高中数学 第一章 三角函数 1.1 任意角、弧度学案 苏教版必修4 (2).doc

任意角、弧度一、考点突破知识点课标要求题型说明任意角、弧度1. 理解任意角、弧度制的概念；2. 掌握象限角、终边相同的角及区间角的表示方法；掌握弧长公式和扇形面积公式选择题填空题 任意角、弧度是是学习三角函数的基础，在高考题中多以选择填空形式出现。二、重难点提示重点：象限角的概念及终边相同的角的含义；进行弧度与角度的互化；弧长和面积公式及应用。难点：角的集合与实数之间的一一对应关系；弧度的概念及其与角度的关系。一、任意角、象限角及终边相同的角的概念1. 一个角可以看做平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形，射线的端点称为角的顶点，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的始边和终边。其中，按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如果射线没有做任何旋转，那么也把它看成一个角，叫做零角。注意：角的方向影响角的正负。2. 象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴非负半轴，建立平面直角坐标系。这样，角的终边（除端点外）在第几象限，就说这个角是第几象限角。注意：（1）角的始边“与轴的非负半轴重合”不能说成是“与轴的正半轴重合”。因为轴的正半轴不包括原点，就不完全包括角的始边，角的始边是以角的顶点为其端点的射线。（2）如果角的顶点不与坐标原点重合，或者角的始边不与轴正半轴重合，则不能判断角在哪一个象限，也就是说不能称之为象限角。（3）如果一个角的终边落在坐标轴上，我们称该角为轴线角。3. 终边相同的角：一般地，与角终边相同的角的集合为|k360，kz。注意：（1）其中为任意角。（2）相等的角，终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相差360的整数倍。（3）这一条件不可少。易错点：准确区分锐角、到的角、小于 的角、第一象限角（1）锐角是指。（2）到的角是指。（3）小于的角是指，显然包括角和负角。（4）第一象限角是指。二、弧度制的概念、弧度与角度的互化以及弧度制下的扇形的弧长及面积公式1. 弧度制：长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1rad，用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制。【核心归纳】当角的大小一定时，不论这个角所对的圆弧的半径是多少，弧长与半径的比值总是一个定值，它仅与圆心角的大小有关，所以我们可以用弧长与半径的比值来度量角的大小。即|。即当圆心角一定时，圆心角所对的弧长与半径成正比，与所取半径无关。另外弧度制下的角的单位“弧度”可以省略，但角度制下的角的单位“度（）”不可以省略。2.（1）将角度化为弧度；（2）将弧度化为角度；【难点剖析】（1）1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角（或弧）的大小，而是圆的所对的圆心角（或弧）的大小。（2）不管是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与半径的大小无关的定值。（3）用角度制和弧度制来度量零角，虽然单位不同，但量数相同，对于其他非零角度，由于单位不同，量数也就不同了。3. 扇形的弧长及面积公式（1）弧度制下的弧长公式l是圆心角所对的弧长，r是半径，则圆心角的弧度数的绝对值是|，弧长l|r，特别地，当r1时，弧长l|；（2）扇形面积公式在弧度制中，若|2，则半径为r，圆心角为的扇形的面积为sr2|r2lr。注意：弧度制和角度制一样，只是一种度量角的方法。弧度制与角度制相比有一定的优点：其一是在进位上，角度制在度、分、秒上是60进制，不便于计算；其二是在弧长公式与扇形面积公式的表达上，弧度制下的公式远比角度制下的公式简单，运算方便。例题1 已知为第一象限角，求2，所在的象限。思路分析：答案：为第一象限角，360k360k90，kz，3602k23602k180，kz，2是第一或者第二象限角，或是终边在y轴正半轴上的角，180k180k45，kz，当k为奇数时，是第三象限角；当k为偶数时，是第一象限角；为第一或第三象限角，又120k120k30，kz，当k3n（kz）时，360n360n30，nz，是第一象限角；当k3n1（kz）时，360n120360n150，nz，是第二象限角；当k3n2（kz）时，360n240360n270，nz，是第三象限角；为第一、第二或第三象限角。技巧点拨：1. 用不等式表示象限角的集合是解决这类问题的基本方法。2. ，2终边位置关系：第一象限第二象限第三象限第四象限第一、三象限第一、三象限第二、四象限第二、四象限2第一、二象限或y轴的正半轴第三、四象限或y轴的负半轴第一、二象限或y轴的正半轴第三、四象限或y轴的负半轴另外，对于的判断还有另外一种判断方法八卦图法（1）所在象限的判断方法第一步：画出直角坐标系，如图，将每一象限二等分；第二步：标号，从靠近轴正半轴的第一象限区域内开始，按逆时针方向，在图中依次标上1、2、3、4、1、2、3、4； 第三步：选号，因为为第一象限角，在图中将1的范围画出，可用阴影表示；第四步：定象限，阴影在哪一象限，的终边就在哪一象限，若需写出的集合，也可根据终边所在阴影区域写出。由以上步骤可知，若为第一象限角，则为第一或第三象限角。（2）所在象限的判断方法第一步：画出直角坐标系，如图，将每一象限三等分；第二步：标号，从靠近轴正半轴的第一象限区域内开始，按逆时针方向，在图中依次标上1、2、3、4、1、2、3、4、1、2、3、4； 第三步：选号，因为为第一象限角，在图中将1的范围画出，可用阴影表示；第四步：定象限，阴影在哪一象限，的终边就在哪一象限，若需写出的集合，也可根据终边所在阴影区域写出。由以上步骤可知，若为第一象限角，则为第一、第二或第三象限角。例题2 一个扇形的周长为20，则扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形面积最大？思路分析： 答案：设扇形的圆心角为，半径为r，弧长为l，则lr，依题意l2r20，即r2r20，由l202r0及r0得0r10，s扇形r2r2（10r）r，（r5）225（0r10），当r5时，s扇形max25，此时l10，2，故当扇形半径r5，圆心角为2 rad时，扇形面积最大。技巧点拨：涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程（组）求解。 区间角表示错误例题 用角度表示顶点在原点上，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在如图所示的阴影区域内的角的集合（含边界）。错解：因为区域起始、终边边界分别对应的角为300和45，所以它表示的角的集合为|k360300k36045，kz。错因分析：因为45300，所以上式是错误的，由于没有弄清角的大小而造成了错误，出现了矛盾不等式。防范措施：表示区间角时，应先按逆时针方向，确定在（0，360）范围内区间的起始边界与终止边界所对应的角，（），再在所得到的范围x|x两边加上k360，即得区域角的集合x|k360xk360，kz。正解：由题意可知300角与60角的终边相同，所以它表示的角的集合为|k36060k36045，kz。技巧点拨：1. 对角的概念的理解关键是抓住“旋转”二字：（1）要明确旋转的方向；（2）要明确旋转的大小；（3