高中数学 第一章 直线、多边形、圆 1.2 圆与直线 1.2.1 圆周角定理学案 北师大版选修41.doc

1.21圆周角定理课标解读1.掌握圆周角定理，圆周角定理的两个推论2会用圆周角定理及其推论解决与圆心角、圆周角有关的问题.1圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半2圆周角定理的两个推论推论1同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等推论2半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弧是半圆1通过圆周角定理及其推论判断：“相等的圆周角所对的弧相等”是否正确【提示】不正确“相等的圆周角所对的弧相等”是在“同圆或等圆中”这一大前提下成立的，如图若abdg，则bacedf，但.2圆的一条弦所对的圆周角都相等吗？【提示】不一定相等一般有两种情况：相等或互补弦所对的优弧与所对劣弧所成的圆周角互补，所对同一条弧上的圆周角都相等，直径所对的圆周角既相等又互补与圆周角定理相关的证明如图121，已知：abc内接于o，d、e在bc边上，且bdce，12.图121求证：abac.【思路探究】证明此题可先添加辅助线，再由圆周角12得到其所对弧相等进而构造等弦、等弧的条件【自主解答】延长ad、ae，分别交o于f、g，连接bf、cg，12，bfcg，fbcgce.又bdce，bfdcge，fg，abac.1解答本题时利用12，添加辅助线，构造等弧是解题的关键2利用圆周角定理证明等量关系是一类重要的数学问题，在解此类问题时，主要是分析圆周角、圆心角、弧、弦之间的等量关系，有时，需添加辅助线构造等弧、等角、等弦的条件如图122，abc内接于o，高ad、be相交于h，ad的延长线交o于f，求证：bfbh.图122【证明】beac，adbc，ahec.ahebhf，fc，bhff.bfbh.直径所对的圆周角图123如图123所示，ab是半圆的直径，ac为弦，且acbc43，ab10 cm，odac于d.求四边形obcd的面积【思路探究】由ab是半圆的直径知c90，由条件求出ac，bc，四边形obcd面积可求【自主解答】ab是半圆的直径，c90.acbc43，可设ac4x，bc3x.又ab10，16x29x2100，x2，ac8 cm，bc6 cm.又odac，odbc，ad4 cm，od3 cm.s四边形obcdsabcsaod683424618(cm2)1解答本题时利用acbc43，得到ac与bc的关系，然后根据勾股定理可求出ac与bc的长度2在圆中，直径是一条特殊的弦，其所对的圆周角是直角，所对的弧是半圆，利用此性质既可以计算角大小、线段长度又可以证明线线垂直、平行等位置关系，还可以证明比例式相等图124如图124，ab是o的直径，ab2 cm，点c在圆周上，且bac30，abd120，cdbd于d.求bd的长【解】如图，连接bc，ab为o的直径，acb90.a30，ab2 cm，bc1(cm)abd120，dbc1206060.cdbd，bcd906030，bd0.5(cm)与圆周角定理有关的计算问题图125已知：如图125，abc内接于o，点d是上一点，ad交bc于e点，ad6 cm，bd5 cm，cd3 cm，求de的长【思路探究】解答本题可先观察图形，ad，bd，cd及未知边de，分别在abd与ced中，再证明abdced，利用相似三角形的性质求得de的长【自主解答】，adbcde，又，badecd，abdced，即，de2.5(cm)1解答本题时寻找已知和未知的关系，从而确定abd与ced的相似关系，是解答本题的关键2和圆周角定理有关的线段、角的计算，不仅可以通过计算弧、圆心角、圆周角的度数来求相关的角、线段，有时还可以通过比例线段，相似三角形来计算图126(2011湖南高考)如图126，a，e是半圆周上的两个三等分点，直径bc4，adbc，垂足为d，be与ad相交于点f，则af的长为_【解析】如图，连接ce、ao、ab.根据a，e是半圆周上的两个三等分点，bc为直径，可得ceb90，cbe30，aob60.故aob为等边三角形，ad，odbd1，df，afaddf.【答案】图127(教材第12页练习第1题)已知：如图127，abc内接于o，aebc，垂足为e，ad是o的直径求证：abacadae.(2012课标全国卷)如图128，d，e分别为abc边ab，ac的中点，直线de交abc的外接圆于f，g两点若cfab，证明：图128(1)cdbc；(2)bcdgbd.【命题意图】本题考查平面几何中线段的相等以及三角形相似的判定，以及逻辑推理能力【证明】(1)因为d，e分别为ab，ac的中点，所以debc.又已知cfab，故四边形bcfd是平行四边形，所以cfbdad.而cfad，连接af，所以四边形adcf是平行四边形，故cdaf.因为cfab，所以bcaf，故cdbc.(2)因为fgbc，故gbcf.由(1)可知bdcf，所以gbbd，所以bgdbdg.由bccd知cbdcdb，又因为dgbefcdbc，所以bcdgbd.图1291如图129，ab为o的直径，c、d是o上的两点，bac20，则dac的度数是()a30b35c45 d70【解析】bac20，【答案】b2在半径等于7 cm的圆内有长为7 cm的弦，则此弦所对的圆周角为()a60或120 b30或150c60 d120【解析】如图所示，o的半径为7 cm，ab7 cm，过o作ocab于c，则ac cm，sinaoc，aoc60，aob120.又圆的一条弦所对的圆周角相等或互补，故弦ab所对的圆周角为60或120.【答案】a3abc内接于o，且345，则a_，b_，c_.【解析】345，的度数为90，的度数为120，的度数为150，a60，b75，c45.【答案】6075454如图1210，a、b、c是o的圆周上三点，若boc3boa，则cab是acb的_倍图1210【解析】acbaob，cabboc，又boc3boa，cab3acb.【答案】3一、选择题图12111如图1211，已知圆心角aob的度数为100，则圆周角acb的度数是()a80b100c120 d130【解析】aob100，所对圆心角为260，acb130.【答案】d2如图1212，已知ab是半圆o的直径，弦ad、bc相交于点p，那么等于()图1212asinbpd bcosbpdctanbpd d以上答案都不对【解析】连接bd，由ba是直径，知adb是直角三角形根据cpdapb，cosbpd.【答案】b图12133如图1213所示，a50，abc60，bd是o的直径，则aeb等于()a70b110c90d120【解析】由题意知，da50，bcd90，cbd905040.又acb180506070，aebcbdacb4070110.【答案】b4如图1214，点a、b、c是圆o上的点，且ab4，acb30，则圆o的面积等于()图1214a4 b8c12 d16【解析】连接oa，ob.acb30，aob60.又oaob，aob为等边三角形又ab4，oaob4.so4216.【答案】d二、填空题5如图1215所示，ab是o的直径，d是的中点，abd20，则bce_(答案用数值表示)图1215【解析】连接ad、de，abd20，aed20，又d是的中点，dacdea20.又ab是o的直径，adb90，dca70，bce70.【答案】706(2013商丘模拟)如图1216，ab为o的直径，弦ac，bd交于点p，若ab3，cd1，则sinapd_.图1216【解析】由于ab为o的直径，则adp90，所以apd是直角三角形则sinapd，cosapd，由题意知，dcpabp，cdpbap，所以pcdpba.所以，又ab3，cd1，则.cosapd.又sin2apdcos2apd1，sinapd.【答案】三、解答题图12177如图1217，g是bc为直径的圆上一点，a是劣弧的中点，adbc，d为垂足，连接ac、bg，其中bg交ad、ac于点e、f.求证：beef.【证明】连接ab，bc为直径，bac90，2dac90.cdac90，2c.，1c，12，aebe.又1bfa90，2daf90，bfadaf，aeef，beef.8如图1218，已知abc内接于o，ad平分bac交o于d，deba交o于e.求证：acde.图1218【证明】连接ae、dc.ad平分bac，baddac.abed，badade，dacade.是公共弧，eacedc，daccaeadeedc，daeadc，acde.图12199(2012江苏高考)如图1219，ab是圆o的直径，d，e为圆o上位于ab异侧的两点，连接bd并延长至点c，使bddc，连接ac、ae、de.求证：ec.【证明】如图，连接od，因为bddc，o为ab的中点，所以odac，于是odbc.因为obod，所以odbb.于是bc.因为点a，e，b，d都在圆o上，且d，e为圆o上位于ab异侧的两点，所以e和b为同弧所对的圆周角，