高中数学 第一章 导数及其应用 1.2.1 几个常用函数的导数 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（1）学案（含解析）新人教A版选修22.doc

1.2.1几个常用函数的导数1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)学习目标1能根据定义求函数yc(c为常数)，yx，yx2，y，y的导数2能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数知识链接在前面，我们利用导数的定义能求出函数在某一点处的导数，那么能不能利用导数的定义求出比较简单的函数及基本函数的导数呢？类比用导数定义求函数在某点处导数的方法，如何用定义求函数yf(x)的导数？答(1)计算，并化简；(2)观察当x趋近于0时，趋近于哪个定值；(3)趋近于的定值就是函数yf(x)的导数预习导引1几个常用函数的导数原函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)xf(x)1f(x)x2f(x)2xf(x)f(x)f(x)f(x)2基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)x(q*)f(x)x1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)axf(x)axln_a(a0，且a1)f(x)exf(x)exf(x)logaxf(x)(a0，且a1)f(x)ln xf(x)要点一利用导数定义求函数的导数例1用导数的定义求函数f(x)2 013x2的导数解f(x) (4 026x2 013x)4 026x.规律方法解答此类问题，应注意以下几条：(1)严格遵循“一差、二比、三取极限”的步骤(2)当x趋于0时，kx(kr)、(x)n(nn*)等也趋于0.(3)注意通分、分母(或分子)有理化、因式分解、配方等技巧的应用跟踪演练1用导数的定义求函数yx2axb(a，b为常数)的导数解y (2xax)2xa.要点二利用导数公式求函数的导数例2求下列函数的导数(1)ysin ；(2)y5x；(3)y；(4)y；(5)ylog3x.解(1)y0；(2)y(5x)5xln 5；(3)y(x3)3x4；(4)yx；(5)y(log3x).规律方法求简单函数的导函数的基本方法：(1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式跟踪演练2求下列函数的导数：(1)yx8；(2)yx；(3)yx；(4)ylogx.解(1)y8x7；(2)yxln xln 2；(3)yxx，yx；(4) y.要点三利用导数公式求曲线的切线方程例3求过曲线ysin x上点p且与过这点的切线垂直的直线方程解ysin x，ycos x，曲线在点p处的切线斜率是：y|xcos.过点p且与切线垂直的直线的斜率为，故所求的直线方程为y，即2xy0.规律方法导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率；相互垂直的直线斜率乘积等于1是解题的关键跟踪演练3已知点p(1,1)，点q(2,4)是曲线yx2上的两点，求与直线pq平行的曲线yx2的切线方程解y(x2)2x，设切点为m(x0，y0)，则y|xx02x0，又pq的斜率为k1，而切线平行于pq，k2x01，即x0，所以切点为m.所求的切线方程为yx，即4x4y10.1已知f(x)x2，则f(3)()a0 b2x c6 d9答案c解析f(x)x2，f(x)2x，f(3)6.2函数f(x)，则f(3)等于()a. b0 c d答案a解析f(x)()，f(3).3设正弦曲线ysin x上一点p，以点p为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是()a. b0，)c d答案a解析(sin x)cos x，klcos x，1kl1，l.4曲线yex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为_答案e2解析y(ex)ex，ke2，曲线在点(2，e2)处的切线方程为ye2e2(x2)，即ye2xe2.当x0时，ye2，当y0时，x1.s1e2.1利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归2有些函数可先化简再应用公式求导如求y12sin2的导数因为y12sin2cos x，所以y(cos x)sin x.3对于正、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化.一、基础达标1下列结论中正确的个数为()yln 2，则y；y，则y|x3；y2x，则y2xln 2；ylog2x，则y.a0 b1 c2 d3答案d解析yln 2为常数，所以y0.错正确2过曲线y上一点p的切线的斜率为4，则点p的坐标为()a. b或c d答案b解析y4，x，故选b.3已知f(x)xa，若f(1)4，则a的值等于()a4 b4 c5 d5答案a解析f(x)axa1，f(1)a(1)a14，a4.4函数f(x)x3的斜率等于1的切线有()a1条 b2条 c3条 d不确定答案b解析f(x)3x2，设切点为(x0，y0)，则3x1，得x0，即在点和点处有斜率为1的切线5曲线y在点m(3,3)处的切线方程是_答案xy60解析y，y|x31，过点(3,3)的斜率为1的切线方程为：y3(x3)即xy60.6若曲线yx在点处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a_.答案64解析yx，yx，曲线在点处的切线斜率ka，切线方程为yaa(xa)令x0得ya；令y0得x3a.该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为s3aaa18，a64.7求下列函数的导数：(1) y；(2)y；(3)y2sin ；(4)ylog2x2log2x.解(1)yx1x.(2)y(x4)4x414x5.(3)y2sin2sin 2sin cos sin x，y(sin x)cos x.(4)ylog2x2log2xlog2x，y(log2x).二、能力提升8已知直线ykx是曲线yex的切线，则实数k的值为()a. b ce de答案d解析yex，设切点为(x0，y0)，则ex0ex0x0，x01，ke.9曲线yln x在xa处的切线倾斜角为，则a_.答案1解析y，y|xa1，a1.10点p是曲线yex上任意一点，则点p到直线yx的最小距离为_答案解析根据题意设平行于直线yx的直线与曲线yex相切于点(x0，y0)，该切点即为与yx距离最近的点，如图则在点(x0，y0)处的切线斜率为1，即y|xx01.y(ex)ex，ex01，得x00，代入yex，得y01，即p(0,1)利用点到直线的距离公式得距离为.11已知f(x)cos x，g(x)x，求适合f(x)g(x)0的x的值解f(x)cos x，g(x)x，f(x)(cos x)sin x，g(x)x1，由f(x)g(x)0，得sin x10，即sin x1，但sin x1,1，sin x1，x2k，kz.12已知抛物线yx2，直线xy20，求抛物线上的点到直线的最短距离解根据题意可知与直线xy20平行的抛物线yx2的切线，对应的切点到直线xy20的距离最短，设切点坐标为(x0，x)，则y|xx02x01，所以x0，所以切点坐标为，切点到直线xy20的距离d，所以抛物线上的点到直线xy20的最短距离为.三、探究与创新13设f0(x)sin x，f1(x)f0(x)，f2(x)f1(x)，fn1(x)fn(x)，nn，试求f2 014(x)解f1(x)(sin x)cos x，f2(x)(cos x)sin x，f3(x)(sin x)cos x，f4(x)(cos x)sin x，f5(x)(sin x)f1(x)，f6(x)f2(x)，fn4(x)fn(x)，可知周期为4，f2 014(x)f2(x)sin x1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)学习目标1理解函数的和、差、积、商的求导法则2理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数3能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导知识链接前面我们已经学习了几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式，这样做起题来比用导数的定义显得格外轻松我们已经会求f(x)5和g(x)1.05x等基本初等函数的导数，那么怎样求f(x)与g(x)的和、差、积、商的导数呢？答利用导数的运算法则预习导引1导数运算法则法则语言叙述f(x)g(x)f(x)g(x)两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数(g(x)0)两个函数的商的导数，等于分子的导数乘上分母减去分子乘上分母的导数，再除以分母的平方2复合函数的求导法则复合函数的概念一般地，对于两个函数yf(u)和ug(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为yf(u)和ug(x)的复合函数，记作yf(g(x)复合函数的求导法则复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积要点一利用导数的运算法则求函数的导数例1求下列函数的导数：(1) yx32x3； (2)y(x21)(x1)；(3)y3xlg x.解(1)y(x3)(2x)33x22.(2)y(x21)(x1)x3x2x1，y(x3)(x2)x13x22x1.(3)函数y3xlg x是函数f(x)3x与函数g(x)lg x的差由导数公式表分别得出f(x)3xln 3，g(x)，利用函数差的求导法则可得(3xlg x)f(x)g(x)3xln 3.规律方法本题是基本函数和(差)的求导问题，求导过程要紧扣求导法则，联系基本函数求导法则，对于不具备求导法则结构形式的可先进行适当的恒等变形转化为较易求导的结构形式再求导数跟踪演练1求下列函数的导数：(1)y54x3；(2)y3x2xcos x；(3)yexln x；(4)ylg x.解(1)y12x2；(2)y(3x2xcos x)6xcos xxsin x；(3)yexln x；(4)y.要点二求复合函数的导数例2求下列函数的导数：(1)yln(x2)；(2)y(1sin x)2；解(1)yln u，ux2yxyuux(ln u)(x2)1.(2)yu2，u1sin x，yxyuux(u2)(1sin x)2ucos x2cos x(1sin x)规律方法应用复合函数的求导法则求导，应注意以下几个方面：(1)中间变量的选取应是基本函数结构(2)正确分析函数的复合层次，并要弄清每一步是哪个变量对哪个变量的求导(3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导(4)善于把一部分表达式作为一个整体(5)最后要把中间变量换成自变量的函数熟练后，就不必再写中间步骤跟踪演练2(1)ye2x1；(2)y(2)2.解(1)yeu，u2x1，yxyuux(eu)(2x1)2eu2e2x1.(2)法一y(2)2x44，yx(4)414x1.法二令u2，则yxyuux2(2)(2)2(2)1.要点三导数的应用例3求过点(1，1)与曲线f(x)x32x相切的直线方程解设p(x0，y0)为切点，则切线斜率为kf(x0)3x2故切线方程为yy0(3x2)(xx0)(x0，y0)在曲线上，y0x2x0又(1，1)在切线上，将式和(1，1)代入式得1(x2x0)(3x2)(1x0)解得x01或x0.故所求的切线方程为y1x1或y1(x1)即xy20或5x4y10.规律方法(1，1)虽然在曲线上，但是经过该点的切线不一定只有一条，即该点有可能是切点，也可能是切线与曲线的交点，解题时注意不要失解跟踪演练3已知某运动着的物体的运动方程为s(t)2t2(位移单位：m，时间单位：s)，求t3 s时物体的瞬时速度解s(t)2t22t22t2，s(t)24t，s(3)12，即物体在t3 s时的瞬时速度为 m/s.1下列结论不正确的是()a若y3，则y0b若f(x)3x1，则f(1)3c若yx，则y1d若ysin xcos x，则ycos xsin x答案d解析利用求导公式和导数的加、减运算法则求解d项，ysin xcos x，y(sin x)(cos x)cos xsin x.2函数y的导数是()a. bc d答案c解析y.3曲线y在点(1，1)处的切线方程为()ay2x1 by2x1cy2x3 dy2x2答案a解析y，ky|x12，切线方程为y12(x1)，即y2x1.4直线yxb是曲线yln x(x0)的一条切线，则实数b_.答案ln 21解析设切点为(x0，y0)， y，x02，y0ln 2，ln 22b，bln 21.求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.一、基础达标1设y2exsin x，则y等于()a2excos x b2exsin xc2exsin x d2ex(sin xcos x)答案d解析y2(exsin xexcos x)2ex(sin xcos x)2当函数y(a0)在xx0处的导数为0时，那么x0()aa ba ca da2答案b解析y，由xa20得x0a.3设曲线y在点(3,2)处的切线与直线axy10垂直，则a等于()a2 bc d2答案d解析y1，y.y|x3.a2，即a2.4已知曲线yx3在点p处的切线斜率为k，则当k3时的p点坐标为()a(2，8) b(1，1)或(1,1)c(2,8) d答案b解析y3x2，k3，3x23，x1，则p点坐标为(1，1)或(1,1)5设函数f(x)g(x)x2，曲线yg(x)在点(1，g(1)处的切线方程为y2x1，则曲线yf(x)在点(1，f(1)处切线的斜率为_答案4解析依题意得f(x)g(x)2x，f(1)g(1)24.6已知f(x)x33xf(0)，则f(1)_.答案1解析由于f(0)是一常数，所以f(x)x23f(0)，令x0，则f(0)0，f(1)123f(0)1.7求下列函数的导数：(1)y(2x23)(3x1)；(2)yxsin cos .解(1)法一y(2x23)(3x1)(2x23)(3x1)4x(3x1)3(2x23)18x24x9.法二y(2x23)(3x1)6x32x29x3，y(6x32x29x3)18x24x9.(2)yxsin cos xsin x，yx1cos x.二、能力提升8曲线y在点m处的切线的斜率为()a bc d答案b解析y，故y|，曲线在点m处的切线的斜率为.9已知点p在曲线y上，为曲线在点p处的切线的倾斜角，则的取值范围是()a0，) b，)c(， d，)答案d解析y，设tex(0，)，则y，t2，y1,0)，)10(2013江西)设函数f(x)在(0，)内可导，且f(ex)xex，则f(1)_.答案2解析令tex，则xln t，所以函数为f(t)ln tt，即f(x)ln xx，所以f(x)1，即f(1)12.11求过点(2,0)且与曲线yx3相切的直线方程解点(2,0)不在曲线yx3上，可令切点坐标为(x0，x)由题意，所求直线方程的斜率ky|xx03x，即3x，解得x00或x03.当x00时，得切点坐标是(0,0)，斜率k0，则所求直线方程是y0；当x03时，得切点坐标是(3,27)，斜率k27，则所求直线方程是y2727(x3)，即27xy540.综上，所求的直线方程为y0或27xy540.12已知曲线f(x)x33x，过点a(0,16)作曲线f(x)的切线，求曲线的切线方程解设切点为(x0，y0)，则由导数定义得切线的斜率kf(x0)3x3，切线方程为y(3x3)x16，又切点(x0，y0)在切线上，y03(x1)x016，即x3x03(x1)x016，解得x02，切线方程为9xy160.三、探究与创新13设函数f(x)ax，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为7x4y120.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形的面积为定值，并求此定值(1)解由7x4y120得yx3.当x2时，y，f(2)，又f(x)a，f(2)，由，得解之得.故f(x)x.(2)证明设p(x0，y0)为曲线上任一点，由y1知曲线在点p(x0，y0)处的切线方程为yy0(xx0)，即y(xx0)令x0得y，从而得切线与直线x0的交点坐标为.令yx得yx2x0，从而得切线与直线yx的交点坐标为(2x0,2x0)所以点p(x0，y0)处的切线与直线x0，yx所围成的三角形面积为6.故曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0，yx所围成的三角形的面积为定值，此定值为6. 12导数的计算12.1几个常用函数的导数12.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)学习目标1能根据定义求函数yc(c为常数)，yx，yx2，y，y的导数2能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数知识链接在前面，我们利用导数的定义能求出函数在某一点处的导数，那么能不能利用导数的定义求出比较简单的函数及基本函数的导数呢？类比用导数定义求函数在某点处导数的方法，如何用定义求函数yf(x)的导数？答(1)计算，并化简；(2)观察当x趋近于0时，趋近于哪个定值；(3)趋近于的定值就是函数yf(x)的导数预习导引1几个常用函数的导数原函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)xf(x)1f(x)x2f(x)2xf(x)f(x)f(x)f(x)2基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)x(q*)f(x)x1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)axf(x)axln_a(a0，且a1)f(x)exf(x)exf(x)logaxf(x)(a0，且a1)f(x)ln xf(x)要点一利用导数定义求函数的导数例1用导数的定义求函数f(x)2 013x2的导数解f(x) (4 026x2 013x)4 026x.规律方法解答此类问题，应注意以下几条：(1)严格遵循“一差、二比、三取极限”的步骤(2)当x趋于0时，kx(kr)、(x)n(nn*)等也趋于0.(3)注意通分、分母(或分子)有理化、因式分解、配方等技巧的应用跟踪演练1用导数的定义求函数yx2axb(a，b为常数)的导数解y (2xax)2xa.要点二利用导数公式求函数的导数例2求下列函数的导数(1)ysin ；(2)y5x；(3)y；(4)y；(5)ylog3x.解(1)y0；(2)y(5x)5xln 5；(3)y(x3)3x4；(4)yx；(5)y(log3x).规律方法求简单函数的导函数的基本方法：(1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式跟踪演练2求下列函数的导数：(1)yx8；(2)yx；(3)yx；(4)ylogx.解(1)y8x7；(2)yxln xln 2；(3)yxx，yx；(4) y.要点三利用导数公式求曲线的切线方程例3求过曲线ysin x上点p且与过这点的切线垂直的直线方程解ysin x，ycos x，曲线在点p处的切线斜率是：y|xcos.过点p且与切线垂直的直线的斜率为，故所求的直线方程为y，即2xy0.规律方法导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率；相互垂直的直线斜率乘积等于1是解题的关键跟踪演练3已知点p(1,1)，点q(2,4)是曲线yx2上的两点，求与直线pq平行的曲线yx2的切线方程解y(x2)2x，设切点为m(x0，y0)，则y|xx02x0，又pq的斜率为k1，而切线平行于pq，k2x01，即x0，所以切点为m.所求的切线方程为yx，即4x4y10.1已知f(x)x2，则f(3)()a0 b2x c6 d9答案c解析f(x)x2，f(x)2x，f(3)6.2函数f(x)，则f(3)等于()a. b0 c d答案a解析f(x)()，f(3).3设正弦曲线ysin x上一点p，以点p为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是()a. b0，)c d答案a解析(sin x)cos x，klcos x，1kl1，l.4曲线yex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为_答案e2解析y(ex)ex，ke2，曲线在点(2，e2)处的切线方程为ye2e2(x2)，即ye2xe2.当x0时，ye2，当y0时，x1.s1e2.1利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归2有些函数可先化简再应用公式求导如求y12sin2的导数因为y12sin2cos x，所以y(cos x)sin x.3对于正、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化.一、基础达标1下列结论中正确的个数为()yln 2，则y；y，则y|x3；y2x，则y2xln 2；ylog2x，则y.a0 b1 c2 d3答案d解析yln 2为常数，所以y0.错正确2过曲线y上一点p的切线的斜率为4，则点p的坐标为()a. b或c d答案b解析y4，x，故选b.3已知f(x)xa，若f(1)4，则a的值等于()a4 b4 c5 d5答案a解析f(x)axa1，f(1)a(1)a14，a4.4函数f(x)x3的斜率等于1的切线有()a1条 b2条 c3条 d不确定答案b解析f(x)3x2，设切点为(x0，y0)，则3x1，得x0，即在点和点处有斜率为1的切线5曲线y在点m(3,3)处的切线方程是_答案xy60解析y，y|x31，过点(3,3)的斜率为1的切线方程为：y3(x3)即xy60.6若曲线yx在点处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a_.答案64解析yx，yx，曲线在点处的切线斜率ka，切线方程为yaa(xa)令x0得ya；令y0得x3a.该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为s3aaa18，a64.7求下列函数的导数：(1) y；(2)y；(3)y2sin ；(4)ylog2x2log2x.解(1)yx1x.(2)y(x4)4x414x5.(3)y2sin2sin 2sin cos sin x，y(sin x)cos x.(4)ylog2x2log2xlog2x，y(log2x).二、能力提升8已知直线ykx是曲线yex的切线，则实数k的值为()a. b ce de答案d解析yex，设切点为(x0，y0)，则ex0ex0x0，x01，ke.9曲线yln x在xa处的切线倾斜角为，则a_.答案1解析y，y|xa1，a1.10点p是曲线yex上任意一点，则点p到直线yx的最小距离为_答案解析根据题意设平行于直线yx的直线与曲线yex相切于点(x0，y0)，该切点即为与yx距离最近的点，如图则在点(x0，y0)处的切线斜率为1，即y|xx01.y(ex)ex，ex01，得x00，代入yex，得y01，即p(0,1)利用点到直线的距离公式得距离为.11已知f(x)cos x，g(x)x，求适合f(x)g(x)0的x的值解f(x)cos x，g(x)x，f(x)(cos x)sin x，g(x)x1，由f(x)g(x)0，得sin x10，即sin x1，但sin x1,1，sin x1，x2k，kz.12已知抛物线yx2，直线xy20，求抛物线上的点到直线的最短距离解根据题意可知与直线xy20平行的抛物线yx2的切线，对应的切点到直线xy20的距离最短，设切点坐标为(x0，x)，则y|xx02x01，所以x0，所以切点坐标为，切点到直线xy20的距离d，所以抛物线上的点到直线xy20的最短距离为.三、探究与创新13设f0(x)sin x，f1(x)f0(x)，f2(x)f1(x)，fn1(x)fn(x)，nn，试求f2 014(x)解f1(x)(sin x)cos x，f2(x)(cos x)sin x，f3(x)(sin x)cos x，f4(x)(cos x)sin x，f5(x)(sin x)f1(x)，f6(x)f2(x)，fn4(x)fn(x)，可知周期为4，f2 014(x)f2(x)sin x1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)学习目标1理解函数的和、差、积、商的求导法则2理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数3能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导知识链接前面我们已经学习了几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式，这样做起题来比用导数的定义显得格外轻松我们已经会求f(x)5和g(x)1.05x等基本初等函数的导数，那么怎样求f(x)与g(x)的和、差、积、商的导数呢？答利用导数的运算法则预习导引1导数运算法则法则语言叙述f(x)g(x)f(x)g(x)两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数(g(x)0)两个函数的商的导数，等于分子的导数乘上分母减去分子乘上分母的导数，再除以分母的平方2复合函数的求导法则复合函数的概念一般地，对于两个函数yf(u)和ug(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为yf(u)和ug(x)的复合函数，记作yf(g(x)复合函数的求导法则复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积要点一利用导数的运算法则求函数的导数例1求下列函数的导数：(1) yx32x3； (2)y(x21)(x1)；(3)y3xlg x.解(1)y(x3)(2x)33x22.(2)y(x21)(x1)x3x2x1，y(x3)(x2)x13x22x1.(3)函数y3xlg x是函数f(x)3x与函数g(x)lg x的差由导数公式表分别得出f(x)3xln 3，g(x)，利用函数差的求导法则可得(3xlg x)f(x)g(x)3xln 3.规律方法本题是基本函数和(差)的求导问题，求导过程要紧扣求导法则，联系基本函数求导法则，对于不具备求导法则结构形式的可先进行适当的恒等变形转化为较易求导的结构形式再求导数跟踪演练1求下列函数的导数：(1)y54x3；(2)y3x2xcos x；(3)yexln x；(4)ylg x.解(1)y12x2；(2)y(3x2xcos x)6xcos xxsin x；(3)yexln x；(4)y.要点二求复合函数的导数例2求下列函数的导数：(1)yln(x2)；(2)y(1sin x)2；解(1)yln u，ux2yxyuux(ln u)(x2)1.(2)yu2，u1sin x，yxyuux(u2)(1sin x)2ucos x2cos x(1sin x)规律方法应用复合函数的求导法则求导，应注意以下几个方面：(1)中间变量的选取应是基本函数结构(2)正确分析函数的复合层次，并要弄清每一步是哪个变量对哪个变量的求导(3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导(4)善于把一部分表达式作为一个整体(5)最后要把中间变量换成自变量的函数熟练后，就不必再写中间步骤跟踪演练2(1)ye2x1；(2)y(2)2.解(1)yeu，u2x1，yxyuux(eu)(2x1)2eu2e2x1.(2)法一y(2)2x44，yx(4)414x1.法二令u2，则yxyuux2(2)(2)2(2)1.要点三导数的应用例3求过点(1，1)与曲线f(x)x32x相切的直线方程解设p(x0，y0)为切点，则切线斜率为kf(x0)3x2故切线方程为yy0(3x2)(xx0)(x0，y0)在曲线上，y0x2x0又(1，1)在切线上，将式和(1，1)代入式得1(x2x0)(3x2)(1x0)解得x01或x0.故所求的切线方程为y1x1或y1(x1)即xy20或5x4y10.规律方法(1，1)虽然在曲线上，但是经过该点的切线不一定只有一条，即该点有可能是切点，也可能是切线与曲线的交点，解题时注意不要失解跟踪演练3已知某运动着的物体的运动方程为s(t)2t2(位移单位：m，时间单位：s)，求t3 s时物体的瞬时速度解s(t)2t22t22t2，s(t)24t，s(3)12，即物体在t3 s时的瞬时速度为 m/s.1下列结论不正确的是()a若y3，则y0b若f(x)3x1，则f(1)3c若yx，则y1d若ysin xcos x，则ycos xsin x答案d解析利用求导公式和导数的加、减运算法则求解d项，ysin xcos x，y(sin x)(cos x)cos xsin x.2函数y的导数是()a. bc d答案c解析y.3曲线y在点(1，1)处的切线方程为()ay2x1 by2x1cy2x3 dy2x2答案a解析y，ky|x12，切线方程为y12(x1)，即y2x1.4直线yxb是曲线yln x(x0)的一条切线，则实数b_.答案ln 21解析设切点为(x0，y0)， y，x02，y0ln 2，ln 22b，bln 21.求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.一、基础达标1设y2exsin x，则y等于()a2excos x b2exsin xc2exsin x d2ex(sin xcos x)答案d解析y2(exsin xexcos x)2ex(sin xcos x)2当函数y(a0)在xx0处的导数为0时，那么x0()aa ba ca da2答案b解析y，由xa20得x0a.3设曲线y在点(3,2)处的切线与直线axy10垂直，则a等于()a2 bc d2答案d解析y1，y.y|x3.a2，即a2