高中数学 第3章 概率 3.2 古典概型互动课堂学案 苏教版必修3.doc

3.2古典概型互动课堂疏导引导1.基本事件 基本事件是指在一次试验中可能出现的每一个基本结果.若在一次试验中,每个基本事件发生的可能性相同,则称这些基本事件为等可能基本事件. 例如：在掷硬币试验中,必然事件由基本事件“正面朝上”和“反面朝上”组成；在掷骰子试验中,随机事件“出现偶数点”可以由基本事件“2点”“4点”和“6点”共同组成.案例1 从含有两件正品a1,a2和一件次品b1的3件产品中每次任取1件,每次取出后不放回,连续取两次.（1）写出这个试验的基本所有事件；（2）下列随机事件由哪些基本事件构成： 事件a：取出的两件产品都是正品； 事件b：取出的两件产品恰有1件次品.【探究】(1)基本事件（a1,a2）,(a1,b1),(a2,a1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2)共有6个基本事件.（2）事件a包含2个基本事件（a1,a2）,(a2,a1).事件b包含4个基本事件（a1,b1）,(b1,a1),(a2,b1)(b1,a2).规律总结 (1)在求基本事件时,一定要注意结果的机会是均等的,这样不会漏写.其次要按规律去写.（2）在这个试验中（a1,a2）和（a2,a1）,(a1,b1)和（b1,a1）,(a2,b1)和（b1,a2）是不同的基本事件,在取第1件产品时,a1,a2,b1被取到的机会一样,假设第一次取出a1,那么第2次取时,a2,b1的机会也是一样的.2.古典概型的定义 古典概型是指具有以下两个特点的随机试验的概率模型称为古典概型：（1）所有的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件的发生都是等可能的.疑难疏引 （1）一个试验是否为古典概型,在于这个试验是否具有古典概型的两个特征有限性和等可能性.并不是所有的试验都是古典概型,例如在适宜的条件下“种下一粒种子观察它是否发芽”,这个试验的基本事件为“发芽”,“不发芽”,而种子“发芽”与“不发芽”这两种结果出现的机会一般不是均等的,这个试验就不属于古典概型.(2)古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征,所以求事件的概率就可以不通过大量的重复试验,而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可.3.古典概型概率的计算 如果一次试验的等可能基本事件共有n个,则每一个等可能事件发生的概率为.若某个事件a包含了其中m个等可能事件,则事件a发生的概率为p（a）=.疑难疏引 （1）古典概型概率的取值范围 在古典概型中,若基本事件的总数为n,某个事件a包含了其中m个基本等可能事件,则必有0mn,所以事件a发生的概率的取值范围是0p(a)1.其中,当m=0时,事件a是不可能事件,它发生的概率为0,当m=n时,事件a是必然事件,它发生的概率是1,当0mn时,事件a是随机事件,此时它发生的概率的取值范围是0p(a)1.（2）解决古典概型的问题的关键是分清基本事件个数n与事件a中所包含的结果数,因此要注意以下三个方面：本试验是否具有等可能性；本试验的基本事件有多少个；事件a是什么.只有清楚了这三个方面的问题,解题才不至于出错.（3）求古典概率应按下面四个步骤进行： 第一,仔细阅读题目,弄清题目的背景材料,加深理解题意. 第二,判断本试验的结果是否为等可能事件,设出所求事件a. 第三,分别求出基本事件的个数n与所求事件a中所包含的基本事件个数m. 第四,利用公式p（a）=求出事件a的概率. 可见在运用公式计算时,关键在于求出m、n.在求n时,应注意这n种结果必须是等可能的,在这一点上比较容易出错.例如,先后抛掷两枚均匀的硬币,共出现“正,正”“正,反”“反,正”“反,反”这四种等可能的结果.如果认为只有“两个正面”“两个反面”“一正一反”这三种结果,那么显然这三种结果不是等可能的.在乘m时,可利用列举法或者结合图形采取了列举的方法,数出事件a发生的结果数.（4）用集合的观点去审视概率 在一次试验中,等可能出现的n（例如n=5）个结果可组成一个集合i,这n个结果就是集合i的n个元素.各个基本事件都对应于集合i的含有1个元素的子集,包含m（例如m=3）个结果的事件a对应于i的含有m个元素的子集a. 从集合的角度看,事件a的概率是i的子集a的元素个数card（a）与集合i的元素个数card(i)的比值,即p（a）=(例如).案例2 抛掷两颗骰子,求（1）点数之和是4的倍数的概率；（2）点数之和大于5小于10的概率.【探究】抛掷两颗骰子,基本事件总数为36.但所求事件的基本事件个数不易把握,很容易出现遗漏或重复,故可借助直观图形,以便更准确地把握基本事件个数. 作图,从下图中容易看出基本事件与所描点一一对应,共36种.(1)记“点数之和是4的倍数”的事件为a,从图中可以看出,事件a包含的基本事件共有9个：（1,3）,（2,2）,（3,1）,（2,6）,（3,5）,（4,4）,（5,3）,（6,2）,（6,6）.所以,p（a）=.（2）记“点数之和大于5小于10”为事件b,从图中可以看出,事件b包含的基本事件共有20个,即（1,5）,（2,4）,（3,3）,（4,2）,（5,1）,（1,6）,（2,5）,（3,4）,（4,3）,（5,2）,（6,1）,（2,6）,（3,5）,（4,4）,（5,3）,（6,2）,（3,6）,（4,5）,（5,4）,（6,3）. 所以p（b）=.规律总结 （1）计算这种概率一般要遵循这样的步骤：算出基本事件的总个数n ；算出事件a中包含的基本事件的个数m；算出事件a的概率,即p（a）=.应注意这种结果必须是等可能的.（2）在求概率时,常常可以把全体基本事件用直角坐标系中的点表示,以便准确地找出某事件所含的基本事件个数.案例3 一个口袋内有大小相等的一个白球和已编有不同号码的3个黑球.(1)若从中摸出一球后放回,再摸一球,求两次摸出的球都是黑球的概率.(2)若从中一次摸出2球,求2球都是黑球的概率.【探究】(1)第一次摸球有4种不同的结果,每一种结果是等可能的,第二次摸球也有4种不同的结果,每一种结果也是等可能的,所以共有44=16种不同的结果.这16种结果是等可能的,所以一次试验是古典概型,它的基本事件总数为16. 第一次摸出黑球有3种不同的结果,第二次摸出黑球也有3种不同的结果,故摸出的球都是黑球的基本事件数为33=9,设a=“有放回摸2球的黑球”,则p（a）=.（2）一次摸出2球,可以看作不放回抽样2次. 第一次抽取有4种不同的结果,第二次抽取有3种不同的结果,且它们都是等可能的,所以一次试验共有43=12种不同的结果,并且是等可能的,是古典概型.共有12个基本事件. 第一次摸出黑球有3种结果,第二次摸出黑球有2种不同的结果,故摸出的2球,都是黑球的基本事件数为32=6. 设b=“一次摸出2时为黑球”,则p（b）=.规律总结 (1)为有放回抽取问题,此类问题每次抽取的球可以重复,每次抽取的结果个数相同,可以无限地进行下去.（2）是不放回抽取问题,此类问题每次摸出的球不出现重复,每次抽取的结果个数不同,只能抽取有限次.案例4 甲、乙两人做掷骰子游戏,两人各掷一次,谁掷得的点数多谁就取胜,求甲取胜的概率.【探究】首先列举出所有可能的基本事件,列出所求事件包含的基本事件,再根据古典概型的概率公式进行计算.解法一:甲将骰子抛掷一次,出现的点数有1、2、3、4、5、6这6种结果,对甲掷得的每个结果,乙又掷得点数分别为1、2、3、4、5、6这6种结果,于是共有66=36种不同的结果.把甲掷得i点,乙掷得j点（1i,j6）记为（i,j）. 事件“甲取胜”包含下列15种结果：（2,1）,（3,1）,（3,2）,（4,1）,（4,2）,（4,3）,（5,1）,（5,2）,（5,3）,（5,4）,（6,1）,（6,2）,（6,3）,（6,4）,（6,5）. 故甲取胜的概率为=.解法二：两人掷出相同的点数有（1,1）,（2,2）,（3,3）,（4,4）,（5,5）,（6,6）六种结果,“甲掷得的点数比乙多”与“乙掷得的点数比甲多”是等可能性事件,都有=15种结果.故甲取胜的概率为=.规律总结 掷骰子是典型的题型,本题与解析几何知识相联系,在如下图所示的直角坐标系中,若x表示甲掷得的点数,y表示乙掷得的点数,本题实质就是求点（x,y）落在直线y=x下方的概率.活学巧用1.写出下列试验的基本事件：（1）甲、乙两队进行一场足球赛,观察甲队比赛结果（包括平局）_；（2）从含有6件次品的50件产品中任取4件,观察其中次品数_.答案：（1）胜、平、负（2）0,1,2,3,42.连续掷3枚硬币,观察落地后这3枚硬币出现的正面还是反面.（1）写出这个试验的所有基本事件；（2）求这个试验的基本事件的总数；（3）“恰有两枚正面向上”这一事件包含哪几个基本事件？解析：（1）这个试验的基本事件（正,正,正）,（正,正,反）,（正,反,正）,（正,反,反）,（反,正,正）,（反,正,反）,（反,反,正）（反,反,反）.（2）基本事件的总数是8.（3）“恰有两枚正面向上”包含以下3个基本事件：（正,正,反）,（正,反,正）,（反,正,正）.3.作投掷2颗骰子试验,用（x,y）表示结果,其中x表示第1颗骰子出现的点数,y表示第2颗骰子出现的点数,写出：（1）事件“出现点数之和大于8”；（2）事件“出现点数相等”；（3）事件“出现点数之和大于10”.解析：（1）（3,6）,（4,5）,（4,6）,（5,4）,（5,5）,（5,6）,（6,3）,（6,4）,（6,6）.（2）（1,1）,（2,2）,（3,3）,（4,4）,（5,5）,（6,6）.（3）（5,6）,（6,5）,（6,6）.4.下列试验中,是古典概型的有（ ）a.种下一粒种子观察它是否发芽b.从规格直径为250 mm0.6 mm的一批合格产品中任意抽一根,测量其直径dc.抛一枚硬币,观察其出现正面或反面d.某人射击中靶或不中靶解析：c项中试验满足古典概型的两个特征有限性和等可能性.答案：c5.向一圆面内随机地投一个点,如果该点落在圆内任意一点都是等可能的,你认为这是古典概型吗？为什么？解析：不是古典概型.因为该试验虽具有古典概型的特征等可能性,但不具有有限性,而具有无限性.6.同时掷相同的两枚硬币, 观察正、反面出现的情况,这个试验的基本事件为（正,正）,（正,反）,（反,反）,它共有3个基本事件,故出现（正,正）的概率是.这个题目解法是否正确.解析：基本事件为（正,正）,（正,反）,（反,正）,（反,反）,它有4个基本事件,故出现（正,正）的概率为.答案：不正确7.将1枚硬币抛2次,恰好出现1次正面的概率是（ ）a. b. c. d.0解析：抛2次恰好出现1次正面包含2个基本事件,这个试验的基本事件总数为4,恰好出现1次正面的概率是.答案：a8.据人口普查统计,育龄妇女生男生女是等可能的,如果允许生育二胎,则某一育龄妇女两胎均是女孩的概率是（ ）a. b. c. d.解析：事件“该育龄妇女连生两胎”包含4个基本事件,即（男,男）、（男,女）、（女,男）、（女,女）,故两胎均为女孩的概率是.答案：c9.在一次问题抢答的游戏中,要求找出对每个问题所列出的4个答案中唯一正确的答案.其抢答者随意说出了其中一个问题的答案,这个答案恰好是正确答案的概率为（ ）a. b. c. d.解析：p=.答案：b10.一只口袋内装有大小相同的5只球,其中3只白球,2只黑球,从中一次摸出两只球.问：（1）共有多少个基本事件？（2）摸出的两只球都是白球的概率是多少？解析：（1）分别记白球为1,2,3号,黑球为4,5号,从中摸出2只球,有如下基本事件（摸到1,2号球用（1,2）表示）：（1,2）,（1,3）,（1,4）,（1,5）,（2,3）（2,4）,（2,5）,（3,4）,（3,5）,（4,5） 因此,共有10个基本事件.（2）如下图,上述10个基本事件发生的可能性相同,且只有3个基本事件是摸到两只白球（记为事件a）,即（1,2）,（1,3）,（2,3）,故p（a）=. 答：（1）共有10个基本事件；（2）摸出的两只球都是白球的概率为.11.将骰子先后抛掷2次,计算：（1）一共有多少种不同的结果？（2）其中向上的数之和是5的结果有多少种？（3）向上的数之和是5的概率是多少？分析：将骰子先后抛掷2次,实际上是分两个步骤完成,第一次抛掷骰子出现的点数有6种结果,第二次抛掷骰子出现的点数也有6种结果.只有将这两个步骤依次全部完成才算是将骰子先后抛掷两次这件事完成.因此将骰子先后抛掷两次试验的基本事件数为66=36.解：（1）将骰子抛掷1次,它落地时向上的数有1,2,3,4,5,6这6种结果,根据题意,先后将骰子抛掷2次,一共有66=36种不同的结果.（2）在上面所有结果中,向上的数之和为5的结果有（1,4）,（2,3）,（3,2）,（4,1）4种,其中括弧内的前、后两个数分别为第1、2次抛掷后向上的数.上面的结果可用下图表示,其中不在虚线框内的各数为相应的2次抛掷后向上的数之和.（3）由于骰子是均匀的,将它抛掷2次的所有36种结果是等可能出现的,其中向上的数之和是5的结果（记为事件a）有4种,因此,所求的概率p（a）=. 答：先后抛掷骰子2次,一共有36种不同的结果；向上的数之和为5的结果有4种,概率是.12.有红、黄两种颜色的小旗各2面,从中任取2面挂在一根旗杆上,求：（1）2面旗子同色的概率；（2）2面旗子颜色各不相同的概率.解析：设两面红旗和两面黄旗分别记为红1、红2和黄1、黄2,则基本事件共有（红1,红2）,（红1,黄1）,（红2,黄1）,（红1,黄2）,（红2,黄2）,（黄1,黄2）计6个.（1）设2面旗子同色这一事件为a,则a为（红