高中数学 第一章 不等关系与基本不等式 4 不等式的证明第1课时学案 北师大版选修45.doc

4 不等式的证明 第1课时比较法、分析法1理解用比较法、分析法证明不等式的一般方法和步骤，并能证明具体的不等式2理解不等式证明方法的意义，并掌握不等式中取得等号的条件1比较法(1)求差比较法理论依据：ab_；ab_证明步骤：_变形_得出结论(2)求商比较法理论依据：b0，1_；b0，1_证明步骤：_变形_【做一做11】已知x，yr，mx2y21，nxyxy，则m与n的大小关系是()amn bmn cmn d不能确定【做一做12】设m1，p，q，则p与q的大小关系是_2分析法(1)定义：从_出发，分析使此不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件_的问题，如果能够使这些充分条件都具备，那么就可以断定原不等式成立，这种证明方法叫做_(2)思路：“执果索因”的证明方法，即从_出发，不断地用充分条件来代替前面的不等式，直到_为止【做一做2】若ab1，求证：2答案：1(1)ab0ab0作差定号(2)abab作商判断与1的大小关系【做一做11】amnx2y21(xyxy)(x2y22xy)(x22x1)(y22y1)(xy)2(x1)2(y1)20mn【做一做12】pqp0，q0，1，pq2(1)所要证明的结论是否成立分析法(2)求证的不等式找到已知不等式【做一做2】分析：利用分析法来考虑，容易找到证明思路证明：要证2，即证24，即证ab124ab1，故就是要证1，即证ab(ab)1，即证ab，只需证ab2，也就是只需2aba2b2成立，这显然是成立的故原不等式成立1比较大小关系的一般方法剖析：比较大小关系的一般方法是求差或求商比较法可以先用特殊值赋值的方法对最后的结果进行预测，再进行比较还有一类较为特殊的比较大小的问题，如数列问题中，两个数或代数式的大小可能会随一些变量或参数的不同范围而发生变化，这就要注意对相关问题的讨论，大小关系一定或不一定，首先应判断2求商比较法中的符号问题剖析：在求商比较法中，1ba是不正确的，这与a，b的符号有关，比如若a，b0，由1，可得ba，但若a，b0，由1，可得ba，所以在求商比较法中，要对a，b的符号作出判断对于此类问题，分为含参数变量类的和大小固定的，因而可以通过特殊值的方法先进行一定的猜测，进而再给出推理或证明过程题型一用求差比较法证明不等式【例1】已知a，br，且ab1，求证：ax2by2(axby)2分析：利用的步骤去证明反思：利用比较法来证明不等式时，为了说明差式的符号，有下列三种常用的方法：将差式分解因式；将差式通过配方写成一些正(负)数的和；构造新函数，证明函数恒正或恒负题型二用求商比较法证明不等式【例2】已知a1，求证：分析：因为a1，所以不等式两边都大于0，可考虑用求商比较法比较大小反思：根据左、右两边都含无理根号的特点，也可以采取两边平方的方法来比较，但是应先判断两边的符号，都大于0时，两边平方是等价变形，否则要改变不等号方向题型三用分析法证明不等式【例3】已知，且，求证：tan tan 2tan分析：本题证明关系比较复杂，直接证明不易观察出因果关系，因此可以用分析法去找出证明思路反思：利用分析法论证“若a则b”这个命题的模式是：欲证命题b为真，只需证明命题b1为真，从而又只需证明命题b2为真，从而又只需证明命题a为真，又已知a为真，故b为真可简写成bb1b2bna题型四易错辨析【例4】设ab0，n为偶数，求证：错解：n为偶数，(ab)n0又anbn和an1bn1同号，0，错因分析：由ab0可知a，b同正，也可以存在一正一负的情况，上面错解没有考虑这种情况，并且等号的取得也没有考虑反思：在证明不等式的过程中，充分挖掘条件，利用条件是关键，特别是“等号”是否成立的条件的判断上要特别注意答案：【例1】证明：ab1，ax2by2(axby)2ax2by2a2x22abxyb2y2a(1a)x2b(1b)y22abxyabx2aby22abxyab(xy)2又a，br，ab(xy)20，ax2by2(axby)2【例2】证明：a1，0，0，1，左边右边，即【例3】证明：欲证tan tan 2tan ，只需证，只需证，sin0又sin()2sincos，故只需证，只需证cos2cos cos ，即证cos cos ，即证1cos cos sin sin 2cos cos 只需证1cos()，结论显然成立故原不等式成立【例4】正解：当a0，b0时，(anbn)(an1bn1)0，(ab)n0，0，当a，b有一个为负数时，不妨设a0，b0ab0，a|b|又n为偶数，(anbn)(an1bn1)0(ab)n0，0，综上，原不等式成立1已知x0，y0，则下列关系式成立的是()a bc d2设nn，则_3若a，b，m，n都为正实数，且mn1，则与mn的大小关系是_4(2010江苏高考)设a，b为非负实数，求证：a3b3(a2b2)答案：1a假设成立，下面证明：要证明只需证(x2y2)3(x3y3)2，即证x63x4y23x2y4y6x62x3y3y6，即证3x4y23x2y42x3y3x0，y0，x2y20，即证3x23y22xy3x23y2x2y22xy，3x23y22xy成立2，1，又0，3mn由a，b，m，n为正数，且mn1，可知m1n，n1m，()2(mn)2manbm2an2b2mnm(1m)an(1n)b2mnm