高中数学 第一章 直线、多边形、圆 1.2 圆与直线 1.2.3 弦切角定理学案 北师大版选修41.doc

1.23弦切角定理课标解读1.理解弦切角的定义2掌握弦切角定理，并能解决与弦切角有关的问题3体会分类思想、运动变化思想和化归思想.1弦切角定义顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角2弦切角定理图1239(1)文字语言弦切角等于它所夹弧所对的圆周角；弦切角的度数等于它所夹弧的度数的一半(2)图形语言如图1239，ab与o切于a点，则bacadc.1如图1240所示，ce是o的切线，切点为c，你能说出弦切角bce与弦切角ace所夹的弧吗？图1240【提示】弦切角所夹的弧就是指构成弦切角的弦所对的夹在弦切角内部的一条弧，如图所示，弦切角bce所夹的弧是，弦切角ace所夹的弧是.2如何正确使用弦切角定理？【提示】要正确使用弦切角定理，第一步要找到弦切角，弦切角的特点是：(1)顶点在圆上；(2)一边与圆相交；(3)一边与圆相切，这三个条件缺一不可第二步要准确地找到弦切角所夹的弧，再看这段弧上的圆周角，再用弦切角定理解题，如果没有圆周角，有这段弧所对的圆心角也行弦切角定理的简单运用图1241如图1241，一圆过直角三角形abc的直角顶点c，且与斜边ab相切于d点，addb，g为中点，f为上任一点，求证：cfgefd.【思路探究】解答本题可先添加辅助线cd，构造弦切角cdb.再利用弦切角定理及直角三角形的性质，求证结论成立【自主解答】连接cd，ab切圆于d点cdbdfc.g为的中点，cdbdfc2cfg.d为直角三角形acb的斜边中点，cdad，cdb2dce.dceefd，cfgefd.1本题在证明过程中，多次使用了角的转化，而转化的依据是弦切角定理和圆周角定理2利用弦切角定理进行计算、证明，要特别注意弦切角所夹弧所对的圆周角，有时与圆的直径所对的圆周角结合运用，同时要注意根据题目的需要可添加辅助线构成所需要的弦切角图1242如图1242，o的弦ab的延长线和切线ep相交于点p，e为切点，ape的平分线和ae、be分别相交于c、d.求证：eced.【证明】pe切o于点e，bepa，pc平分ape，34，又13a，24bep，12，eced.弦切角定理的综合应用图1243如图1243，pa、pb是o的切线，点c在上，cdab，cepa，cfpb，垂足分别为d、e、f，求证：cd2cecf.【思路探究】【自主解答】连接ca、cb.pa、pb是o的切线capcba，cbpcab.又cdab，cepa，cfpb，rtcaertcbd，rtcbfrtcad，即cd2cecf.1解答本题的难点在于乘积式中的线段不在两个相似三角形中，需用中间量过渡2弦切角定理经常作为工具，进行三角形相似的证明，然后利用三角形相似进一步确定相应边之间的关系，在圆中证明比例式或等积式，常常需要借助于三角形相似处理3弦切角定理有时还与圆周角定理等知识综合运用，它们不但在证明方法上相似，在解题功能上也有相似之处，通常都作为辅助工具出现图1244如图1244，ab为o的直径，弦cdab，ae切o于a，交cd的延长线于e.求证：bc2abde.【证明】连接bd、od、oc，ae切o于a，eadabd，且aeab.又abcd，aece，e90.ab为o的直径，adb90，eadb，adebad，ad2abde.cdab，12，34.又知24，13，adbc，bc2abde.(教材第16页练习第2题)已知：abc内接于o，cadb.(1)ab经过圆心o(图(1)，求证：ad是o的切线；(2)ab不经过圆心o(图(2)，求证：ad是o的切线图1245(2013辽宁高考)如图1246，ab为o的直径，直线cd与o相切于e，ad垂直cd于d，bc垂直cd于c，ef垂直ab于f，连接ae，be.图1246证明：(1)febceb；(2)ef2adbc.【命题意图】本题主要考查弦切角及圆的有关性质、三角形全等及直角三角形性质等知识【证明】(1)由直线cd与o相切，得cebeab.由ab为o的直径，得aeeb，从而eabebf；又efab，得febebf.从而febeab.故febceb.(2)由bcce，efab，febceb，be是公共边，得rtbcertbfe，所以bcbf.类似可证rtadertafe，得adaf.又在rtaeb中，efab，故ef2afbf，所以ef2adbc.图12471如图1247，四边形abcd是圆的内接四边形，ab是直径，mn是切圆于c点的切线，若bcm38，则b()a32b42c52 d48【解析】如图，连接ac.bcm38，mn是o的切线，bac38，ab为o的直径，b903852.【答案】c图12482如图1248所示，已知o的直径ab与弦ac的夹角为35，过c点的切线pc与ab的延长线交于点p，则p等于()a15 b20c25 d30【解析】如图，连接bc，pc是o的切线，pcbcab35.又pbccabacb3590125，p1801253520.【答案】b图12493如图1249所示，已知直线cd与o相切于点c，ab为直径，若bcd40，则abc的大小等于_【解析】cd是o的切线，abcd40，abc904050.【答案】50图12504如图1250，在o中，ab为弦，ac为o的切线，过b点作bdac于d，bd交o于e点，若ae平分bad，则abd_.【解析】由题意知abddaeeab，又abddaeeab90，abd30.【答案】30一、选择题图12511如图1251所示，圆o的直径ab6，c为圆周上一点，bc3，过c作圆的切线l，过a作l的垂线ad，垂足为d，则dac()a15b30c45 d60【解析】由题意知，bac30，abc60.又直线l是o的切线，c为切点，acd60，dac906030.【答案】b图12522已知，如图1252，pa切o于点a，bc是o的直径，bc的延长线交ap于p，aebp交o于e，则图中与cap相等的角的个数是()a1 b2c3 d4【解析】如图所示，连接oa、oe，则aoe为等腰三角形ocae，oc垂直平分ae，ace为等腰三角形，eacaeccap.【答案】c3(2013新乡模拟)如图1253，pc与o相切于c点，割线pab过圆心o，p40，则acp等于()图1253a20b25 c30d40【解析】如图，连接oc，pc切o于c点，ocpc，p40，poc50，连接bc，ocob，bpoc25，acpb25.【答案】b图12544如图1254，ab是o的直径，ef切o于c，adef于d，ad2，ab6，则ac的长为()a2 b3c2 d4【解析】如图，连接bc，由ab是直径，得acbc，由弦切角定理可知，acdabc，abcacd，ac2abad6212，ac2.【答案】c二、填空题图12555如图1255，eb，ec是圆o的两条切线，b，c是切点，a，d是圆o上两点，如果e46，dcf32，则a_.【解析】连接ob、oc、ac，badbaccad(180e)dcf673299.【答案】996如图1256，已知pa是圆o(o为圆心)的切线，切点为a，po交圆o于b，c两点，ac，pab30，则线段pb的长为_图1256【解析】如图，连接oa，又pa为o切线，oap90，cpab30，obaoab60，ppab30，pbab.又ac，bc为o直径，cab90，ab1，pb1.【答案】1三、解答题图12577(2013洛阳模拟)如图1257所示，abt内接于o，过点t的切线交ab的延长线于点p，apt的平分线交bt、at于c、d.求证：ctd为等腰三角形【证明】pd是apt的平分线，apddpt.又pt是圆的切线，btpa.又tdcaapd，tcdbtpdpt，tdctcd，ctd为等腰三角形图12588如图1258，ad是abc的角平分线，经过点a、d的o和bc切于d，且与ab、ac相交于e、f，连接df.求证：efbc.【证明】o切bc于d，cadcdf，ad是abc的角的平分线，badcad，又badefd，efdcdf，efbc.图12599如图1259，已知ab为o直径，p为ab延长线上一动点，过点p作o的切线，设切点为c.(1)请你连接ac，作apc的平分线，交ac于点d，测量cdp的度数；(2)cdp的度数是否随点p在ab延长线上的位置的变化而变化？请你猜想并证明【解】(1)连接ac，作apc的平分线，交ac于点d，