高中数学 第一章 推理与证明 4 数学归纳法同步练习 北师大版选修22.DOC

高中数学 第一章 推理与证明 4 数学归纳法同步练习 北师大版选修2-2高手支招6体验成功基础巩固1.某个命题与正整数有关,如果当n=k(kn*)时,该命题成立,那么可推得当n=k+1时命题也成立.现在已知当n=5时,该命题不成立,那么可推得（ ）a.当n=6时该命题不成立 b.当n=6时该命题成立c.当n=4时该命题不成立 d.当n=4时该命题成立答案：c思路分析：依题意,n=4时该命题成立,则n=5时该命题成立,而n=5时该命题不成立,却无法判断n=6时该命题成立还是不成立,故应选c项.2.用数学归纳法证明“当n为奇数时,xnyn能被xy整除”时,第二步的归纳假设应写成（ ）a.假设n=2k1(kn)时正确,再推证n=2k3时正确b.假设n=2k-1(kn)时正确,再推证n=2k1时正确c.假设n=k(kn)时正确,再推证n=k1时正确d.假设nk(k1)时正确,再推证n=k2时正确答案：b思路分析:本题考查两个方面,一方面是对奇数表达形式的理解,如果n=2k1(kn),则k=1时,第一个奇数就不是1而是3,明显错误,如果n=2k-1(kn),那么k=1时,第一个奇数就是1,再推证就应该是n=2(k+1)-1=2k+1.3.用数学归纳法证明1+n(nn,n1)时,在第二步假设n=k时命题成立的前提下，证明n=k+1时命题成立时，左边增加了的项数是（ ）a.2k b.2k-1 c.2k-1 d.2k+1答案：a思路分析:项数为2k+1-2k=2k.4.用数学归纳法证明()n(a,b是非负实数,nn)时,假设n=k命题成立之后,证明n=k+1命题也成立的关键是_.答案：两边同乘以思路分析:要想办法出现ak+1+bk+1,两边同乘以,右边便出现了要求证的()k+1.5.用数学归纳法证明“n3+5n能被6整除”的过程中,当n=k+1时,对式子(k+1)3+5(k+1)应变形为_.答案：(k3+5k)+3k(k+1)+6思路分析:采用配凑法,必须利用归纳假设.6.用数学归纳法证明不等式+(n2且nn*).（1）当n=2时,不等式的左边为_；（2）当n=3时,不等式的左边为_;（3）第二步从“k”到“k+1”的证明中,不等式左边增添的代数式是_.答案：+;+;-思路分析:(1)当n=2时,不等式的左边为+(两项之和);(2)当n=3时,不等式的左边为+(三项之和)；(3)当n=k时,不等式的左边为+(k项之和).而当n=k+1时, +,则从“k”到“k+1”的证明中,不等式左边增添的代数式为+-=-.7.已知点的序列an(xn,0),nn,其中,x10,x2a(a0),a3是线段a1a2的中点,a4是线段a2a3的中点,an是线段an-2an-1的中点,(1)写出xn与xn-1、xn-2之间的关系式(n3);(2)设anxn1-xn计算a1,a2,a3,由此推测数列an的通项公式,并加以证明.答案：(1)解:当n3时,xn.(2)解:a1x2-x1a,a2x3-x2-x2=-(x2-x1)=-a，a3=x4-x3=-x3=-(x3-x2)=-(-a)=a,由此推测an(-)n-1a(nn*).用数学归纳法证明.(i)当n1时,a1x2-x1a(-)0a,公式成立.(ii)假设当nk时,公式成立,即ak(-)k-1a成立.那么当nk1时,ak+1=xk+2-xk+1=-xk+1=-(xk+1-xk)=-ak=-(-)k-1a=(-a,公式仍成立.根据(i)与(ii)可知,对任意nn,公式an(-)n-1a成立.思路分析:由于数列的通项公式不清楚,我们先需要猜测出来,再证明.运用“猜想归纳证明”的思想.在证明ak+1=xk+2-xk+1=-xk+1=-(xk+1-xk)时不要忘记运用归纳假设.8.求实数a,使下列等式对一切正整数n都成立:.解：令n=1,得=.a=3.下面用数学归纳法证明:（1）当n=1时,已证.(2)假设n=k时,命题成立,即.则n=k+1时,左边=+.所以,当n=k+1时,命题也成立.由(1)(2)可知,当a=3时,等式对任意的nn*均成立.思路分析:对于此类型的题目,一般先使用不完全归纳法取n的特殊值,探求出待定系数再用数学归纳法证之.由于只有一个待定量,故只需取一个特殊值求a.9.（2006福建高考,理22）已知数列an满足a1=1,an+1=2an+1(nn*)(1)求数列an的通项公式;(2)若数列bn满足=(an+1(nn*),证明:数列bn是等差数列;(3)证明:-+(nn*).答案：(1)解:an+1=2an+1(nn*),an+1+1=2(an+1),an+1是以a1+1=2为首项,2为公比的等比数列.an+1=2n.即an=22-1(nn*)(2)证法一:=(an+1,.2(b1+b2+bn)-n=nbn,2(b1+b2+bn+bn+1)-(n+1)=(n+1)bn+1.-,得2(bn+1-1)=(n+1)bn+1-nbn,即(n-1)bn+1-nbn+2=0,nbn+2-(n+1)bn+1+2=0.-,得nbn+2-2nbn+1+nbn=0,即bn+2-2bn+1+bn=0,bn+2-bn+1=bn+1-bn(nn*),bn是等差数列.证法二:同证法一,得(n-1)bn+1-nbn+2=0令n=1,得b1=2.设b2=2+d(dr),下面用数学归纳法证明bn=2+(n-1)d.(1)当n=1,2时,等式成立.(2)假设当n=k(k2)时,bk=2+(k-1)d,那么bk+1=bk-=2+(k-1)d-=2+(k+1)-1d.这就是说,当n=k+1时,等式也成立.根据(1)和(2),可知bn=2+(n-1)d对任何nn*都成立.bn+1-bn=d,bn是等差数列.(3)证明:,k=1,2,n,.=-=-,k=1,2,n,-(+)= -(1-)-,-(nn*).思路分析:本题主要考查数列、不等式等基本知识,化归的数学思想方法及综合解题能力.在运用数学归纳法的时候通过构造来运用时的假设.综合应有10.已知定义在r上的单调函数y=f(x),当x0时,f(x)1,且对任意的实数x、yr,有f(x+y)=f(x)f(y),(1)求f(0),并写出适合条件的函数f(x)的一个解析式;(2)数列an满足a1=f(0)且f(an+1)=(nn*),求通项公式an的表达式;令bn=(,sn=b1+b2+bn,tn=+,试比较sn与tn的大小,并加以证明.答案：(1)解：由题意,令y=0,x0,得f(x)1-f(0)=0,x0时,f(x)1.1-f(0)=0.f(0)=1.适合题意的f(x)的一个解析式为f(x)=()x.(2)解：由递推关系知f(an+1)f(-2-an)=1,即f(an+1-2-an)=f(0).f(x)的r上单调,an+1-an=2,(nn*),又a1=1,故an=2n-1.解：bn=（=(,sn=b1+b2+bn=+()3+(=.tn=(1-+-+-)=(1-)sn=tn=(1-)-(1-)=(-)=.欲比较sn与tn的大小,只需比较4n与2n+1的大小.由n=1,2,3代入可知4n2n+1,猜想4n2n+1.下面用数学归纳法证明(i)当n=1时,4121+1成立(ii)假设当n=k时命题成立,即4k2k+1当n=k+1时,4k+1=44k4(2k+1)=8k+4=2(k+1)+1+6k+12(k+1)+1,说明当n=k+1时命题也成立.由(i)(ii)可知,4n2n+1对于nn*都成立.故sntn.注:证明4n2n+1,除用数学归纳法证明以外,还可用其他方法证明,如:4n=(1+3)n=1+3+32+3n1+3n2n+1.思路分析:本题从函数的开始考察结合数列和不等式考察.sn与tn的大小,我们通过几个值来,先来猜想结果然后再来证明.11.已知数列an满足条件(n-1)an+1=(n+1)(an-1),且a2=6,设bn=an+n(nn*).(1)求a1、a3、a4的值;(2)求数列an的通项公式;(3)求()的值.解：(1)(n-1)an+1=(n+1)(an-1)(nn*),且a2=6,当n=1时,a1=1;当n=2时,a3=3(a2-1)=15;当n=3时,2a4=4(a3-1)=56,a4=28.(2)由a2-a1=5,a3-a2=9,a4-a3=13,猜想an+1-an=4n+1.an-a1=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)，an=2n2-n(nn*).下面用数学归纳法证明如下:当n=1时,a1=212-1=1,故猜想正确,假设当n=k时成立,即ak=2k2-k(kn*且k1),(k-1)ak+1=(k+1)(ak-1),即(k-1)ak+1=(k+1)ak=(k+1)(2k2-k-1),ak+1=(k+1)(2k+1),即当n=k+1时,命题也成立.综上可知,an=2n2-n对任意的正整数都成立.(3)由(2)可知bn=an+n,bn=2n2,bn-2=2n2-2=2(n-1)(n+1).=(-),()=(1-+-+-+-+-)=-(+)=.思路分析:先列出数列的前几项,然后猜想数列的通项公式.运用数学归纳法证明即可.12.已知函数f(x)=x3-x2+,且存在x0(0,),使f(x0)=x0.(1)证明:f(x)是r上的单调增函数;设x1=0,xn+1=f(xn);y1=,yn+1=f(yn),其中n=1,2,;(2)证明:xnxn+1x0yn+1yn;(3)证明:.证明：(1)f(x)=3x2-2x+=3(x-)2+0,f(x)是r上的单调增函数.(2)0x0,即x1x0y1，又f(x)是增函数,f(x1)f(x0)f(y1)，即x2x0y2.又x2=f(x1)=f(0)=0=x1,y2=f(y1)=f()=y1.综上,x1x2x0y2y1.用数学归纳法证明如下:(1)当n=1时,上面已证明成立.(2)假设当n=k(k1)时有xkxk+1x0yk+1yk.当n=k+1时,由f(x)是单调增函数,有f(xk)f(xk+1)f(x0)f(yk+1)f(yk),xk+1xk+2x0yk+2yk+1.由(1)(2)知对一切n=1,2,都有xnxn+1x0yn+1yn.(3) =yn2+xnyn+xn2-(yn+xn)+(yn+xn)2-(yn+xn)+=(yn+xn)-2+.由(2)知0yn+xn1.-yn+xn-,()2+=.思路分析:虽然本题为函数题,但是与n相关,我们可以利用数学归纳法,当n=1我们先来验证.当n=k时利用函数的单调性易知.13.某地区原有森林木材存量为a,且每年增长率为25%,因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为b,设an为n年后该地区的森林木材存量，（1）求an的表达式;（2）为保护生态环境,防止水土流失,该地区每年的森林木材量应不少于a,如果b=a,那么该地区今后会发生水土流失吗?若会,需要经过几年?(取lg2=0.30)解：(1)设第一年的森林木材存量为a1,第n年后的森林木材存量为an,a1=a(1+)-b=a-b,a2=a1-b=(a-b)-b=()2a-(+1)b,a3=a2-b=()3a-()2+1b,由上面的a1,a2,a3推测:an=()na-()n-1+()n-2+1b=()na-4()n-1b(nn*).证明:当n=1时,a1=a-b,已证推测成立.假设n=k时,ak=()ka-4()k-1b成立.则当n=k+1时,ak+1=ak-b=()ka-4()k-1b-b=