高中数学 第一章 三角函数 1.3 三角函数的图象和性质 1.3.1 三角函数的周期性教案 苏教版必修4.doc

13.1三角函数的周期性教学分析三角函数的周期性是在学习了三角函数的概念之后研究的，教材中，为学习三角函数的图象和性质提供了问题背景，因此，教学时要充分运用这些问题背景以突出本章“建立刻画周期性现象的数学模型”这一主题周期函数的定义是教学中的一个难点在教学中，可以从“周而复始的重复出现”出发，一步步地使语言精确化，通过“每隔一定时间出现”“自变量每增加或减少一个值，函数值就重复出现”等，逐步抽象出函数周期性的定义教学中可以引导学生通过对三角函数实例的具体分析，帮助认识周期以及周期函数因为在本节中，我们讨论的主题是三角函数的周期性，这一点更重要，在教学中不要对一般的周期函数作过多的讨论三角函数的最小正周期是指三角函数所有周期中的最小正数对于正弦函数、余弦函数的最小正周期是2的结论，可以组织学生通过观察三角函数线的变化进行验证，进而通过本节“链接”中的内容了解其证明过程不论是周期，还是最小正周期，都是对自变量x而言的，是自变量x的改变量这一点正是解决例2的根据教学时根据学生的实际，可以组织学生仿照例2推导出函数yasin(x)的周期为这一结论三维目标1通过创设情境，如单摆运动、波浪、四季变化等，让学生感知周期现象；理解周期函数的概念；能熟练地求出简单三角函数的周期，并能根据周期函数的定义进行简单的拓展运用2通过本节的学习，使同学们对周期现象有一个初步的认识，感受生活中处处有数学，从而激发学生的学习积极性，培养学生学好数学的信心，学会运用联系的观点认识事物，并通过本节的学习，使学生进一步了解从特殊到一般的认识世界的科学方法，提高认识世界的能力和思维层次，为今后认识世界和探索世界打下坚实的基础重点难点教学重点：周期函数定义的理解，深化研究函数性质的思想方法教学难点：周期函数概念的理解，最小正周期的意义及简单的应用课时安排1课时导入新课思路1.人的情绪、体力、智力都有周期性的变化现象，在日常生活和工作中，人们常常有这样的自我感觉，有的时候体力充沛，心情愉快，思维敏捷；有的时候却疲倦乏力，心灰意冷，反应迟钝；也有的时候思绪不稳，喜怒无常，烦躁不安，糊涂健忘，这些感觉呈周期性发生，贯穿人的一生，这种有规律性的重复，我们称之为周期性现象请同学们举出生活中存在周期现象的例子，在学生热烈的争论中引入新课思路2.取出一个钟表，实际操作，我们发现钟表上的时针、分针和秒针每经过一周就会重复，这是一种周期现象我们这节课要研究的主要内容就是周期现象与周期函数那么我们怎样从数学的角度研究周期现象呢？在图形上让学生观察正弦线“周而复始”的变化规律，在代数式上让学生思考诱导公式：sin(x2k)sinx又是怎样反映函数值的“周而复始”的变化规律的要求学生用日常语言叙述这个公式，通过对图象、函数解析式的特点的描述，使学生在理解周期性的基础上，进而理解“周而复始”变化的代数刻画，由此引出周期函数的概念推进新课周期函数的定义由单位圆中的三角函数线可知，正弦、余弦函数值的变化呈现出周期现象每当角增加(或减少)2时，所得角的终边与原来角的终边相同，故两角的正弦、余弦函数值也分别相同即有sin(2x)sinx，cos(2x)cosx.正弦函数和余弦函数所具有的这种性质称为周期性若记f(x)sinx，则对于任意xr，都有f(x2)f(x)这又启发我们思考：如何用数学语言刻画函数的周期性？教师在引入正式定义之前，可以引导学生先从不同角度进行描述例如：对于函数f(x)，自变量每增加或减少一个定值(这样的定值可以有很多个)，函数值就重复出现，那么这个函数就叫做周期函数教师可以引导点拨学生从诱导公式进行描述例如：sin(2k)sin，cos(2k)cos，kz.这表明，正弦函数、余弦函数在定义域内自变量每增加(k0时)或减少(k0时)一个定值2k，它的函数值就重复出现，所以正弦函数、余弦函数都是周期函数还可以通过类比奇函数、偶函数、周期函数的研究方法来加深理解周期性概念如果函数f(x)对于其定义域内的每一个值，都有：f(x)f(x)，那么f(x)叫做奇函数；f(x)f(x)，那么f(x)叫做偶函数；f(xt)f(x)，其中t是非零常数，那么函数f(x)叫做周期函数从上述定义可以看到，函数的性质是对函数的一种整体考查结果，反映了同一类函数的共同特点，它们可以从代数角度得到统一刻画定义：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数t，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(xt)f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数t叫做这个函数的周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期正弦函数是周期函数，2k(kz且k0)都是它的周期，最小正周期是2.由诱导公式易知，2是正弦函数的一个周期，下面用反证法证明2是它的最小正周期假设0t2，且t是正弦函数的周期，则对任意实数x，都有sin(xt)sinx成立令x0，得sint0，又0t0，xr)的周期为t.可以按照如下的方法求它的周期：yasin(x2)asin(x)asin(x)于是有f(x)f(x)，所以其周期为.例如在第(3)小题，y2sin()，xr中，所以其周期是4.由上述解法可以看到，思考的基本依据还是ysinx的周期为2.根据这个结论，我们可以由这类函数的解析式直接写出函数的周期如第(3)小题：t4这是求简单三角函数周期的最基本方法，即公式法2已知函数f(x)是周期为5的周期函数，且f(1)2 007，求f(11)解：因为5是函数f(x)在r上的周期，所以f(11)f(65)f(6)f(15)f(1)2 007.3已知奇函数f(x)是定义在r上的函数，且f(1)2，f(x3)f(x)，求f(8)解：由题意，知3是函数f(x)的周期，且f(x)f(x)，所以f(8)f(223)f(2)f(13)f(1)f(1)2.例2判断函数f(x)2sin2x|cosx|，xr的周期性如果是周期函数，最小正周期是多少？活动：本例的难度较大，教师可引导学生从定义出发，结合诱导公式，寻求使f(xt)f(x)成立的t的值学生可能会很容易找出4、2，这的确是原函数的周期，但是不是最小正周期呢？教师引导学生选其他几个值试试如果学生很快求出，教师给予表扬鼓励；如果学生做不出，教师点拨学生的探究思路，充分让学生自己讨论解决解：因为f(x)2sin2(x)|cos(x)|2sin2x|cosx|f(x)，所以原函数是周期函数，最小正周期是.点评：本题能很容易判断是周期函数，但要求的是“最小正周期”，那就要多加小心了虽然将4，2带入公式后也符合要求，但还必须进一步变形，即f(x)中的x以x代替后看看函数值变不变为此需将，等都代入试一试实际上，f(x)2sin2x|cosx|，xr中，学生应看到平方与绝对值的作用是一样的，与负号没有关系因而肯定是原函数的一个周期变式训练1求函数y2sin(x)的周期解：因为y2sin(x)2sin()，所以周期t6.2设f(x)是定义在r上，以2为周期的函数，当x(1,1)时，f(x)x2.(1)求x(1,3)时，f(x)的表达式；(2)求f(3.5)及f(3.5)的值解：(1)1x3，1x21.f(x2)(x2)2.f(x)是以2为周期的函数，f(x2)f(x22)f(x)x(1,3)时，f(x)(x2)2.(2)f(3.5)f(1.5)f(0.5)0.25，f(3.5)f(1.5)(1.52)20.25.课本本节练习14.1课本习题1.31.2预习正弦函数、余弦函数的图象1本节课的设计思想是：在学生的探究活动中突破正弦、余弦函数的周期性这个教学难点如果学生一开始没有很好的理解，那么以后有些题不管怎么做都难受通过探究让学生找出周期这个规律性的东西，并明确知识依附于问题而存在，方法为解决问题的需要而产生将周期性概念的形成过程自然地贯彻到教学活动中去，由此把学生的思维推到更高的广度2本节设计的特点是从形(单位圆)到数、由特殊到一般、由易到难，这符合学生的认知规律；让学生在探究中积累知识，发展能力，对形成科学的探究未知世界的严谨作风有着良好的启导但由于学生知识水平的限制，本节不能扩展太多，建议让学有余力的学生继续探讨函数的周期性的规律及一般三角函数的周期的求法3根据本节课的特点可考虑分层推进、照顾全体对优等生，重在引导他们进行一题多解，多题合一，变式思考的训练，培养他们求同思维、求异思维能力，以及思维的灵活性、深刻性与创造性，鼓励他们独立思考，勇于探索，敢于创新，对正确的要予以肯定，对暴露出来的问题要及时引导、剖析纠正，使课堂学习成为再发现再创造的过程一、关于周期函数与函数的周期周期性是函数的一条特殊而有趣的性质，在高中数学中仅三角函数与周期数列的通项公式中涉及到周期函数，对一般的周期函数未作重点讨论下面对周期函数的定义、性质、周期函数和非周期函数的判定，进行一些简单的扩展说明，以吸引有兴趣的学生对周期函数作进一步的探讨1性质：(1)若t(t0)是函数f(x)的周期，则t也是f(x)的周期因fx(tt)fx(t)f(x)因而周期函数必定有正周期(2)若t(t0)是f(x)的周期，则nt(n为任意非零整数)也是f(x)的周期(3)若t1与t2都是f(x)的周期，则t1t2也是f(x)的周期因fx(t1t2)f(xt1)f(x)(4)如果f(x)有最小正周期t*，那么f(x)的任何正周期t一定是t*的正整数倍(5)周期函数f(x)的定义域m必定是双方无界的集合，但m并非必定是(，)2周期函数的判定(1)若f(x)是在数集m上以t*为最小正周期的周期函数，则kf(x)c(k0)和分别是数集m和数集x|f(x)0上的以t*为最小正周期的周期函数(2)设f(u)是定义在数集m上的函数，ug(x)是数集m1上的周期函数，且当xm1时，g(x)m，则复合函数fg(x)是m1上的周期函数(3)设f1(x)、f2(x)都是集合m上的周期函数，t1、t2分别是它们的周期，若q，则它们的和、差与积也是m上的周期函数，t1与t2的公倍数为它们的周期例如：f(x)sinx2cos2xsin4x是以2、的最小公倍数2为周期的周期函数3非周期函数的判定(1)若f(x)的定义域有界，则f(x)不是周期函数例如：f(x)cosx(x10)不是周期函数(2)一般用反证法证明例如：可证f(x)sinx2是非周期函数；f(x)axb(a0)是非周期函数(3)根据定义讨论函数的周期性可知非零实数t在关系式f(xt)f(x)中是与x无关的，故讨论时可通过解关于t的方程f(xt)f(x)0，若能解出与x无关的非零常数t，便可断定函数f(x)是周期函数，若这样的t不存在，则f(x)为非周期函数4求周期函数的周期关于求三角函数最小正周期的问题，是三角函数的重点和难点，教科书和各种教参中虽有讲解，但其涉及到的题目类型及解决方法并不多，学生遇到较为复杂一点的问题时，往往不知从何入手本节涉及的求周期的方法可概括为定义法、公式法，其他还有转化法、最小公倍数法、图象法等二、备用习题1求下列函数的周期：ycos2x；ysinx；ysin(x)；y|sinx|.2已知函数y2cos(x)的周期是4，求.3已知函数f(x)3sin(3)(k0)的最小正周期不大于1，则最小正整数k的值为()a