高中数学 第一章 三角函数 1.6 余弦函数的图像与性质学案 北师大版必修4.doc

1.6余弦函数的图像与性质学习目标重点难点1会用“五点法”作余弦函数的图像2掌握余弦函数的图像和性质，并能结合图像加以理解3会求余弦函数的定义域、值域、最值、单调区间、周期，会判断一些函数的奇偶性.重点：“五点法”作余弦函数的图像，利用余弦函数的图像和性质解题难点：余弦函数ycos x的图像和性质的应用疑点：怎样求余弦函数的对称轴方程和对称中心.1余弦函数的图像(1)余弦函数ycos x的图像可以通过将正弦曲线ysin x_单位长度得到(2)余弦函数ycos x(xr)的图像叫作_图像如下：预习交流1类比学习正弦函数图像的方法，观察上图，在0,2上画余弦函数ycos x的图像的五个关键点分别是什么？预习交流2要得到ycos x，x2，0的图像，只需将ycos x，x0,2的图像向_平移_个单位2余弦函数的性质定义域_值域_最值当x_(kz)时，ymax_当x_(kz)时，ymin_周期性最小正周期是_单调性递增区间_(kz)递减区间_(kz)奇偶性_函数，图像关于_轴对称对称性预习交流3正弦函数与余弦函数的图像与性质有哪些联系？预习交流4(1)使cos x1m有意义的m的取值范围是()am0b0m2c1m1dm1或m1(2)函数y2的定义域是_(3)比较大小：cos 27_cos 63；cos 215_cos 230.答案：1(1)向左平移个(2)余弦曲线预习交流1：提示：用五点法作余弦函数的图像，余弦曲线上有五个点起关键作用，这五个点是(0,1)、(，1)、(2，1)预习交流2：左22r1,12k1(2k1)122k，2k2k，2k偶yxk预习交流3：提示：(1)定义域都是r，值域都是1,1，也称正弦、余弦函数的有界性(2)最小正周期都是2.(3)图像形状相同，只是在坐标系中位置不同(4)sin2xcos2x1.预习交流4：(1)b(2)(kz)(3)在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点我的学疑点1余弦函数的图像及应用画出函数ycos x，x0,2的简图思路分析：运用五点作图法，首先要找出起关键作用的五个点，然后描点连线利用余弦函数的图像解不等式cos x.函数y1cos x的图像()a关于x轴对称 b关于y轴对称c关于原点对称 d关于直线x对称(1)作函数yacos xb的图像的步骤(2)利用函数的图像解不等式时，要准确作出函数的图像，找出一个周期内与x轴交点的横坐标是关键2余弦函数的定义域求下列函数的定义域(1)y；(2)ylog3.思路分析：按照求函数定义域的方法进行即可求下列函数的定义域：(1)y；(2)ylog(2cos x)前面学习的求函数定义域的方法对余弦函数仍然适用在此特别强调，要充分利用余弦函数的图像或单位圆解有关余弦不等式，准确写出解集3余弦函数的值域(最值)已知x，(1)求函数ycos x的值域；(2)求函数y3(1cos2x)4cos x4的最大值、最小值思路分析：(1)函数ycos x在区间上是先增后减的函数，求其值域可利用函数图像(2)可用换元法，转化为求二次函数的最大值、最小值问题1函数yecos x的值域是_2求函数ycos2xcos x2的最大值及相应的x的值(1)求形如yacos xb的三角函数的最值时，既要注意x的限定范围，又要注意a的正、负对最值的影响(2)形如yacos2xbcos xc(a0)的三角函数最值问题常利用二次函数的思想转化成在给定区间m，n上求二次函数最值的问题，解答时依然采用数形结合的思想加以分析，必要时要分区间讨论转化成常见的“轴变区间定”，或“轴定区间变”问题4余弦函数单调性的应用(1)比较cos与cos的大小；(2)求y2cos的单调区间思路分析：(1)利用诱导公式化简，结合同一区间上函数的单调性比较大小；(2)把2x看作一个整体，利用ycos x的单调性求解求函数ycos的单调递减区间(1)比较余弦值大小的常用方法是首先利用诱导公式化简到同一单调区间上，再利用单调性比较大小；(2)求函数yacos(x)(a0，0)的单调区间的关键是把x看成一个整体然后利用余弦函数的单调区间建立不等式，解出x.注意当0时，要先利用诱导公式化负为正5余弦函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性(1)f(x)3cos 2x；(2)f(x)sin.思路分析：根据函数奇偶性的定义作出判断，注意诱导公式的应用1函数f(x)4sin的图像()a关于x轴对称 b关于原点对称c关于y轴对称 d关于直线x对称2已知函数yf(x)是定义在r上的奇函数，当x0时，f(x)sin 2xcos x，求f(x)的解析式1.有关函数奇偶性的结论：(1)奇函数的图像关于原点成中心对称图形；偶函数的图像关于y轴成轴对称图形(2)对于奇函数，当x0属于定义域时必有f(0)0.对于偶函数，任意属于定义域的x都有f(|x|)f(x)2函数奇偶性的应用：(1)画关于原点对称的区间上的图像(2)判断函数的单调性(或比较函数值的大小)(3)求函数的解析式答案：活动与探究1：解：画法一：按五个关键点列表：x02ycos x10101ycos x10101 描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示：画法二：先用五点法画y=cos x，x0,2的图像，再作它关于x轴的对称图形，即得到y=-cos x，x0,2的图像活动与探究2：解：在同一坐标系中，作出ycos x和y的图像如图所示由图可知，不等式cos x的解集是.迁移与应用：b解析：y1cos x的图像由ycos x的图像向上平移1个单位得到，又因为ycos x的图像关于y轴对称，故y1cos x的图像也关于y轴对称活动与探究3：解：(1)要使函数有意义，需满足1cos x0，cos x1.x2k，kz.故所求函数的定义域为x|x2k，kz(2)要使函数有意义，需满足0，cos x0，cos x.2kx2k，kz.故所求函数的定义域为.迁移与应用：解：(1)要使函数有意义，则有cos x0，cos x.2kx2k，kz.故所求函数的定义域为.(2)要使函数有意义，则有2cos x0，cos x，故所求函数的定义域为.活动与探究4：解：(1)x，作出函数ycos x的图像(图像略)，从图像上可知当x0时，ymax1，当x时，ymincos，函数的值域为.(2)设tcos x，由(1)知，t.y3(1t2)4t43t24t132.根据二次函数的图像，可知当t，即cos x时，ymin.当t，即cos x时，ymax.迁移与应用：1.解析：cos x1,1，ecos x.2解：y2.当cos x，即x2k(kz)时，ymax.活动与探究5：解：(1)coscoscos，coscoscos，而0，且ycos x在0，上是减函数，coscos，即coscos.(2)由2k2x2k(kz)，得kxk(kz)，函数的递增区间是(kz)由2k2x2k(kz)，得kxk(kz)，函数的递减区间是(kz)迁移与应用：解：由2k3x2k，kz，得x，kz.单调递减区间是(kz)活动与探究6：解：(1)函数的定义域为r.f(x)3cos(2x)3cos 2xf(x)，f(x)为偶函数(2)函数的定义域为r.f(x)sincosx.f(x)coscosf(x)，f(x)为偶函数迁移与应用：1.c解析：由题意知f(x)4cos 2x为偶函数，所以该函数的图像关于y轴对称2解：yf(x)是定义在r上的奇函数，f(0)0.设x0，则x0.f(x)sin(2x)cos(x)sin 2xcos x.又f(x)f(x)，x0时，f(x)sin 2xcos x.从而f(x)1函数ycos x的值域是()a1,1 b. c. d1,02函数ycos x，x0,2，其单调性是()a在0，上是增函数，在，2上是减函数b在上是增函数，在，上是减函数c在，2上是增函数，在0，上是减函数d在，上是增函数，在上是减函数3函数ycos的奇偶性是()a奇函数 b偶函数c非奇非偶函数 d既是奇函数，又是偶函数4(1)比较大小：cos_cos；(2)函数y的定义域是_5画出函数y3cos x2的简图，根据图像讨论函数的性质答案：1b解析：函数ycos x在上是减函数，函数的值域为，即.2a解析：由于当x0,2时，函数ycos x在0，上是减函数，在，2上是增函数，所以函数ycos x在0，上是增函数，在，2上是减函数3a解析：函数的定义域为r，且ycossinx，故所给函数是奇函数4(1)(2)(kz)解析：(1)coscos，0，又yco