高中数学 第1章 导数及其应用 1.3.1 单调性优化训练 苏教版选修22.DOC

1.3 导数在研究函数中的应用1.3.1 单调性5分钟训练 （预习类训练，可用于课前）1.当x(0,)时，下列说法正确的是( )a.sinxx b.cosxx c.tanxx d.cotxx答案：c2.函数f(x)=ax3-x在r上为减函数，则( )a.a0 b.a1 c.a0恒成立，所以f(x)在（0，2）上为增函数.4.若函数f(x)=x3+x2+mx+1是r上的单调函数，则m的取值范围是_.解析：因为f(x)=x3+x2+mx+1在r上单调.f(x)=3x2+2x+m,由题意可知f(x)在r上只能递增,所以=4-12m.答案:m10分钟训练 （强化类训练，可用于课中）1.已知f(x)=x2+2xf(1),则f(0)等于( )a.0 b.-4 c.-2 d.2答案：b解析：f(x)=2x+2f(1),可令x=1,则f(1)=-2,f(0)=-4.2.设f(x)在(a,b)内可导,则f(x)0)的增区间为_.答案：(,+)6.已知曲线y=x3+3x2+6x-10,点p(x,y)在该曲线上移动,过点p的切线设为l.(1)求证:此函数在r上单调递增;(2)求l的斜率的范围.答案：(1)证明:y=3x2+6x+6=3(x2+2x+1)+3=3(x+1)2+30恒成立,所以函数在r上递增.(2)解:由(1)知f(x)=3(x+1)2+33,所以l的斜率的范围是k3.30分钟训练 （巩固类训练，可用于课后）1.已知f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0)为增函数,则( )a.b2-4ac0 b.b0,c0 c.b=0,c0 d.b2-3ac0恒成立.因为a0,则=4b2-43ac0,即b2-3ac0,则x0时,sinx0);x0,则x(2k,(2k+1)(k0),结合题目知应选b.解法二:（代入检验法）若x(,2),sinx0,函数y=xcosx-sinx在(,2)上为增函数,故选b.3.若f(x)=-x2+2ax与g(x)=在区间1,2上都是减函数,则a的取值范围是( )a.(-1,0)(0,1) b.(-1,0)(0,1c.(0,1) d.(0,1答案：d解析：解法一:(直接法)g(x)=,f(x)=-x2+2ax的对称轴是x=a,要在1,2上为减函数,则有a1.再由条件知g(x)=0.综上,0a1.解法二:(排除法)若a=1,f(x)=-x2+2x,g(x)=,易知f(x)与g(x)在1,2上为减函数,排除a、c.又若a=-,g(x)=在1,2上为增函数,排除b,故选d.4.函数y=f(x)的图象过原点且它的导函数g=f(x)的图象是如下图所示的一条直线，则y=f(x)图象的顶点在( )a.第一象限 b.第二象限 c.第三象限 d.第四象限答案：a解析：设g=f(x)=kx+b(k0),则y=f(x)=ax2+bx+c,则f(x)=2ax+b,由此可知a0.又因为函数y=f(x)的图象过原点,所以c=0,故y=ax2+bx+c的顶点:x=0,y=0.5.若函数f(x)=x3+x2+mx+1是r上的单调递增函数,则m的取值范围是_.解析：f(x)=3x2+2x+m.f(x)在r上是单调递增函数,f(x)0在r上恒成立,即3x2+2x+m0.由=4-43m.答案:m6.若函数f(x)=x3-mx2+m-2的单调减区间是(0,3),则m=_.解析：f(x)=3x2-2mx,f(x)的递减区间是(0,3),0,3是3x2-2mx=0的根.0+3=.m=.答案:7.定义在（-1，1）上的函数f(x)=-5x+sinx,如果f(1-a)+f(1-a2)0，则实数a的取值范围为_.解析：f(x)=-5+cosx0,f(x)是减函数.f(x)是奇函数,f(1-a2)f(a-1).解之,得1a.答案：(1,)8.设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间,试确定实数a的取值范围,并求出这三个单调区间.解：f(x)=3ax2+1,若a0,则f(x)0,x(-,+),此时f(x)只有一个单调区间,与原条件矛盾,若a=0,则f(x)=10,此时f(x)也只有一个单调区间,矛盾.若a0,f(x)=3a(x+)(x).综上,可知a1时,f(x)=6xx-(a-1).f(x)、f(x)随x的变化情况如下表:x(-,0)(0,a-1)(a-1,+)f(x)+-+f(x)从上表可知,函数f(x)在(-,0)上单调递增;在(0,a-1)上单调递减;在(a-1,+)上单调递增.10.设函数f(x)=x3+bx2+cx(xr),已知g(x)=f(x)-f(x)是奇函数.(1)求b、c的值;(2)求g(x)的单调区间.解:(1)f(x)=x3+bx2+cx,f(x)=3x2+2bx+c.从而g(x)=f(x)-f(x)=x3+bx2+cx-(3x2+2bx+c)=x3+(b-3)x2+(c-2b)x-c是一个奇函数,g(0)=0,得c=0.由奇函数定义得b=3.(2)由(1)知g(x)=x3-6x,从而g(x)=3x2-6,由此可知(-,-)和(,+)是函数g(x)的单调递增区间;(-,)是函数g(x)的单调递减区间.11.若函数f(x)=x3ax2+(a-1)x+1在区间(1,4)内为减函数,在区间(6,+)上为增函数,试求实数a的取值范围.解：函数f(x)的导数f(x)=x2-ax+a-1.令f(x)=0,解得x=1或x=a-1.当a-11,即a2时,函数f(x)在(1,