高中数学 第一章 三角函数 1.4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式 同角关系和诱导公式的高考瞭望素材 北师大版必修4.doc

“ 同角关系和诱导公式”中的高考瞭望同角三角函数揭示了角六种三角函数之间的关系，为平方关系的应用提供了基础和方法，特别是方程观念下使用“平方”的手段，巧用平方关系，可以沟通关系简化求解三角问题. 由单位圆中任意角的正弦、余弦的定义推导出的五组诱导公式，要结合图形注意角之间的关系，正确的选择符号 “把看作锐角时，整体角的前面原三角函数所在象限值的符号”；同角关系和诱导公式的应用以及方程观念的网络交汇构成了高考三角的第一个必考点。1 方程组的观念和平方技巧探究同角的关系例 1 是第四象限角，则（ ）a b c d解析：选符号后用同角关系切入， 是第四象限角，则，选d。点评 同角关系使用中先确定三角函数符号，后可利用同角关系或构造直角三角形求解，如本题选正弦负号，构造直角三角形对边和临边为5，12，则由勾股数解出邻边为13，由直角三角形中锐角的正弦求得，注意负号选d；你不妨试一试，这可是已知一个角的三角函数求同角其它三角函数值的最好的方法，实质是三角函数定义的理解和应用，可要牢固掌握呀！例2 2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么的值等于解析：注意4个直角三角形和两个正方形面积之间的关系，应引入两直角边为变量构建方程组，借助同角的关系求解。注意如图中小正方形的面积为1，大正方形的面积为25， 每一个直角三角形的面积是6，设直角三角形的两条直角边长分别为a, b，则， 两条直角边的长分别为3，4，直角三角形中较小的锐角为，cos=，用同角的关系和题设的信息 =2cos21=。点评 构建方程组和使用同角的关系是沟通关系寻求思维切入点的桥梁， 本题注意图形的特殊性，运用直角三角形中的三角函数定义，借助同角关系求解，其中几何图形的性质和巧妙的设元推出勾股数是求解的关键，本题是一个成题，你可曾见过？例3 已知，求的值；解析如何降元化归一个变量的方程？同角的倒数关系沟通化归一元二次方程解根。由得，即，又，所以为所求。点评 同角的关系是构建方程和“降元”的思维切入点，可要注意。例4 已知 ，求sinxcosx的值；解析目标意识，方程组观念平方切入，用同角的关系沟通有方法1，由 即 注意角所在范围选取符号，又 故 认识同角关系的作用，构建方程组有解法2：联立方程 由 得将其代入，整理得故 学习体验 同角的六种三角函数的关系揭示了角的本质属性，为沟通关系构建方程组求解三角问题提供了方法和依据 ，试回味以上各题求解中思维方法的产生过程，学会用用方程组观念和同角关系求解三角问题的方法，不断提高三角变换的能力。2 诱导公式和同角关系的应用例5 已知，且，则tan (a) (b) (c) (d) 解析 如何沟通关系？ 诱导公式和同角关系的应用， 由，得，又，tan,选 c. 点评 借助诱导公式确定角再求出角的三角函数值，这也是三角变换的一条途径，要汲取呀！例6 已知求的值. （其中定义 ）解析 条件等式中如何求角？诱导公式应用化简切入，由已知条件得 .利用规定的新定义降元化归二次方程，即.解得.由0知，从而.点评 诱导公式的化简及新定义的降元和构建方程的变换，你有自觉的意识和行为吗？3 方程的观念认识二次齐次式，寻求三角变换的切入点 例 7 已知的值.解析：如何求解？依据二次齐次式的结构特征，方程的观念寻求思维的切入点，解根沟通所求值和已知值之间的关系凑配公式求解.由已知得： 由已知条件可知 学习体验三角函数的化简与求值,以角的差异切入,目标意识和整体思维选择变换公式,通过变角,变名称,变结构达到 “特殊值,约项,消项的目的.其中方程组的观念,整体