高中数学 第一章 导数及其应用 1.7 定积分的简单应用 导数学习的“四个问题”素材 新人教A版选修22.doc

导数学习的“四个问题”一、如何理解“导数的概念”由于在中学阶段，学生没有学习极限，而导数又作为一种特殊的极限，如何处理这部分内容呢？课程标准要求“通过实际的背景和具体应用事例膨胀率、加速度、增长率等实例，引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，认识和理解导数的概念. 例如：人们发现，在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：s)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系：h(t)=-4.9t+6.5t+10。运动员从高台跳水时，从腾空到进入水面的过程中，不同时刻的速度是不同的。假设t秒后运动员相对地面的高度为h，在2秒时运动员的速度（瞬时速度）为多少？分析：该运动员在2秒内到21秒（记为2，21）平均速度为同样，可以计算出2，212，2001，的平均速度，也可以计算出199，2，1999，2的平均速度。列表如下：由此可以看出,当时间间隔越来越小时，平均速度趋于一个常数，这一常数-13.1就可作为该运动员在2秒时的速度。二、如何认识“通过函数图象直观理解导数的几何意义” 即要求理解数函数f(x)在x=x的导数就是函数图象上经过此点处切线的斜率这一几何意义，不要求利用极限去计算导数。并且提高了对导数几何意义认识以及利用导数去解决问题的要求。例如： 国家环保局在规定的排污达标的日期前，对甲、乙两家企业进行检查，其连续检测结果如图1所示.试问哪个企业治污效果好（其中w表示治污量）。图1在处，虽然，然而，所以说在单位时间里企业甲比企业乙的平均治污率大，因此企业甲比企业乙略好一筹。 三、如何认识 “导数的运算”由于没有学习极限，因此，我们不能过多地要求学生利用极限去求过于复杂的函数导数。在处理导数的计算时，首先是对于几个常见的函数“y=c,y=x,y=x,y=x,y=,y=”，用导数定义求导，然后直接给出其他基本初等函数的导数以及导数的运算法则，要求“利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则来计算导数”，特别指出“要避免过量的形式化运算练习”，当然，与文科的选修11比较，这里要求略有提高，增加了求复合函数（仅限于形如f(a+b)）的导数。我们以下列三个例子作说明。例如：求函数y=f(x)=x的导数解：因为=2x+x所以 例如：根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求函数y=x-2x+3的导数解：因为 =3x-2所以函数y=x-2x+3的导数是3x-2例如：求函数y=的导数解：函数y=可以看作函数y=和u=-0.05x+1的复合函数。根据复合函数的求导法则有：=-0.05e=-0.05四、如何认识“导数在研究函数中的应用”首先要注意导数作为一种通法的意义和作用，与初等方法相比较，导数能处理一般函数极值问题。但在中学阶段，这种要求不宜过高，课程标准中要求“借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间。导数求不超过三次的多项式函数的，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值”。其次导数是解决生活中优化问题的有力工具，应体会导数的应用价值：例如：有一张半径为r的磁盘，它的存储区是半径介于r与r的环形区域。（）是不是r越小，磁盘的存储量越大？（）r为多少时，磁盘具有最大存储量？（最外面的磁道不存储任何信息）分析：存储量=磁道数每磁道的比特数由于磁道之间的宽度必须大于m，而且最外面的磁道不存储任何信息，所以磁道数最多可达，每条磁道上的比特数可达，所以，磁盘总存储量f(r)= =（）f(r)是关于r的一元二次函数，所以，并非