高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.1 命题与量词 1.1.2 量词课后导练 新人教B版选修11.doc

1.1.2 量词课后导练基础达标1.下列存在性命题中假命题的个数是()有的实数是无限不循环小数有些三角形不是等腰三角形有的菱形是正方形a.0b.1c.2d.3答案：a2.下列存在性命题中真命题的个数是()xr,x0至少有一个整数，它既不是合数，也不是质数xx|x是无理数，x2是无理数a.0b.1c.2d.3答案：d3.下列全称命题中假命题的个数是()2x+1是整数(xr)对所有的xr，x3对任意一个xz，2x2+1为奇数a.0b.1c.2d.3答案：c4.下列命题为存在性命题的是()a.偶函数的图象关于y轴对称b.正四棱柱都是平行六面体c.不相交的两条直线是平行直线d.存在实数大于等于3答案：d5.下列命题正确的是()a.对于实数q1，方程x2+2x+q=0有实数根b.有一个实数大于0且小于0c.不存在一个实数其相反数是它本身d.四边形的两条对角线互相垂直，则四边形为正方形答案：a6.(1)命题“xr,x2-x+30”的否定是_.(2)命题“xr,x2+10”的否定是_.答案：(1)xr,x2-x+30(2)xr,x2+107.命题“有理数的平方仍是有理数”用符号“”写成全称命题为_.答案：xx|x是有理数，x2x|x是有理数8.下列叙述正确的命题序号是_.x,yn，如果+y2=0，则x=0y=0；设p(x)：2xx2，则p(4)是真命题；“每一个向量都有方向”是命题；若p(x)：sinxcosx为真命题，则x(,).解析：中由+y2=0x=0且y=0,正确.中p（4）：2443错误.正确.中x的范围是（2k+,2k+)(kz)答案：9.用符号“”与“”表示下面含有量词的命题.(1)实数的平方大于等于0；(2)存在一对实数，使2x+3y+30成立；(3)勾股定理.解：（1）xr,x20.(2)(x,y),xr,yr,2x+3y+30.(3)以a、b、c为三条边，c为斜边的直角三角形，a2+b2=c2 .10.命题“三角形的三个内角中，至少有一个角不小于60”是全称命题吗？判断它的真假.解析：是全称命题，且为真命题，可用反证法证明：在abc中，假设三角内角均小于60，则a+b+c180,这与内角和定理矛盾，原命题为真.11.命题“存在实数k0，使方程x2+(2k+1)x+k=0有两相异实根”是存在性命题吗？判断其真假.解析：是存在性命题，且是真命题，因为任意实数k，=（2k+1)2-4k=4k2+10恒成立.12.已知f(x)=ax2+bx+c的图象过点(-1,0)，是否存在常数a、b、c，使不等式xf(x)对一切实数x均成立？解：f(x)的图象过点（-1，0），a-b+c=0.xf(x)对一切xr均成立，当x=1时也成立，即1a+b+c1,故有a+b+c=1.b=,c=-a.f(x)=ax2+x+-a,故应xax2+ x+-a对一切xr成立.即a=.c=-a=.存在一组常数：a=,b=,c=.使不等式xf(x)对一切实数x均成立.13.(2005辽宁高考，7)在r上定义运算：xy=x(1-y)，若不等式(x-a)(x+a)1对xr成立，求a的取值范围.解析：（x-a)(x+a)1(x-a)1-(x+a)1-x2+x+a2-a-10x2-x-a2+a+10.不等式对任意实数x成立，=1-4(-a2+a+1)0,-a.14.(经典回放)已知a0，函数f(x)=ax-bx2.(1)当b0时，若对任意xr都有f(x)1,证明a2;(2)当b1时，证明对任意x0,1,|f(x)|1的充要条件是b-1a2.证明：（1）依题意设对任意xr都有f(x)1,f(x)=-b(x-)2+,f()= 1.又a0,b0,a2.（2）必要性：对任意x0,1,f(x)1f(x)-1,f(1)-1，即a-b-1.ab-1.对任意x0,1,f(x)1f(x)1,b1,可以推出f(）1,即a-11.a2.b-1a2.充分性：b1,ab-1,对任意x0,1,可以推出ax-bx2b(x-x2)-x-x-1,即ax-bx