高中数学 1.1 空间几何体 1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积教案 新人教B版必修2.doc

1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积示范教案教学分析教材通过分析简单几何体的侧面展开图得到了它们的面积公式，体现了立体问题平面化的解决策略这是本节课的灵魂，在教学中，应加以重视本节教材直接给出了球的表面积值得注意的是教学的重点放在球与其他几何体的组合体的有关计算上，这是高考的重点三维目标1了解简单几何体的侧面展开图，并获得表面积公式，提高学生分析问题、解决问题的能力2会求简单几何体的侧面积和表面积，提高学生的运算能力3掌握球的表面积，并能应用其解决有关问题，提高学生解决问题的能力，渗透转化与化归的数学思想重点难点教学重点：面积公式的推导及其应用；球的表面积公式的应用教学难点：求简单几何体的侧面积；关于球的几何体的计算课时安排1课时导入新课在过去的学习中，我们已经接触过一些几何体的面积的求法及公式，哪些几何体可以求出表面积？(引导学生回忆，互相交流，教师归类)几何体的表面积等于它的展开图的面积，那么，柱体、锥体、台体的侧面展开图是怎样的呢？你能否计算？推进新课(1)如图1所示分别是直六棱柱和正四棱锥的展开图，试归纳直棱柱的侧面展开图形状及侧面积公式归纳正棱锥的侧面展开图形状及侧面积公式图1(2)如图2是正四棱台的展开图，由此归纳正棱台的侧面积公式图2(3)想一想，能否从圆柱和圆锥的展开图，得到它们的侧面积公式？(4)阅读教材，写出球的表面积公式讨论结果：(1)直棱柱的侧面展图是矩形，而正棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形设直棱柱高为h，底面多边形的周长为c，则得到直棱柱侧面面积计算公式即直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的乘积正棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形底面是正多边形，如果设它的底面边长为a，底面周长为c，斜高为h，容易得到正n棱锥的侧面积的计算公式即正棱锥的侧面积等于它的底面的周长和斜高乘积的一半棱柱、棱锥的表面积或全面积等于侧面积与底面积的和(2)正棱台的侧面展开图是一些全等的等腰梯形设棱台下底面边长为a、周长为c，上底面边长为a、周长为c，斜高为h，可以得出正n棱台的侧面积公式s正棱台侧n(aa)h(nana)h(cc)h，即这一结果也可以用求两个正棱锥侧面积之差的方法得出棱台的表面积或全面积等于侧面积与底面积的和(3)s圆柱侧2rh，s圆锥侧rl.(4)s球表4r2即球面面积等于它的大圆面积的四倍思路1例1已知正四棱锥底面正方形的边长为4 cm，高与斜高的夹角为35(下图)，求正四棱锥的侧面积及全面积(单位：cm2，精确到0.01)解：正棱锥的高po、斜高pe和底面边心距oe组成直角poe.因为oe2 cm，ope35，所以斜高pe3.49(cm)因此s棱锥侧ch443.4927.92(cm2)，s棱锥全27.921643.92(cm2)变式训练1（2008 山东高考，6）下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是()a9 b10c11 d12解析：据三视图可知该几何体由球和圆柱体组成，如下图所示，故该几何体的表面积为ss圆柱s球26412.答案：d 2.圆台的上、下底半径分别是10 cm和20 cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180，那么圆台的侧面积是多少？(结果中保留)解：如下图，设上底周长为c.因为扇环的圆心角是180，所以csa.又因为c21020，所以sa20.同理sb40.所以absbsa20，s圆台侧(r1r2)ab(1020)20600(cm2)2如下图所示是一个容器的盖子，它是用一个正四棱台和一个球焊接而成的球的半径为r.正四棱台的两底面边长分别为3r和2.5r，斜高为0.6r：(1)求这个容器盖子的表面积(用r表示，焊接处对面积的影响忽略不计)；(2)若r2 cm，为盖子涂色时所用的涂料每0.4 kg可以涂1 m2，计算为100个这样的盖子涂色约需涂料多少千克(精确到0.1 kg)解：(1)因为s正四棱台4(2.5r3r)0.6r(2.5r)2(3r)2(42.543)0.6r26.25r29r221.85r2，s球4r2.因此，这个盖子的全面积为s全(21.854)r2.(2)取r2，3.14，得s全137.67 cm2.又(137.67100)10 0000.40.6(kg)因此，涂100个这样的盖子共需涂料约0.6 kg.变式训练1一个圆柱形的锅炉，底面直径d1 m，高h2.3 m，求锅炉的表面积(保留2个有效数字)解：ss侧面积s底面积dh2()212.38.8 (m2)2有位油漆工用一把长度为50 cm，横截面半径为10 cm的圆柱形刷子给一块面积为10 m2的木板涂油漆，且圆柱形刷子以每秒5周的速度在木板上匀速滚动前进，则油漆工完成任务所需的时间是多少？(精确到0.01 s)解：圆柱形刷子滚动一周涂过的面积就等于圆柱的侧面积，圆柱的侧面积为s侧2rl20.10.50.1 m2，又圆柱形刷子以每秒5周匀速滚动，圆柱形刷子每秒滚过的面积为0.5 m2，因此油漆工完成任务所需的时间t6.37(s)点评：本题虽然是实际问题，但是通过仔细分析后，还是归为圆柱的侧面积问题解决此题的关键是注意到圆柱形刷子滚动一周所经过的面积就相当于把圆柱的侧面展开的面积，即滚动一周所经过的面积等于圆柱的侧面积从而使问题迎刃而解思路2例3如下图，一个圆台形花盆盆口直径为20 cm，盆底直径为15 cm，底部渗水圆孔直径为1.5 cm，盆壁长为15 cm.为了美化花盆的外观，需要涂油漆已知每平方米用100 ml油漆，涂100个这样的花盆需要多少 ml油漆？(取3.14，结果精确到1 ml，可用计算器)分析：只要求出每个花盆外壁的表面积，就可以求出油漆的用量而花盆外壁的表面积等于花盆的侧面积加上底面积，再减去底面圆孔的面积解：如上图，由圆台的表面积公式得一个花盆外壁的表面积s()21515()21 000(cm2)0.1(m2)涂100个这样的花盆需油漆：0.11001001 000(ml)答：涂100个这样的花盆需要1 000 ml油漆点评：本题主要考查几何体的表面积公式及其应用变式训练如下图所示，圆锥的底面半径为1，高为，则圆锥的表面积为()a b2c3 d4分析：设圆锥的母线长为l，则l2，所以圆锥的表面积为s1(12)3.答案：c例4下图所示的几何体是一棱长为4 cm的正方体，若在它的各个面的中心位置上，各打一个直径为2 cm、深为1 cm的圆柱形的孔，求打孔后几何体的表面积是多少？(取3.14)活动：因为正方体的棱长为4 cm，而孔深只有1 cm，所以正方体没有被打透这样一来打孔后所得几何体的表面积，等于原来正方体的表面积，再加上六个完全一样的圆柱的侧面积，这六个圆柱的高为1 cm，底面圆的半径为1 cm .解：正方体的表面积为16696( cm2)，一个圆柱的侧面积为2116.28( cm2)，则打孔后几何体的表面积为966.286133.68( cm2)答：几何体的表面积为133.68 cm2.点评：本题主要考查正方体、圆柱的表面积求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本的柱、锥、台，再通过这些基本柱、锥、台的表面积，进行求和或作差，从而获得几何体的表面积本题中将几何体的表面积表达为正方体的表面积与六个圆柱侧面积的和是非常有创意的想法，如果忽略正方体没有被打透这一点，思考就会变得复杂，当然结果也会是错误的变式训练（2008 深圳市高三年级第一次调研，理3）如下图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为()a. b2 c3 d4解析：该几何体是底面直径为1，母线长为1的圆柱，则其全面积是212()2.答案：a1已知一圆锥的侧面展开图为半圆，且面积为s，则圆锥的底面面积是_解析：如上图，设圆锥底面半径为r，母线长为l，由题意，得解得r.所以圆锥的底面积为r2.答案：2已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体sabc(下图)，求它的表面积分析：由于四面体sabc的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面面积的4倍解：先求sbc的面积，过点s作sdbc，交bc于点d.因为bca，sda，所以ssbcbcsdaaa2.因此，四面体sabc的表面积s4a2a2.3已知圆柱和圆锥的高、底面半径均分别相等若圆柱的底面半径为r，圆柱侧面积为s，求圆锥的侧面积解：设圆锥的母线长为l，因为圆柱的侧面积为s，圆柱的底面半径为r，即s圆柱侧s，根据圆柱的侧面积公式，可得圆柱的母线(高)长为.由题意得圆锥的高为.又圆锥的底面半径为r，根据勾股定理，圆锥的母线长l，根据圆锥的侧面积公式，得s圆锥侧rlr.4一个正三棱台的上、下底面边长分别为3 cm和6 cm，高是 cm，求三棱台的侧面积解：如下图，o1、o分别是上、下底面中心，则o1o，连结a1o1并延长交b1c1于d1，连结ao并延长交bc于d，过d1作d1ead于e.在rtd1ed中，d1eo1o，dedooedod1o1(63)，dd1，s正三棱台侧(cc)dd1(cm2)即三棱台的侧面积为 cm2.问题：有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为3a,4a,5a(a0)用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面积最小的是一个四棱柱，则a的取值范围是_探究：两个相同的直三棱柱并排放拼成一个三棱柱或四棱柱，有三种情况：四棱柱有一种，就是边长为5a的边重合在一起，表面积为24a228；三棱柱有两种，边长为4a的边重合在一起，表面积为24a232；边长为3a的边重合在一起，表面积为24a236；两个相同的直三棱柱竖直放在一起，有一种情况，表面积为12a248.最小的是一个四棱柱，这说明24a22812a248 12a220 0a.答案：0a本节课学习了：1简单几何体的面积公式；2应用面积公式解决有关问题本节练习a2,3,4题新课标对本节内容的要求很低，属于了解层次