高中数学 第一章 解三角形 1.2 应用举例自主训练 新人教B版必修5.doc

1.2 应用举例自主广场我夯基 我达标1.如图1-2-12，为了测量隧道口ab的长度，给定下列四组数据，其中可以实现并可以计算得出ab长的数据是( )图1-2-12a.,a,b b.,a c.a,b, d.,b思路解析:根据实际情况,、都是不易测量的数据，而c中的a、b、很容易测量到，并且根据余弦定理ab2=a2+b2-2abcos能直接求出ab的长.答案:c2.已知两座灯塔a和b与海洋观察站c的距离都等于a km，灯塔a在观察站c的北偏东20的方向上，灯塔b在观察站c的南偏东40的方向上，则灯塔a与灯塔b的距离为( )a.a km b. km c. km d.2a km思路解析:由图可知acb=120，ac=bc=a.在abc中，过点c作cdab，则ab=2ad=2acos30=a.图1-2-13答案:b3.在200 m的山顶上，测得山下一塔塔顶与塔底的俯角分别为30、60，则塔高为( )a. b. c. d.思路解析:如图1-2-14所示，设塔高ab为h，图1-2-14在rtcdb中，cd=200，bcd=90-60=30,bc=.在abc中，abc=bcd=30,acb=60-30=30,bac=120.,ab=m.答案:a4.在abc中，已知a-b=4,a+c=2b，且其最大内角为120，则其最大边长为_.思路解析:由已知所给三边间的关系，先判断其最大边，再利用余弦定理把问题解决.由已知a-b=4,a+c=2b,得a=b+4,c=2b-a=b-4，故a为最长边.a=120.cosa=，即=.解得b=10.a=14.答案:145.在abc中，若(sina+sinb+sinc)(sina+sinb-sinc)=3sinasinb，则c=_.思路解析:本题所给条件中涉及的是三内角的正弦，容易想到将其展开化简，得到sin2a+sin2b-sin2c=sinasinb，而这个形式与余弦定理极为相似，然而余弦定理所涉及的是边角关系，于是可以先用正弦定理将三内角的正弦转化为边，即为a2+b2-c2=ab，所以cosc=，c=60.答案:606.为了测量河的宽度，在一岸边选定两点a、b,望对岸的标记物c，测得cab=45,cba=75，ab=120米，求河的宽度.思路分析:由题意画出示意图，把问题转化为求abc的ab边上的高的问题.而由已知及正弦定理，可先求出ac，进而求得河宽.解:如图所示，在abc中，由已知可得图1-2-15ac=.设c到ab的距离为cd，则cd=ac=20(+3)，河的宽度为20(+3)米.7.已知关于x的方程x2+xcosacosb-1+cosc=0的两根之和等于其两根之积的一半，试判断abc的形状.思路分析:本题与一元二次方程的根与系数之间的关系有一定的关系，容易根据题意及根与系数间的关系得到三内角间的关系，从而判定abc的形状.解:依题意,得-cosacosb=,即2cosacosb=1-cosc.cos(a+b)+cos(a-b)=1+cos(a+b).cos(a-b)=1.又-a-b，a-b=0,a=b.故abc是等腰三角形.我综合 我发展8.在abc中，abc，且三边a、b、c为连续自然数，且a=2ccosc.求sinasinbsinc的值.思路分析:本题已知条件中给出了边角间的关系，要求三内角正弦之比，可以根据正弦定理转化为求三边之比，进而去求三边长，从而将问题解决.解:abc,abc.又三边a、b、c为连续自然数，可设a=b+1,c=b-1.由a=2ccosc,得cosc=.由余弦定理,得cosc=，即(b+1)2=(b-1)(b+4),b=5.a=6,c=4.由正弦定理,得sinasinbsinc=654.9.小明在内伶仃岛上的点a处，上午11时测得在a的北偏东60的c处有一艘轮船，12时20分时测得该船航行到北偏西60的b处，12时40分时又测得轮船到达位于a正西方5千米的港口e处，如果该船始终保持匀速直线运动.求：(1)点b到a的距离；(2)船的航行速度.思路分析:本题所涉及的角比较多，首先应该考虑画出示意图，将题中所述条件正确地反映在图形上，这样比较直观，然后结合图形分析，不难根据正、余弦定理把问题解决.解:(1)轮船从c处到点b用了80分钟，从点b到点e用了20分钟，轮船保持匀速直线运动.故bc=4be，设be=x，则bc=4x.由已知,得只要求出x的值即可.在aec中，由正弦定理,得sinc=.在abc中，由正弦定理,得ab=.(2)在abe中,由余弦定理,得be2=ab2+ae2-2abaecos30 =25+-25cos30=.be=.故轮船的速度为千米/时.10.有一条河mn，河岸的一侧有一很高的建筑物ab(底部为a,顶部为b)，一人位于河岸另一侧p处，手中有一个测角器(可以测仰角)和一个可以测量长度的皮尺(测量长度不超过5米).请你根据所学数学知识，设计多种测量方案(不允许过河)，并给出计算建筑物的高度ab及距离pa的公式.解:(1)如图1-2-16，点p位于开阔地域，被测量的数据为pc(测角器的高)和pq(q为在pa水平直线上选取的另一测量点)的长度，仰角为和(其中bdo=,bco=).图1-2-16设ab=x,pa=y，则有x=. (2)如图1-2-17，p位于开阔地域，被测量的数据为pr(pr在水平线上，且pq5米)，在p、q(q是pr的中点)、r处测得建筑物ab的仰角分别为、(其中apb=,aqb=,arb=)，设ab=x,pa=y，则y=xcot,aq=xcot,ar=xcot.图1-2-17在apq与apr中，由余弦定理,得ap2+pq2-2appqcosapq=aq2,ap2+pr2-2apprcosapq=ar2，即(xcot)2+()2-2(xcot)cosapq=(xcot)2，(xcot)2+(pr)2-2(xcot)prcosapq=(xcot)2,两式相减,得.(3)如图1-2-18，若p处是一可攀建筑物(如楼房)，则