高中数学 第一章 三角函数 1.6 三角函数模型的简单应用例题与探究 新人教A版必修4.doc

1.6 三角函数模型的简单应用典题精讲例1初速度为v0，发射角为，则炮弹上升的高度y与v0之间的关系式（t是飞行时间）为（ ）a.y=|v0t| b.y=|v0|sintc.y=|v0|sint-gt2 d.y=|v0|cost思路解析：本题是与物理相结合的题目，由速度的分解可知炮弹上升的速度为v0sin，如图1-6-1所示：图1-6-1故炮弹上升的高度为h=|v0|sint-gt2.答案：c绿色通道：跨学科的题目要注意知识间的内在联系，找出问题的本质转化为数学问题.同时也要注意物理里面公式的正确使用，以及对问题的准确分析.变式训练一根长l厘米的线，一端固定，另一端悬挂一个小球.小球摆动时，离开平衡位置的位移s（厘米）和t（秒）的函数关系是s=3cos()，其中g是重力加速度，要使小球摆动的周期是1秒，则l等于（ ）a. b. c. d.思路解析：因为周期1=，所以=2，平方得l=.答案：d例2在200米高山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30、60，则塔高为（ ）a.米 b.米 c.米 d.米思路解析：如图1-6-2，设塔高为h米，则200tcos30=(200-h)tan60,h=米.图1-6-2答案：a绿色通道：随着对“加强应用性”要求的不断提高，与三角函数有关的应用性问题受到越来越多的重视.实际问题转化为数学问题时要注意数形结合，利用三角函数列出相等或者不等关系. 变式训练一个大风车的半径为8 m，12分钟旋转一周，它的最低点离地面2 m（如图1-6-3所示），则风车翼片的一个端点离地面距离h（米）与时间t（分钟）之间的函数关系（用弧度制求解）为_.图1-6-3思路解析：首先考虑建立直角坐标系，以最低点的切线作为x轴，最低点作为坐标原点，如图1-6-4建立直角坐标系.图1-6-4那么，风车上翼片端点所在位置p可由函数x(t)、y(t)来刻画，而且h(t)=y(t)+2.所以，只需要考虑y(t)的表达式.又设p的初始位置在最低点即y(0)=0.在rto1pq中，cos=,y(t)=-8cos+8.而=，所以=t,y(t)=-8cost+8,h(t)=-8cost+10.答案：h(t)=-8cost+10例3某港口水深y（米）是时间t(0t24,单位：小时)的函数，下表是水深数据：t(时)03691215182124y(米)10.013.09.97.010.013.010.17.010.0 据上述数据描成的曲线如图1-6-5所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数y=asint+b的图象.图1-6-5（1）试根据数据表和曲线，求出y=asint+b的表达式；（2）一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度（船底与水面的距离）为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间（忽略离港所用的时间）？思路分析：（1）从拟合曲线可知，函数y=asint+b的周期；由t=0时的函数值和t=3时函数取得最大值，进而可求得、a、b的值，即得函数的表达式.（2）根据（1）中求得的函数表达式，求出数值不小于4.5+7=11.5（米）的时段，从而就可以求出题中的两问.解：（1）从拟合的曲线可知，函数y=asint+b在一个周期内由最大变为最小需要9-3=6小时，此为半个周期，所以函数的最小正周期为12小时，因此=12,=.又当t=0时，y=10;当t=3时，ymax=13.b=10,a=13-10=3.于是所求函数解析式为y=3sint+10.（2）由于船的吃水深度为7米，船底与海底的距离不少于4.5米，故在船舶航行时水深y应大于等于7+4.5=11.5（米）.令y=2sin+1011.5，可得sint.2k+t2k+ (kz).12k+1t12k+5(kz).取k=0，则1t5;取k=1,则13t17;而取k=2时，则25t29(不合题意).所以，船只可以安全进港的时间为上午的15点和下午的15点；船舶要在一天之内在港口停留的时间最长，就应从凌晨1点（1点到5点都可以）进港，而下午17点（即13点到17点之间）前离港，在港内停留的时间最长为16小时.绿色通道：解答类似的应用题，首先要保持自信的心态，不要被复杂的问题表述吓倒，要耐心的一点点地得到题中的有用信息，然后动脑筋解决问题.三角函数是在解决实际问题的过程中发展起来的，反过来，它又大量用于实际问题的解决之中，利用三角函数的图象和性质，如正、余弦的有界性、单调性、周期性，可以解决相应的综合应用问题.变式训练已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t（0t24，单位：小时）的函数，记作y=f(t).下表是某日各时的浪高数据：t（时）03691215182124y（米）1.51.00.51.01.51.00.50.991.5 经长期观测，y=f(t)的曲线可近似地看成是函数y=acost+b.（1）根据以上数据，求出函数y=acost+b的最小正周期t、振幅a及函数表达式；（2）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放.请依据（1）的结论，判断一天内的上午8：00至晚上20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？解：（1）由表中数据，画图分析知周期t=12.=.由t=0,y=1.5,得a+b=1.5.由t=3,y=1.0得b=1.0.a=0.5,b=1,振幅为.y=cost+1.（2）由题意知，当y1时才可对冲浪者开放.cost+11.cost0.2kt2k+，即12k-3t12k+3.0t24,故可令中k分别为0，1，2，得0t3或9t15或21t24.在规定上午8：00至晚上20：00之间有6个小时的时间可供冲浪者运动，即上午9：00至下午15：00.问题探究问题 把一张纸卷到圆柱形的纸筒面上，卷上几圈，用剪刀斜着将纸筒剪断，再把卷着的纸展开，你就会看到：纸的边缘是一条波浪形的曲线.你知道吗？这条曲线就是正弦曲线！你能给出证明吗？试试看.导思：要充分利用空间想象能力，准确作出辅助线.如图1-6-6，设纸筒底面半径为1个单位长，截面（椭圆面）与底面所成的二面角为（定值），截口的中心为o.过o作圆柱的直截面，交截口曲线于两点，取其中一点为o，在过点o且与圆柱侧面相切的平面内，以点o为坐标原点，建立直角坐标系，使得oy轴是圆柱的一条母线.图1-6-6探究：设点p是截口曲线上任意一点，点q是点p在圆o所在平面内的射影，过q作qhoo，垂足为h，连结ph