高中数学 第4章 圆与方程 4.3 空间直角坐标系 4.3.2 空间两点间的距离公式教材梳理素材 新人教A版必修2.doc

4.3.2 空间两点间的距离公式疱丁巧解牛知识巧学 空间两点间距离公式(1)空间两点p1(x1，y1，z1)、p2(x2，y2，z2)的距离公式：|p1p2|=.(2)特别地，点p(x，y，z)到原点o的距离公式为|op|=.方法点拨 公式的推导：（1）推导空间两点间距离公式时，采取从特殊到一般的方法，即先研究空间任意一点p（x，y，z）与原点o（0，0，0）之间距离公式，然后再推广到任意两点间的距离.(2)同平面内两点间距离公式的推导类似，我们先找到p1、p2在平面xoy内的射影点，p1mp2n，在梯形p1mnp2中便可计算p1p2的长.因为m、n同在平面xoy内，故mn的长可利用平面内两点间距离公式.问题探究问题1 由平面坐标系xoy中的p(x1,y1)、q(x2,y2)两点间的距离公式猜想在空间直角坐标系oxyz中的点p(x1,y1,z1)、q(x2,y2,z2)两点间的距离公式.此时，若z1=z2=0，其距离公式又怎样？探究:平面坐标系xoy中，|pq|=，空间直角坐标系oxyz中，|pq|=. 若z1=z2=0，则仍有|pq|=.此时p、q两点都落在xoy平面上.问题2 已知长方体的三条棱ab、ac、ad的端点坐标分别为a(1，2，1)、b(1，5，1)、c(1，2，7)、d(3，2，1)，你能求出此长方体的体积吗？探究:根据长方体的体积公式，只需要求出长方体的长宽高相乘即可.于是我们可以选由a点出发的三条棱ab、ac、ad，根据题意，利用空间两点的距离公式求出三棱长分别为|ab|=3,|ac|=6,|ad|=2.于是其体积为v=632=36.典题热题例1 已知三角形三顶点a(1，-2，-3)，b(-1，-1，-1)，c(0，0，-5)，试证明它是直角三角形.思路解析：要证明三角形为直角三角形，可以利用勾股定理进行证明，则需由空间两点间的距离公式求得各边长度.解：ab=，bc=，ac=，ab2+ac2=9+9=18=bc2.abc是直角三角形.深化升华 证明三角形为直角三角形，可以通过角来证明，也可以通过边长满足勾股定理来证明，当已知三个顶点坐标时，一般由空间两点间的距离公式求得三边长，说明三边满足勾股定理.例2 设a(3，3，1)，b(1,0，5)，c(0,1，0).(1)求ab边上的中线长；(2)求点a到此三角形重心g的距离.思路解析：根据题意，先由中点公式和三角形的重心坐标公式求出相应点的坐标，然后利用空间两点间的距离公式求解.解：(1)设线段ab的中点为d(x1,y1,z1)，则由线段的中点坐标公式可得x1=2,y1=,z1=3,即d(2,3).所以ab边上的中线长为|cd|=d(c,d)=.(2)利用abc的重心坐标公式求得重心g的坐标为(,2)，所以d(a,g)=.深化升华 空间两点的距离公式是空间问题平面化的具体体现，是在空间直角坐标系中研究几何问题的一个重要实例，同时要注意方程的思想在公式中的应用.例3 在棱长分别为2、4、3的长方体abcda1b1c1d1中，已知da=2，dc=4，dd1=3，利用空间两点间距离公式，求对角线ad1、ab1和ac1的长.思路解析：由长方体的特性，我们可以选取从一个顶点出发的三条边所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，得出各个相关点的坐标，从而利用空间两点间距离公式求解.解：由题意，以d为坐标原点，da、dc和dd1所在直线分别为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系.由da=2，dc=4，dd1=3，易得d(0，0，0)，a(2，0，0)，d1(0，0，3)，b1(2，4，3)，c1(0，4，3). 所以ad1=，ab1=，|ac1|=.深化升华 建立空间直角坐标系的方式有多种，如选正方体任一个顶点为坐标原点，过此顶点的三条棱所在直线分别