高中数学 第一章 三角函数 1.4 三角函数的图象与性质 1.4.3 正切函数的性质与图象知识巧解学案 新人教A版必修4.doc

1.4.3 正弦函数、余弦函数的性质疱工巧解牛知识巧学一、正切函数的周期 是正切函数的周期.在这里，我们用两角和的正切公式tan(+)=证明是正切函数的最小正周期. 设t是正切函数的最小正周期且0t，那么，根据周期函数的定义，当x取定义域内的每一个值时，都有tan(x+t)=tanx.令x=代入上式，得tan(+t)=tan=1，即 =1，解得tant=0，此时t=k，kz，这与0t相矛盾.这说明上述tant=0是不可能的，于是t必须等于，即正切函数的最小正周期是.学法一得 (1)周期函数的定义中“当x取定义域内的每一个值时”的“每一个”的含义是指函数定义域内的所有x值，如果存在一个x0，使得f(x0+t)f(x0)，那么t就不是函数f(x)的周期.(2)根据问题所给的全部信息，选包含在问题中的题设或结论中的某个特殊值，导出问题的答案，再进一步论证其正确性的方法，称之为特殊化法.二、正切函数的奇偶性 由诱导公式三可知，tan(-x)=-tanx.又因为正切函数的定义域是xr，且x+k,kz，它关于原点对称，所以正切函数是奇函数，它的图象关于原点对称.三、正切函数的单调性 过单位圆与x轴的正半轴的交点a(1,0)作单位圆的切线，它与角的终边(当角为第一、四象限时)或其反向延长线(当角为第二、三象限时)相交于点t，我们就把有向线段at叫做角的正切线. 设角(,)，当由小变大时，可见它的正切线在负的方向上由长逐渐变短到零，再在正的方向上由零逐渐变长.结合正切函数的周期性可知，正切函数在开区间(-+k, +k),kz内都是增函数.四、正切函数的值域由正切函数线的变化规律可知，正切函数在给定的定义域上没有最值，它的值域是yr.五、正切函数的对称性 正切函数是中心对称图形，同一支曲线的对称中心是图象与坐标轴的交点(k，0)，kz.相邻的两支曲线的对称中心是它们的公共渐近线同坐标轴的交点(+k，0)，kz.由于终边落在坐标轴上的角是=，kz，可知切函数的对称中心是(，0).六、用正切线作正切函数y=tanx，x(，)的图象1.由任意角的三角函数的定义可知，正切函数y=tanx的定义域是x|xr且x+k，kz ，即角x的终边不能落在y轴上.结合单位圆中正切线的画法及其周期性，我们选择在(，)这一区间内作它的图象是最为适宜的.2.作正切函数y=tanx，x(，)的图象的步骤(1)建立直角坐标系，在x轴的负半轴上任取一点o1，以o1为圆心作单位圆;(2)把单位圆中的右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出其相应的正切线;(3)在x轴上，把到这一段分成8等份，依次确定单位圆上8个分点在x轴上的位置;(4)把角x的正切线向右平移，使它的起点与x轴上的点x重合;(5)用光滑的曲线把正切线的终点连结起来，就得到y=tanx，x(，)的图象.如图14-1-2所示.图1-4-123.根据正切函数的周期性，我们可以把上述图象向左、右扩展(每次扩展的整数倍)，得到正切函数y=tanx，xr且x+k，kz的图象，并把它叫做正切曲线(如图1-4-13).从下图可以看到，正切曲线是由相互平行的直线x=+k(kz)(称为正切曲线的渐近线)所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的.图1-4-13学法一得 (1)一般说来，对函数性质的研究总是先作图象，通过观察图象获得对函数性质的直观认识，然后再从代数的角度对性质作出严格的表述.但对正切函数，本书采用了先根据已有的知识研究性质，然后再根据性质研究正切函数的图象.在函数性质的指导下，更加有效地研究图象，使数形结合的思想体现的更加完美.(2)画正切函数的简图时，可按照开区间(,),(,),(,),分段，这些开区间的长度都等于个单位.在每一个开区间上，都有一支曲线与x轴交于一点，且与渐近线无限接近但永不相交.与x轴的交点及渐近线在确定图象的形状时起关键作用，利用它可以画出正切函数的简图.类似于正弦、余弦函数的“五点法”作图，正切曲线的简图可用“三点两线法”，这里的三个点分别为(k,0),(k+,1),(k-,-1),其中kz.两线为直线x=k+ (kz)和直线x=k- (kz).(3)当把单位圆的右半圆等分时，分的份数越多，图象就越精确，所分份数以4的倍数为佳.正切曲线中，相互平行的直线x=+k，kz都是它的渐近线.在同一单调区间内，图象向上、向下无限地接近这些线，但永远不能相交.典题热题知识点一 周期性例1 求下列正切函数的周期：(1)y=2tan(2x+)；(2)y=3tan()；(3)y=atan(x+)，xr,x+k(其中a、为常数，且a0,0).思路分析：利用周期函数的定义或最小正周期的公式求解.解：(1)令z=2x+，那么函数y=2tanz的周期是.由于z+=(2x+)+=2(x+)+，所以自变量x只要并且至少要增加到x+时，函数值才能重复取得，即t=是能使等式2tan2(x+t)+=2tan(2x+)成立的最小正数，从而函数y=2tan(2x+)的周期是.(2)令z=，那么函数y=3tanz的周期是.由于z+=()+=(x+2)-，所以自变量x只要并且至少要增加到x+2时，函数值才能重复取得，即t=2是能使等式3tan(x+t)-=3tan()成立的最小正数，从而函数y=3tan()的周期是2.(3)令z=x+，那么y=atanz的周期是. 由于z+=(x+)+=(x+)+，所以自变量只要并且至少要增加到时，函数值才能重复出现，即是能使等式atan(x+t)+=atan(x+)成立的最小正数，从而函数y=atan(x+)的周期是.方法归纳 函数y=atan(x+)(0)的周期是.对于上述结论，在以后的学习中可直接利用它求正切函数的周期.对于较复杂的三角函数式，可先化简成这种形式，再求周期.例2 求f(x)=|tanx|的最小正周期.思路分析：函数f(x)=|tanx|=的图象可看作把y=tanx的图象在x轴下半平面的部分沿x轴翻折上去而得到的.解：先作出y=tanx的图象，然后将它在x轴上方的图象保留，而将其在x轴下方的图象向上翻(即作出关于x轴的对称图象)，就可得到y=|tanx|的图象.如图1-4-14,显然它的最小正周期是.图1-4-14方法归纳 最小正周期是指能使函数值重复出现的自变量x要加上的那个最小正数，这个最小正数是相对x而言的.正切函数y=atan(x+)的最小正周期为.知识点二 奇偶性例3 试判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)=1-2cosx+|tanx|；(2)f(x)=x2tanx-sin2x；(3)f(x)=tanxcotx.思路分析：利用函数奇偶性的定义去判断.解：(1)因为该函数的定义域是x|x+k，kz，关于原点对称，且f(-x)=1-2cos(-x)+|tan(-x)|= 1-2cosx+|tanx|=f(x)，所以函数f(x)为偶函数.(2)因为函数f(x)的定义域是x|x+k，kz，关于原点对称，又f(-x)=(-x)2tan(-x)-sin2(-x)=-x2tanx-sin2x，f(-x)f(x)且f(-x)-f(x)，所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.(3)因为该函数的定义域是x|x，kz ，关于原点对称，且f(x)=tanxcotx=1，对定义域内的任意一个x，都有f(-x)=1=f(x)，所以该函数是偶函数.方法归纳 函数的定义域关于原点(y轴)对称是该函数具有奇偶性的一个充要条件.奇(偶)函数的图象关于原点(y轴)对称;反过来，图象关于原点(或y轴)对称的函数是奇(偶)函数.判断函数奇偶性的步骤是：一看函数的定义域是否关于原点对称；二看f(-x)与f(x)的关系.若定义域关于原点对称且满足f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)，则函数f(x)是偶函数或奇函数，否则就是非奇非偶函数.知识点三 单调性例4 比较不同角的三角函数值的大小.(1)tan10015与tan13830；(2)tan()与tan()；(3)tan509与tan140.思路分析：利用诱导公式把它们转化成锐角的正切函数或转化成同一单调区间内的正切函数.解：(1)tan10015=tan(180-7945)=-tan7945，tan13830=tan(180-4130)=-tan4130.04130794590，且正切函数y=tanx，x(0，90)是增函数，tan4130tan7945，即tan10015tan13830.(2)tan()=-tan(5-)=tan，tan()=-tan(5-)=tan，且正切函数y=tanx，x(0，)是增函数，即.(3)tan509=tan(3180-31)=tan(-31)=-tan31，tan140=tan(180-40)=tan(-40)=-tan40.0314090，且正切函数y=tanx，x(0，90)是增函数，tan31tan40，即tan509tan140.例5 求函数y=tan(3x-)的单调区间.思路分析：利用复合函数单调性的判定方法求复合函数的单调区间.解：令u=3x-，则y=tanu.u=3x-为增函数且y=tanu在区间(-+k，+k)，kz上是增函数，y=tan(3x-)在-+k3x-+k，即在x()，kz上是增函数.方法归纳 由于切函数是奇函数，对于负角的切函数，可先转化成正角的切函数；由于切函数的周期是，对于非锐角可直接转化成k或k180，是锐角的形式，利用诱导公式对其化简；函数的单调性是相对于某一个区间而言的.正切函数在每一个开区间内都是增函数，但在整个定义域上不是单调函数.例6 解下列不等式：(1)tanx1；(2)tan(2x-)+30.思路分析：利用切函数的图象及其单调性求解.解：(1)如图1-4-15，在区间(，)上，满足tanx1的角是x，所以不等式的解集是x|+kx+k，kz. 图1-4-15 图1-4-16(2)原不等式可化为tan(2x-)-3，设z=2x-.如图1-4-16，在(，)上满足tanz-3的角的范围是，所以在整个定义域上有，kz，即，kz.解得，kz.所以原不等式的解集是x|，kz.知识点四 对称性例7 下列各点中是函数y=tan(x+)(xr且x+k，kz)的一个对称中心的为( )a.(0，0) b.(，0) c.(，0) d.(，0)思路分析：因为切函数的对称中心是使函数值为零或使函数值无意义的点，不妨采用直接代入法求解.答案：c知识点五 函数的定义域例8 求函数的定义域.思路分析：求该函数的定义域不仅要考虑到tanx1，还要考虑到自身的限制条件.解：要使函数有意义，必须tanx1，且x+k,kz，即该函数的定义域是x+k,kz且x+k,kz.方法归纳 函数y=atan(x+)的定义域是它的渐近线集在实数中的补集，因此可从研究它的渐近线方程入手，来确定它的定义域.这也是一种非常重要的求补集思想.知识点六 函数的值域例9 求函数y=tan2x-2tanx-3，x，+k，kz的值域.思路分析：换元后，用配方法求二次函数的值域.解：设t=tanx，x，+k，kz，由正切函数的性质可得t，1.则y=t2-2t-3=(t-1)2-4.因为y=t2-2t-3在区间，1上是减函数，所以当t=时，ymax=；当t=1时，ymin=(1-1)2-4=-4.所以，所求函数的值域为-4，.方法归纳 (1)与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫函数的值域.它是由定义域和对应关系决定的.(2)求二次函数的最值时，要注意对称轴与给定区间的关系，当对称轴不在给定区间时，函数是单调函数，其最值在区间的两个端点处取得；当对称轴在给定的区间内时，在对称轴处取一最值，在离对称轴较远的区间端点处取另一最值.问题探究误区陷阱探究问题1 正弦与余弦函数图象形状相同，因此在若干性质上差别不大，但正切函数与正弦、余弦函数相比较，就有了较多的不同点，那么在把握正切函数性质时，与正弦、余弦函数对比，要注意些什么问题？探究过程：正切函数y=tanx,xk+,kz，其定义域不是r，又正切函数与正弦、余弦函数对应法则不同，因此一些性质与正弦、余弦函数的性质有了较大的差别.如正弦、余弦函数是有界函数，而正切函数则是无界函数；正弦、余弦函数是连续函数，反映在图象上是连续无间断点，而正切函数在r上不连续，它有无数条渐近线x=k+，图象被这些渐近线分割开来；正、余弦函数既有单调增区间又有单调减区间，而正切函数在每一个区间(k-,k+)(kz)上都是增函数.同作为三角函数，它们也存在许多相同点：如均为周期函数，且对y=atan(x+)(0)而言，t=,y=tanx是奇函数，它的图象既可以类似用正切线的几何方法作图，又可以用“三两线法”作简图，这里三个点为(k,0),(k+,1),(k-,-1)，直线x=k+，直线x=k-(其中kz)，作出这三个点和这两条渐近线，便可得到y=tanx在一个周期上的简图.正弦、余弦函数与正切函数同是中心对称图形(正、余弦函数同时也是轴对称图形). 函数y=tanx的对称中心的坐标是(,0)(kz)，y=tanx的值域为r是显然的.探究结论：对正切、余切函数相关的表示式的一些性质不能由正弦、余弦函数的结论作一般的推广，需论证后加以应用，例如：y=|sinx|的周期是y=sinx的周期的一半，而y=|tanx|与y=tanx的周期却相同，均