高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.3 函数的最大（小）值与导数学案（含解析）新人教A版选修22.doc

1.3.3函数的最大(小)值与导数学习目标1理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系2会求某闭区间上函数的最值知识链接极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质，但是我们往往更关心函数在某个区间上哪个值最大，哪个值最小，函数的极值与最值有怎样的关系？答函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取得必定是极值，所以在开区间(a，b)上若存在最值，则必是极值预习导引1函数f(x)在闭区间a，b上的最值函数f(x)在闭区间a，b上的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在a，b上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在端点处或极值点处取得2求函数yf(x)在a，b上的最值的步骤(1)求函数yf(x)在(a，b)内的极值；(2)将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值3函数在开区间(a，b)的最值在开区间(a，b)内连续的函数不一定有最大值与最小值；若函数f(x)在开区间i上只有一个极值，且是极大(小)值，则这个极大(小)值就是函数f(x)在区间i上的最大(小)值4极值与最值的意义(1)最值是在区间a，b上的函数值相比较最大(小)的值；(2)极值是在区间a，b上的某一个数值x0附近相比较最大(小)的值要点一求函数在闭区间上的最值例1求下列各函数的最值：(1)f(x)x42x23，x3,2；(2)f(x)x33x26x2，x1,1解(1)f(x)4x34x，令f(x)4x(x1)(x1)0，得x1，x0，x1.当x变化时，f(x)及f(x)的变化情况如下表：x3(3，1)1(1,0)0(0,1)1(1,2)2f(x)000f(x)60极大值4极小值3极大值45当x3时，f(x)取最小值60；当x1或x1时，f(x)取最大值4.(2)f(x)3x26x63(x22x2)3(x1)23，f(x)在1,1内恒大于0，f(x)在1,1上为增函数故x1时，f(x)最小值12；x1时，f(x)最大值2.即f(x)的最小值为12，最大值为2.规律方法(1)求函数的最值，显然求极值是关键的一环但仅仅是求最值，可用下面简化的方法求得求出导数为零的点比较这些点与端点处函数值的大小，就可求出函数的最大值和最小值(2)若函数在闭区间a，b上连续且单调，则最大、最小值在端点处取得跟踪演练1求下列函数的最值：(1)f(x)x34x4，x0,3；(2)f(x)ex(3x2)，x2,5解(1)f(x)x34x4，f(x)x24.令f(x)0，得x12，x22.f(2)，f(0)4，f(3)1，函数f(x)在0,3上的最大值为4，最小值.(2)f(x)3exexx2，f(x)3ex(exx22exx)ex(x22x3)ex(x3)(x1)，在区间2,5上，f(x)ex(x3)(x1)0，即函数f(x)在区间2,5上单调递减，x2时，函数f(x)取得最大值f(2)e2；x5时，函数f(x)取得最小值f(5)22e5.要点二含参数的函数的最值问题例2已知a是实数，函数f(x)x2(xa)求f(x)在区间0,2上的最大值解令f(x)0，解得x10，x2.当0，即a0时，f(x)在0,2上单调递增，从而f(x)maxf(2)84a.当2，即a3时，f(x)在0,2上单调递减，从而f(x)maxf(0)0.当02，即0a3时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，从而f(x)max综上所述，f(x)max规律方法由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化所以解决这类问题常需要分类讨论，并结合不等式的知识进行求解跟踪演练2在本例中，区间0,2改为1,0结果如何？解令f(x)0，解得x10，x2a，当a0，即a0时，f(x)在1,0上单调递增，从而f(x)maxf(0)0；当a1，即a时，f(x)在1,0上单调递减，从而f(x)maxf(1)1a；当1a0，即a0时，f(x)在上单调递增；在上单调递减，则f(x)maxfa3.综上所述：f(x)max要点三函数最值的应用例3设函数f(x)tx22t2xt1(xr，t0)(1)求f(x)的最小值h(t)；(2)若h(t)2tm对t(0,2)恒成立，求实数m的取值范围解(1)f(x)t(xt)2t3t1(xr，t0)，当xt时，f(x)取最小值f(t)t3t1，即h(t)t3t1.(2)令g(t)h(t)(2tm)t33t1m，由g(t)3t230得t1，t1(不合题意，舍去)当t变化时，g(t)，g(t)的变化情况如下表：t(0,1)1(1,2)g(t)0g(t)递增1m递减对t(0,2)，当t1时，g(t)max1m，h(t)2tm对t(0,2)恒成立，也就是g(t)0，对t(0,2)恒成立，只需g(t)max1m1.故实数m的取值范围是(1，)规律方法(1)“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，一般地，可采用分离参数法进行转化f(x)恒成立f(x)max；f(x)恒成立f(x)min.对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可(2)此类问题特别要小心“最值能否取得到“和“不等式中是否含等号”的情况，以此来确定参数的范围能否取得“”跟踪演练3设函数f(x)2x39x212x8c，(1)若对任意的x0,3，都有f(x)c2成立，求c的取值范围；(2)若对任意的x(0,3)，都有f(x)c2成立，求c的取值范围解(1)f(x)6x218x126(x1)(x2)当x(0,1)时，f(x)0；当x(1,2)时，f(x)0；当x(2,3)时，f(x)0.当x1时，f(x)取极大值f(1)58c.又f(3)98cf(1)，x0,3时，f(x)的最大值为f(3)98c.对任意的x0,3，有f(x)c2恒成立，98cc2，即c1或c9.c的取值范围为(，1)(9，)(2)由(1)知f(x)f(3)98c，98cc2，即c1或c9，c的取值范围为(，19，)1函数f(x)x24x7，在x3,5上的最大值和最小值分别是()af(2)，f(3) bf(3)，f(5)cf(2)，f(5) df(5)，f(3)答案b解析f(x)2x4，当x3,5时，f(x)e时，y0；当0x0)y2t.当0t时，y0，可知y在上单调递减；当t时，y0，可知y在上单调递增故当t时，|mn|有最小值9(2014湖北重点中学检测)已知函数f(x)x3tx23x，若对于任意的a1,2，b(2,3，函数f(x)在区间a，b上单调递减，则实数t的取值范围是()a(，3 b(，5 c3，) d5，)答案d解析f(x)x3tx23x，f(x)3x22tx3，由于函数f(x)在a，b上单调递减，则有f(x)0在a，b上恒成立，即不等式3x22tx30在a，b上恒成立，即有t在a，b上恒成立，而函数y在1,3上单调递增，由于a1,2，b(2,3，当b3时，函数y取得最大值，即ymax5，所以t5，故选d.10如果函数f(x)x3x2a在1,1上的最大值是2，那么f(x)在1,1上的最小值是_答案解析f(x)3x23x，令f(x)0得x0，或x1.f(0)a，f(1)a，f(1)a，f(x)maxa2.f(x)mina.11已知函数f(x)x3ax2bxc(a，b，cr)(1)若函数f(x)在x1和x3处取得极值，试求a，b的值；(2)在(1)的条件下，当x2,6时，f(x)2|c|恒成立，求c的取值范围解(1)f(x)3x22axb，函数f(x)在x1和x3处取得极值，1,3是方程3x22axb0的两根，.(2)由(1)知f(x)x33x29xc，f(x)3x26x9，令f(x)0，得x1或x3.当x变化时，f(x)，f(x)随x的变化如下表：x(，1)1(1,3)3(3，)f(x)00f(x)极大值c5极小值c27而f(2)c2，f(6)c54，当x2,6时，f(x)的最大值为c54，要使f(x)2|c|恒成立，只要c542|c|即可，当c0时，c542c，c54；当c0时，c542c，c18.c的取值范围是(，18)(54，)，此即为参数c的取值范围12已知函数f(x)x33x29xa.(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)在区间2,2上的最大值为20，求它在该区间上的最小值解(1)f(x)3x26x9.令f(x)0，解得x1或x3，函数f(x)的单调递减区间为(，1)，(3，)(2)f(2)81218a2a，f(2)81218a22a，f(2)f(2)于是有22a20，a2.f(x)x33x29x2.在(1,3)上f(x)0，f(x)在1,2上单调递增又由于f(x)在2，1上单调递减，f(2)和f(1)分别是f(x)在区间2,2上的最大值和最小值，f(1)13927，即f(x)最小值为7.三、探究与创新13(2013新课标)已知函数f(x)x2axb，g(x)ex(cxd)，若曲线yf(x)和曲线yg(x)都过点p(0,2)，且在点p处有相同的切线y4x2.(1)求a，b，c，d的值；(2)若x2时，f(x)kg(x)，求k的取值范围解(1)由已知得f(0)2，g(0)2，f(0)4，g(0)4，而f(x)2xa，g(x)ex(cxdc)，a4，b2，c2，d2.(2)由(1)知，f(x)x24x2，g(x)2ex(x1)，设函数f(x)kg(x)f(x)2kex(x1)x24x2(x2)，f(x)2kex(x2)2x42(x2)(kex1)由题设可得f(0)0，即k1，令f(x)0得x1ln k，x22，若1ke2，则2x10，当x(2，x1)时，f(x)0，当x(x1，)时，f(x)0，即f(x)在(2，x1)单调递减，在(x1，