高中数学 第一章 三角函数 1.6 三角函数模型的简单应用课时提升作业1 新人教A版必修4.doc

三角函数模型的简单应用(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可以是()a.f(x)=x+sinxb.f(x)=cosxxc.f(x)=xcosxd.f(x)=xx-2x-32【解析】选c.观察图象知函数为奇函数，排除d，又在x=0时函数有意义，排除b，取x=2，由图象知f2=0，排除a.【补偿训练】现有四个函数：y=xsinx；y=xcosx；y=x|cosx|；y=x2x的图象(部分)如下：则按照从左到右图象对应的函数序号排列正确的一组是()a.b.c.d.【解析】选a.y=xsinx为偶函数，对应左数第1图；y=xcosx为奇函数，但当x0时，y不恒大于等于0，对应左数第3图；y=x|cosx|为奇函数，当x0时y恒大于等于0，对应左数第4图.y=x2x对应左数第2图，综上知，a正确.2.(2015陕西高考)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin6x+k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为()a.5b.6c.8d.10【解析】选c.不妨设水深的最大值为m，由题意结合函数图象可得3+k=mk-3=2解之得m=8.【补偿训练】(2014武汉高一检测)夏季来临，人们注意避暑，如图是成都市夏季某一天从6时到14时的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数y=asin(x+)+b，则成都市这一天中午12时天气的温度大约是()a.25b.26c.27d.28【解析】选c.由题意及函数图象可知，a+b=30，-a+b=10，所以a=10，b=20.因为t2=14-6，所以t=16.因为t=2，所以=8.所以y=10sin8x+20.因为图象经过点(14，30)，所以30=10sin814+20，所以sin74+=1，所以可取=34.所以y=10sin8x+34+20，当x=12时，y=10sin812+34+20=1022+2027.0727.3.(2015武汉高一检测)如图，小明利用有一个锐角是30的三角板测量一棵树的高度，已知他与树之间的水平距离be为5m，ab为1.5m(即小明的眼睛距地面的距离)，那么这棵树高是()a.533+32mb.53-32mc.533md.4m【解析】选a.cd=adtan30=533=533，de=1.5，所以树高是cd+de=533+32m.4.电流强度i(安)随时间t(秒)变化的函数i=asin(t+)a0,0,00，所以y=f2-xsinx0，排除c、d；当x2,时f2-x0，所以y=f2-xsinx0，排除b，故选a.二、填空题(每小题5分，共15分)6.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y=a+acos6(x-6)(x=1，2，3，12)来表示，已知6月份的平均气温最高，为28，12月份的平均气温最低，为18，则10月份的平均气温值为_.【解析】依题意知，a=28+182=23，a=28-182=5，所以y=23+5cos6(x-6)，当x=10时，y=23+5cos64=20.5.答案：20.5【补偿训练】某城市一天的温度()波动近似按照=20-5sin12t+3的规律变化，其中t(h)是从该日0：00开始计时，且t24，则这一天的最高气温是_，最低气温是_.【解析】由0t24知12t+33,73，当12t+3=2，即t=2时，气温最低=20-5=15()，当12t+3=32，即t=14时，气温最高=20+5=25().答案：25157.某时钟的秒针端点a到中心点o的距离为5cm，秒针均匀地绕点o旋转，当时间t=0时，点a与钟面上标12的点b重合，将a，b两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d=_，其中t0，60.【解析】当t=0时，d=0，当0t30时，aob=260t=t30，d=25sin12aob=10sint60，当t=30时，d=10，当30t0，0)，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t=150(天)时达到最低油价，则的最小值为_.【解析】由最高油价为80美元知a=20.由t=150(天)时达到最低油价知sin150+4=-1，所以150+4=2k+32(kz).=k75+1120(kz)，又0，所以的最小值为1120.答案：1120三、解答题(每小题10分，共20分)9.(2014湖北高考)某实验室一天的温度(单位：)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)=10-3cos12t-sin12t，t0，24).(1)求实验室这一天上午8时的温度.(2)求实验室这一天的最大温差.【解析】(1)f(8)=10-3cos128-sin128=10-3cos23-sin23=10-3-12-32=10.故实验室这一天上午8时的温度为10.(2)因为f(t)=10-232cos12t+12sin12t=10-2sin12t+3，又0t24，所以312t+30，0)，则-a+b=700,a+b=900,解得a=100，b=800.又周期t=2(6-0)=12，所以=2t=6，所以y=100sin6t+800.又当t=6时，y=900，所以900=100sin66+800，所以sin(+)=1，所以sin=-1，所以可取=-2，所以y=100sin6t-2+800.(2)当t=2时，y=100sin62-2+800=750，即当年3月1日动物种群数量约是750.【补偿训练】如图所示，某市拟在长为8km的道路op的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段osm，该曲线段为函数y=asinx(a0，0)，x0，4的图象，且图象的最高点为s(3，23)；赛道的后一部分为折线段mnp.为保证参赛运动员的安全，限定mnp=120，求a，的值和m，p两点间的距离.【解析】依题意，有a=23，t4=3，又t=2，所以=6，所以y=23sin6x，x0，4.所以当x=4时，y=23sin23=3.所以m(4，3)，又p(8，0)，所以mp=(8-4)2+(0-3)2=42+32=5(km).即m，p两点间的距离为5km.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.(2015唐山高一检测)如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置p(x，y)，若初始位置为p032,12，当秒针从p0(注：此时t=0)正常开始走时，那么点p的纵坐标y与时间t的函数关系为()a.y=sin30t+6b.y=sin-60t-6c.y=sin-30t+6d.y=sin-30t-3【解析】选c.因为函数的周期t=60，所以=260=30，设函数解析式为y=sin-30t+，因为初始位置为p032,12，所以t=0时y=12，所以sin=12，所以可取6，所以y=sin-30t+6.2.(2015都江堰高一检测)如图，半径为1的圆m切直线ab于o点，射线oc从oa出发绕着o点顺时针方向旋转到ob，旋转过程中oc交m于点p，记pmo为x，弓形onp的面积s=f(x)，那么f(x)的大致图象是()【解析】选a.由题意得s=f(x)=12x-12sinx=12(x-sinx)，因为f(x)-x2=-12sinx，所以x(0，)时f(x)-x20，f(x)0，f(x)x2，f(x)的图象在直线y=x2上方，所以a图满足题意.【补偿训练】如图，设点a是单位圆上的一定点，动点p从a出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点p所转过的弧的长为l，弦ap的长为d，则d=f(l)的图象大致是()【解析】选c.设ap中点为c，则d=2ac，aoc=12aop=，所以d=2sin.二、填空题(每小题5分，共10分)3.(2015成都高一检测)海水受日月的引力作用，在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐，在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋，下面是港口在某季节每天的时间与水深关系的表格：时刻0：003：006：009：0012：0015：0018：0021：0024：00水深5.07.55.02.55.07.55.02.55.0选用函数y=asin(x+)+b(a0，0)来模拟港口的水深与时间的关系，如果一条货船的吃水深度是4米，安全条例规定至少有2.25米的安全间隙(船底与海洋底的距离)，则该船一天之内在港口内呆的时间总和为_小时.【解析】由题意可得y=2.5sin6t+5，则2.5sin6t+56.25，sin6t12，66t56，即1t5，该船可以1点进港，5点离港，或13点进港，17点离港，在港口内呆的时间总和为4+4=8(小时).答案：84.一种波的波形为函数y=-sin2x的图象，若其在区间0，t上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t的最小值是_.【解析】函数y=-sin2x的周期t=4.且x=3时y=1取得最大值，因此t7.所以正整数t的最小值是7.答案：7三、解答题(每小题10分，共20分)5.某城市白昼时间的小时数d(t)的表达式为d(t)=3sin2365(t-79)+12，其中t表示某天的序号，0t364，tn，t=0表示1月1日，t=1表示1月2日，以此类推.(1)该城市哪一天白昼时间最长？哪一天白昼时间最短？(2)估计该城市一年中有多少天的白昼时间超过10.5小时？【解析】(1)令2365(t-79)=2，得t=170.25，又tn，故当t=170时，d(t)取得最大值.又t=170对应的是6月20日(闰年除外).所以该城市6月20日这一天白昼时间最长.令2365(t-79)=32，得t=352.75.又tn，故当t=353时，d(t)取得最小值.又t=353对应的是12月20日(闰年除外)，这一天白昼时间最短.(2)令d(t)10.5，即3sin2365(t-79)+1210.5，所以sin2365(t-79)-12，所以-62365(t-79)76.所以48.6t0，0，-0，0，-)拟合收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系，由题得a=1，b=6，t=4，因为t=2|，所以=2，所以y=sin2x+6，y=sin2x+6的图象过点(1，6)，所以2+=0，所以=-2，所以y=sin2x-2+6=6-cos2x.选择函数模型y=log2(x+a)+b拟合养殖成本(元/斤)与相应月份之间的函数关系由题意：y=log2(x+a)+b图象过点(1，3)，(2，4)，所以3=log2(1+a)+b,4=log2(2+a)+b,解得：a=0,b=3,所以y=log2x+3，(2)由(1)知：当x=5时，y=6-cos2x=6-cos52=6，y=log2x+3=log25+3log28+3=3+3=6；当x=6时，y=6-cos2x=6-cos3=6+1=7，y=log26+3log28+3=3+3=67；当x=7时，y=6-cos2x=6-cos72=6，y=log2x+3=log27+35；当x=9时