已知两点a(3,1)，b(-1,3)，若点c满足=+，其中、r，且+=1，则点c的轨迹方程为( )a.3x-2y-11=0 b.(x-1)2+(y-2)2=5c.2x-y=0 d.x+2y-5=0思路解析:由=+，+=1,知a、b、c三点共线.c点的轨迹是直线ab，由两点式得，即x+2y-5=0.答案:d5.如图2-3-4所示，在abc中，m是边ab的中点，e是cm的中点，ae的延长线交bc于f，mhaf.求证:=.图2-3-4证明:m为ab中点，mhaf，则=x.设=a，=b.=+x，=a+2x.又e为cm的中点，=.=b-，=.又=-=(a+2x)-(+).由+=，(a+2x)-(+)+()=b，+x+=b，3x=b-a，x=(b-a).=(b-a)，而=(b-a)-(b-a)=(b-a).=.6.如图2-3-5所示，在平行四边形pqrs中，在pq、qr、rs、sp上分别取点k、l、m、n，其中k、n分别为pq、ps的中点，ql=qr,sm=sr，设km与ln交于a点，=a，=q，=s，试用q、s表示a.图2-3-5思路解析:本题是求以q、s为一组基底的a的线性分解式.由于=+，而=，关键是.又由于与共线，而可用q、s表示，这样可以求得一个关于q、s的分解式(含参数).同样，利用、还可求得另一个关于q、s的分解式(也含参数).由于关于q、s的分解式的唯一性，就可得到含参数的两个方程，解出参数值，问题便可解决.解法一:与共线，存在实数1，使=1.=,k为的中点，=,=-,=，=+(-)=-+，即=-q+s.=-q+1s.=+,k为的中点，=q-q+1s，即=(-)q+1s.同样设=2，=+-=-=q-s，=+=+2=s+2q-s=(-)s+2q.关于q、s的分解式是唯一的，=q+s.解法二:由于n、a、l三点共线，故存在r，使=+(1-).=s，=+=+=q+s.=s+(1-)(q+s)=s+(1-)q+s.=(1-)q+(+)s.同理，由于k、a、m三点共线，故存在r，使=+(1-).=q，=+=s+q.=s+(1-)(s+q).=(1-)s+(+)q.关于q、s的分解式是唯一的，=q+s.7.如图2-3-6所示,平行四边形abcd的两条对角线ac与bd交于点e，o是任意一点.求证: +=4.图2-3-6证明:e是对角线ac和bd的交点，=-，=-.在oae中，+=，同理, +=，+=，+=.以上各式相加，得+=4.8.证明三角形的三条中线交于一点.思路解析:本题可用平面几何知识加以证明，也可以用平面解析几何知识证明，现在我们用平面向量的方法加以证明.证明:如图，令=a，=b为基底.=b-