高中数学 第一章 基本初等函数（II）1.3 三角函数的图象与性质 1.3.1 正弦函数的图象与性质（第2课时）课堂探究学案 新人教B版必修4.doc

1.3.1 正弦函数的图象与性质课堂探究探究一 作正弦型函数的图象用“五点法”作正弦型函数的简图的方法步骤，以yasin(x)为例，主要是通过变量代换，设xx，由x取0，2来求出相应的x的值，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象【例1】 用“五点法”作函数y2sin的图象分析：采用“五点法”作三角函数图象，关键在于确定“五点”解：设x2x，则y2sin2sin x，当x取0，2时，由x，得x取，列表如下：2x02x2sin02020描点作图，先作出函数y=2sin，x的图象，如图，然后将其向左、向右扩展，就得到了函数y2sin的图象(图略)易错提示 本例采用“五点法”作图，要注意，不是x取0，2这五个值，而是x2x取这五个值探究二 正弦型函数的图象变换对于函数yasin(x)，应明确a，决定“形变”，决定“位变”，a影响值域，影响周期，a，影响单调性当选用“伸缩在前，平移在后”的变换顺序时，一定要注意针对x的变化，函数图象向左或向右平移个单位长度【例2】 说明y2sin1是由ysin x的图象怎样变换而来的？分析：由函数ysin x到y2sin1需要经过平移变换、周期变换、振幅变换，可分步进行解：变换过程可以先伸缩后平移，也可先平移后伸缩，变换一(先伸缩后平移)：ysin xy2sin xy2sin 2xy2siny2sin1变换二(先平移后伸缩)：ysin xy2sin xy2siny2siny2sin1评注 在三角函数图象变换中，先平移后伸缩变换与先伸缩后平移变换是不一样的，应特别注意这一变换过程体现了由简单到复杂、由特殊到一般的化归思想探究三 求函数yasin(x)的解析式可利用函数的最大、最小值确定振幅a及平衡位置，同时根据奇偶性、对称性及单调性得出相应不等式或等式，从而确定及的值【例3】 函数yasin(x)(a0，0,02)在它的某个周期上，最高点为，且与y轴交于点(0，)，与x轴交于点，求解析式分析：本题虽然没有给出函数的图象，但指明了函数图象上的特殊点，因此，我们可以根据条件画出简图，再求出解析式解法一：(数形结合，逐个确定字母法) 如图，由题意结合图形可知，t=+= 所以t=3，=所以y=asin将最高点的坐标代入y=asin，得a=asin，即sin=1所以=+2k，即 (kz)因为02，所以=，则y=asin将点(0，-)代入y=asin得-=asin，解得a=2由以上可知，y=2sin解法二：(待定系数，联想“五点作图法”)因为点和点相当于“五点作图法”中的第二点和第五点的坐标，所以解得=，=所以y=asin把点(0，-)的坐标代入y=asin得-=asin所以a=2由以上可知y=2sin反思 通过本题的解决，我们认识到：解决同一个问题，可以有多种途径，大家在做题时，要注意发散思维，这样才能做到举一反三探究四 正弦型函数的综合应用1记住一个重要结论：对于函数f(x)来说，若总有f(ax)f(ax)，则该函数图象关于直线xa对称2求f(x)的最值时，注意定义域的作用【例4】 若函数f(x)sin(2x)对任意x都有(1)求的值；(2)求的最小正值；(3)当取最小正值时，若x，求f(x)的最大值和最小值分析：f(x)对任意x都有，意味着f(x)的一条对称轴为x，以此为切入点求出，再利用图象及性质求最值解：(1)因为f(x)对任意x都有，所以x是函数f(x)sin(2x)的一条对称轴所以(2)由f(x)sin(2x)的图象的对称轴知2xk (kz)，所以x (kz)因为直线x是函数f(x)的一条对称轴，代入，得k (kz)所以的最小正值为(3)由(2)，知f(x)sin，因为x，所以2x，所以f(x)max，f(x)min探究五 易错辨析易错点：对三角函数周期的认识不当而致错【例5】 求函数y2sin的单调区间错解：当2kx2k时，y单调递增，当2kx2k时，y单调递减，所以y的单调递增区间为，单调递减区间为错因分析：忽略了“”的正负和“kz”的条件，当yasin(x)中0时，错以为为负值对单调性没有影响正解：y2sin化为y2sin因为ysin u(ur)的单调递增区间、单调递减区间分别为 (kz)， (kz)，所以函数y2sin的单调递增区间、单调递减区