高中数学 2.3.2 两个变量的线性相关教案 新人教B版必修3.doc

高中数学 2.3.2 两个变量的线性相关教案 新人教b版必修3教学分析由于用具体的例子来解释线性回归容易理解，所以建议以实际例子引入，让学生用散点图直观认识两个变量的相关关系，让学生尝试找到最佳的近似直线值得注意的是：求回归直线方程，通常是用计算器来完成的，在很多函数型科学计算器中，可通过直接按键得出线性回归方程的系数，教科书中给出了操作过程，而如果要用一般的科学计算器进行计算，则要先列出相应的表格三维目标1经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程，会建立线性回归方程2能利用回归方程估计变量的值，提高学生解决问题的能力3通过对数据的分析，增强学生的社会实践能力重点难点教学重点：会求线性回归方程，并进行线性回归分析，体会最小二乘法的思想教学难点：用最小二乘法求线性回归方程课时安排1课时导入新课思路1.根据一组观测到的数据确定变量x与y之间是线性相关关系，如果x取一个值，那么怎样估计变量y的值呢？教师点出课题思路2.如果散点图中各点在一条直线附近，那么这两个变量具有线性相关关系，那么怎样求出这条直线方程呢？教师点出课题推进新课变量x与y的散点图如下图所示，如果近似成线性关系的话，请画出一条直线来近似地表示这种线性关系同学们也可以自己尝试制定标准来画出近似直线，关键在于这一标准是否合理，是否能够得到最佳的近似直线(最优拟合直线)怎样确定a与b呢？写出求回归直线方程的算法讨论结果：根据不同的标准，可以画出不同的直线来近似表示这种线性相关关系，比如可以连接最左侧点和最右侧点得到一条直线(图1)，或者让画出的直线上方的点和下方的点数目相等(图2)。 图1 图2由图可见，所有数据点都分布在一条直线附近显然这样的直线还可以画出许多条，而我们希望找出其中的一条，它能最好地反映x与y之间的关系换言之，我们要找出一条直线，使这条直线“最贴近”已知的数据点记此直线方程为abx这里在y的上方加记号“y”，是为了区分y的实际值y，表示当x取值xi(i1,2，6)时，y相应的观察值为yi，而直线上对应于xi的纵坐标是iabxi.式叫做y对x的回归直线方程，b叫做回归系数，要确定回归直线方程，只要确定a与回归系数b.下面我们来研究回归直线方程的求法，设x，y的一组观察值为(xi，yi) i1,2，n，且回归直线方程为abx.当x取值xi(i1,2，n)时，y的观察值为yi，差yii(i1,2，n)刻画了实际观察值yi与回归直线上相应点纵坐标之间的偏离程度，如下图所示我们希望这n个离差构成的总离差越小越好，才能使所找的直线很贴近已知点一个自然的想法是把各个离差加起来作为总离差可是，由于离差有正有负，直接相加会相互抵消，这样就无法反映这些数据点的贴近程度，即这个总离差不能用n个离差之和(yii)来表示，通常是用离差的平方和，即q(yiabxi)2作为总离差，并使之达到最小这样，回归直线就是所有直线中q取最小值的那一条由于平方又叫二乘方，所以这种使“离差平方和为最小”的方法，叫做最小二乘法用最小二乘法求回归直线方程中的a，b有下面的公式：，其中a，b的上方加“y”，表示是由观察值按最小二乘法求得的估计值，也叫回归系数，求出后，回归直线方程就建立起来了算法：s1列表：序号xyx2xy123ns2计算，的值，s3写出回归直线方程x.思路1例1某小卖部6天卖出热茶的杯数与当天气温之间是线性相关的数据如下表：温度t/2618131041杯数y202434385064试用最小二乘法求出线性回归方程解：从散点图中可以看出，表中的两个变量是线性相关的先列表求出，其他数据如下表序号xyx2xy126206765202182432443231334169442410381003805450162006164164合计702301 2861 910进而，可以求得1.648，57.557.于是，线性回归方程为57.5571.648x.点评：利用求得的值，则有，所以求得的线性回归方程x必过点(，)变式训练假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y(万元)有如下的统计资料：使用年限x23456维修费用y2.23.85.56.57.0若由资料知y对x呈线性相关关系试求回归直线方程分析：因为y对x呈线性相关关系，所以可以用线性相关的方法解决问题利用公式：，来计算回归系数有时为了方便常制表对应出xiyi，x，以利于求和解：制表：序号12345合计x2345620y2.23.85.56.57.025xy4.411.422.032.542.0112.3x249162536904，5，90，iyi112.3于是有1.23，51.2340.08.所以回归直线方程是1.23x0.08.例2在某种产品表面进行腐蚀刻线试验，得到腐蚀深度y与腐蚀时间x之间相应的一组观察值如下表：x/s5101520304050607090120y/m610101316171923252946(1)画出表中数据的散点图；(2)求y对x的回归直线方程；(结果保留到小数点后3位数字)(3)试预测腐蚀时间为100 s时腐蚀深度是多少分析：利用回归直线方程预测腐蚀时间为100 s时腐蚀深度解：(1)散点图如下图(2)根据公式求腐蚀深度y对腐蚀时间x的回归直线方程的步骤如下：.先把数据列成表序号xyx2xy156253021010100100315102251504201340026053016900480640171 600680750192 500950860233 6001 380970254 9001 7501090298 1002 610111204614 4005 52051021436 75013 910.计算，的值由上表分别计算x，y的平均数得，.代入公式得(注意：不必把，化为小数，以减小误差)0.304 30.3040.304 35.346.写出回归直线方程腐蚀深度y对腐蚀时间x的回归直线方程为0.304x5.346.这里的回归系数0.304，它的意义是：腐蚀时间x每增加一个单位(s)，深度y平均增加0.304个单位(m)(3)根据上面求得的回归直线方程，当腐蚀时间为100 s时，0.3041005.34635.86(m)，即腐蚀深度大约是35.86 m.点评：利用回归直线方程可以对总体进行预测，值得注意的是得出的回归直线方程并不是函数解析式.变式训练高三一班学生每周用于数学学习的时间x(单位：h)与数学成绩y(单位：分)之间有如下数据：x/h24152319161120161713y/分92799789644783687159某同学每周用于数学学习的时间为18小时，试预测该生数学成绩分析：两个有相关关系的变量间的关系可以用线性回归方程来表示，对总体的预测可由回归直线方程来解决解：利用计算器求得3.53，13.48，因此可求得回归直线方程为3.53x13.48，当x18时，3.531813.4877.故该同学预计可得77分左右.思路2例1给出施化肥量对水稻产量影响的试验数据：施化肥量x15202530354045水稻产量y330345365405445450455 (1)画出上表的散点图；(2)求出回归直线的方程解：(1)散点图如下图(2)计算得4.75，257.从而得回归直线方程是2574.75x.变式训练一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间为此进行了10次试验，测得数据如下：零件个数x/个102030405060708090100加工时间y/分626875818995102108115122请判断y与x是否具有线性相关关系，如果y与x具有线性相关关系，求线性回归方程解：在直角坐标系中画出数据的散点图，如下图.直观判断散点在一条直线附近，故具有线性相关关系由测得的数据表可知：0.668，54.96.因此，所求线性回归方程为x54.960.668x.2设对变量x，y有如下观察数据：x151152153154156157158160160162163164y40414141.54242.5434445454645.5使用函数型计算器求y对x的回归直线方程(结果保留到小数点后3位数字)解：按键 (进入线性回归计算状态) (将计算器存储器设置成初始状态)151 40 152 41 153 41 154 41.5 156 42 157 42.5 158 43 160 44 160 45 162 45 163 46 164 45.5 继续按下表按键按键显示结果 svar 27.75938967 svar 0.449530516即27.759，0.450.所以y对x的回归直线方程为0.450x27.759.点评：利用计算器求回归直线方程非常方便.变式训练下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料.机动车辆数x/千台95110112120129135150180交通事故数y/千件6.27.57.78.58.79.810.213(1)请判断机动车辆数与交通事故数之间是否有线性相关关系，如果不具有线性相关关系，请说明理由；(2)如果具有线性相关关系，求出线性回归方程解：(1)在直角坐标系中画出数据的散点图，如下图直观判断散点在一条直线附近，故具有线性相关关系(2)计算得0.077 4，1.024 1，所以，所求线性回归方程为1.024 10.077 4x.1已知10只狗的血球体积及红血球数的测量值如下：血球体积x/ml45424648423558403950红血球数y/百万6.536.309.527.506.995.909.496.206.558.72(1)画出上表的散点图；(2)求出回归直线的方程2以下是收集到的新房屋销售价格y与房屋大小x的数据：房屋大小x/m280105110115135销售价格y/万元18.42221.624.829.2(1)画出数据的散点图；(2)用最小二乘法估计求线性回归方程参考答案：1解：(1)散点图如下图所示(2)(45424648423558403950)44.50，(6.536.309.527.506.995.909.496.206.558.72)7.37.设回归直线方程为x，则0.175，0.418，所以所求回归直线的方程为0.4180.175x.2解：(1)散点图如下图(2)计算得0.196 2，1.816 6，所以，线性回归方程为1.816 60.196 2x.某调查者从调查中获知某公司近年来科研费用支出x与公司所获得利润y的统计资料如下表：科研费用支出x与利润y统计表单位：万元年份科研费用支出利润1998531199911402000430200153420023252003220合计30180要求估计利润y对科研费用支出x的线性回归模型解：设线性回归模型直线方程为x，因为5，30，求解、的估计值：2，20.所以利润y对科研费用支出x的线性回归模型直线方程为202x.1求线性回归方程2经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程本节练习b 1、2.本节课在上节课的基础上，利用实例分析了散点图的分布规律，推导出了线性回归直线的方程的求法，并利用回归直线的方程估计可能的结果，本节课讲得较为详细，实例较多，便于同学们分析比较本节课通过选取一些学生特别关心的身边事例，对学生进行思想情操教育、意志教育，使其养成良好的学习态度相关关系的强与弱我们知道，两个变量x、y正(负)相关时，它们就有相同(反)的变化趋势，即当x由小变大时，相应的y有由小(大)变大(小)的趋势，因此可以用回归直线来描述这种关系与此相关的一个问题是：如何描述x和y之间的这种线性关系的强弱？例如，物理成绩与数学成绩正相关，但数学成绩能够在多大程度上决定物理成绩？这就是相关强弱的问题，类似的还有吸烟与健康的负相关强度、父母身高与子女身高的正相关强度、农作物的产量与施肥量的正相关强度等统计中用相关系数r来衡量两个变量之间线性关系的强弱若相应于变量x的取值xi，变量y的观测值为yi(1in)，则两个变量的相关系数的计算公式为r.不相同的相关性可以从散点图上直观地反映出来图(1)反映了变量x、y之间很强的线性相关关系，而图(2)中的两个变量的线性相关程度很弱对于相关系数r，首先值得注意的是它的符号当r为正时，表明变量x、y正相关；当r为负时，表明变量x、y负相关反映在散点图上，图(1)中的变量x、y正相关，这时的r为正；图(2)中的变量x、y负相关，这时的r为负另一个值得注意的是r的大小统计学认为，对于变量x、y，如果r1，0.75，那么负相关很