高中数学 第一章 基本初等函数（II）1.2 任意角的三角函数 1.2.3 同角三角函数的基本关系式课堂导学案 新人教B版必修4.doc

1.2.3 同角三角函数的基本关系式课堂导学三点剖析 一、对基本关系的理解(1)公式sin2+cos2=1(平方关系)和=tan(商数关系),称为同角三角函数的基本关系式.这里,“同角”有两层含义，一是“角相同”,二是对“任意”一个角(在使得函数有意义的前提下)关系式都成立.(2)sin2是(sin)2的简写,读作“sin的平方”,不能将sin2写成sin2,前者是的正弦的平方,后者是的平方的正弦,两者是不同的.应弄清它们的区别,并能正确书写.(3)公式sin2+cos2=1,=tan的应用极为广泛,它们还有如下等价形式:sin2=1-cos2,cos2=1-sin2,sin=costan,cos=.【例1】 若sin+cos=-1(,kz),则所在象限是( )a.第一象限 b.第二象限c.第三象限 d.第四象限解析：记f()=sin+cos.(1)当在第一象限时,sin0,cos0.f()=1;(2)当在第二象限时,sin0,cos0.f()=sin2-cos2;(3)当在第三象限时,sin0,cos0.f()=-1;(4)当在第四象限时,sin0.f()=-sin2+cos2.答案:c各个击破类题演练 1若0,2),且=sin-cos,则的取值范围是( )a.0, b.,c., d.,2解析:由已知得|sin|+|cos|=sin-cos,则又0,2),.答案:b变式提升 1设函数y=(tanx+sinx)(cotx+cosx),且x(kz),则关于y的取值范围的判定正确的是( )a.y的值恒大于零b.y的值恒小于零c.有时大于零,有时等于零,但不小于零d.有时小于零,有时等于零,但不大于零解析:y=(tanx+sinx)(cotx+cosx)=(+sinx)(+cosx)=(1+cosx)(1+sinx),又x(kz),-1cosx1,-1sinx0,即y0.答案:a 二、求一个角的三角函数值的问题 已知角的一个三角函数值,求的其余三角函数值时,要特别注意角所在的象限,以确定三角函数值的符号.一般有以下三种情况:(1)已知三角函数值且角在某一确定象限,这时只有一组解.如sin=,在第二象限,求cos,tan;(2)已知三角函数值,但没有给出角所在象限,这时一般有两组解,需对角所在象限分两种情况讨论.如sin=,求cos,tan;(3)所给三角函数值为字母,这时必须对字母的各种取值情况进行分类讨论.如sin=m,求cos,tan.当已知一个三角函数式的值,求另外一个三角函数式的值时,要对已知和结论进行化简,使两者联系起来.【例2】 已知tan=2，求下列各式的值:（1）sin2-3sincos+1;(2);(3).解析：（1）原式=.(2)原式=-1.(3)原式=.温馨提示(1)已知tan的值，求形如asin2+bsincos+ccos2的值，可将1=sin2+cos2代入，转化为关于tan的函数后，再求值.（2）已知tan的值，求关于sin、cos的齐次式的值，需注意以下两点：被求式必须是关于sin,cos的齐次式（或能化为齐次式）的三角函数式；由cos0，可用cosn（nn*)除之.这样可以将被求式化为关于tan的式子，整体代入tan=m，就能求出被求式的值.类题演练 2已知cos=,且为第二象限角,求tan的值.思路分析:由于为第二象限角,故tan的值一定为负值.解:为第二象限角,sin=.tan=.温馨提示 已知正弦、余弦、正切中的某一个三角函数值，且角所在象限已经确定，求另外两个三角函数值，只有一组结果.变式提升 2已知sin=,求tan的值.思路分析:由于可以有两种情况,故应分两种情况讨论.解：sin=0，是第一象限或第二象限的角.若是第一象限角，则cos0,tan0.cos=,tan=.若是第二象限角，则cos0，tan0cos=,tan=.温馨提示（1）要注意根据问题需要运用sin2+cos2=1的变形sin2=1-cos2或cos2=1-sin2；（2）已知一个角的某一个三角函数值，但不知其终边位置，要先根据已知的三角函数值确定终边位置，然后分不同情况求解. 三、三角函数式的化简与证明【例3】 化简下列各式:(1);(2).思路分析:对(1)应用公式想方设法将无理式化为有理式,将结果化为最简形式.对(2)遇到高次,要通过基本关系式降次,将1代换为sin2+cos2,再因式分解.解：(1)原式=(2)原式=.温馨提示(1)去掉绝对值符号时,一般需要进行分类讨论.(2)注意公式sin2+cos2=1具有“降幂”的作用.类题演练 3化简：sin2tan+cos2+2sincos.解法一：原式=sin2+cos2+2sincos=解法二：原式=（sin2tan+sincos）+(+sincos)=tan(sin2+cos2)+(cos2+sin2)=tan+=+.温馨提示 化简三角函数的目的是为了简化运算.本题两种解题思路不同，但都用到了公式tan=.法一是顺用公式.法二是逆用，即sin=tancos,cos=.解题时要注意灵活运用公式.变式提升 3如果=tan-,那么角的范围是（ ）a.|2k+2k+,kzb.|2k+2k+,kzc.|2k(2k+1),kzd.|2k-2k+,kz解析：.tan-=.由已知=tan-,得|cos|=-cos.又cosx0（否则tan无意义），cos0.2k+2k+,kz.故选a.答案:a【例4】 求证:.思路分析:本题可以从5种不同的角度分析.证法一：左边=右边.证法二:=-sec-tan=0.证法三:左边=tan+sec=右边.证法四:=1.证法五:tan2-sec2=-1,即(tan+sec)(tan-sec)=-1.由等比定理可得.类题演练 4证明下列三角恒等式.(1).(2).分析:(1)切化弦;(2)左边入手,利用平方差公式.证明:(1)左边=右边.所以原命题成立.(2)左边=.所以原命题成立.变式提升 4求证：证法一：左边=右边.证法二：右边=左边.所以等式成立.温馨提示三角恒等式的证明有以下方法:(1)从一边开始,证得它等于另一边,一般由繁到简.(2)左右归一法,即证明左右两边都等于同一个式子.(3