高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.3 组合（1）课堂导学案 新人教A版选修23.doc

1.2.3 组合（1）课堂导学三点剖析一、有限制条件的组合问题“在”与“不在”问题【例1】一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球.（1）从口袋内取出3个球，共有多少不同的取法？（2）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，共有多少种取法？（3）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，共有多少取法？解析：（1）从口袋内的8个球中取出3个球，取法种数是=56答：从口袋内取出3个球，共有56种取法.（2）从口袋内取出的3个球中有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是=21.答：取出含有1个黑球的3个球，共有21种取法.（3）由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是=35答：取出不含黑球的3个球，共有35种取法.温馨提示(1)从n个不同的元素中，每次取出m个不同元素的组合，其中一个必须在内.这类问题的思考方法是先将这个特定元素置于其内，则只需由余下的n-1个元素中每次取出m-1个元素，再汇总原置于内的特定元素，所以符合条件的种数为.(2)从n个不同的元素中，每次取出m个不同元素的组合，其中某一元素不能在内.这类问题有两种思考方法：将这个特定元素选出，而从其余的n-1个元素中每次取m个不同元素的组合，这些组合显然必符合条件，为种；以间接法解之，即从不带附加条件的总数中，减去不合本题条件的数，为-种.二、有限制条件的组合问题“至多”“至少”问题【例2】 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有( )a.140种 b.84种 c.70种 d.35种思路分析：取出的3台电视机中要求至少有甲型与乙型各一台，它包括两种可能：2甲1乙或1甲2乙，所以可用分类计数原理和分步计数原理解决，另外也可以采用间接法.解法一 从4台甲型电视机中取2台且从5台乙型电视机中取1台，有种取法；从4台甲型电视机中取1台且从5台乙型电视机中取2台有种取法，所以取出的3台电视机中至少要有甲型与乙型各一台的取法共有+ =70(种).解法二 从所有的9台电视机中取3台有种取法，其中全为甲型的有种取法，全为乙型的有种取法，则至少有甲型与乙型各一台的取法有-=70(种).答案：c温馨提示本题解法一用了直接法，解法二用的是间接法；本题最易出现如下取法错误=140（种）.这样计算就出现了重复.三、求组合题的原则“正难则反”【例3】 空间中有8个点，有且只有4个点共面，共可确定多少个平面？解析：利用间接法：不考虑限制条件，从8个点中任取3个点共有种取法，由于其中4个点共面，从这4个点中任取3个的组合数为，故一共确定的平面数为：-+1=53.（这里加1是因为多减了一个平面）.温馨提示 有些计数问题正面情况太繁杂或直接法难以入手时，往往从问题的反面考虑更易解决.各个击破【类题演练1】从7名男同学和5名女同学中，选出5人，分别求符合下列条件的选法种数.(1)a，b必须当选；(2)a，b必不当选；(3)a，b不全当选；(4)至少有两名女同学当选；(5)选出3名男同学和2名女同学，分别担任体育委员、文娱委员等五种不同的工作，但体育委员必须男同学担任，文娱委员必须女同学担任.解析：（1）只要从其余的10人中再选3人即可，有=120（种）.（2）5个都选自另外10人，即有=252（种）.（3）法一：分类如下：a，b中有一人当选：有种.a，b都不入选：有种.所以共有+=672（种）.法二：-=672（种）(4)间接法： =596（种）（5）法一：分三步：第一步：选一男一女分别担任体育委员、文娱委员的方法有种；第二步：选出两男一女，补足5人的方法有种；第三步：为这三人分配职务，有种；由分步计数原理，共有安排方法=12 600（种）法二：分两步：第一步：选出3名男同学，2名女同学，有种方法；第二步：分配职务有种.根据分步计数原理，共有安排方法=12 600(种)【变式提升1】某学习小组8名同学，从男生中选出2人，从女生中选出1人参加数学、物理、化学三种竞赛，要求每科均有一人参加，共有180种不同的选法，那么该小组中男、女同学各有多少人？解析：设有男同学x人，则女同学有8-x人，第一步，先从x名男同学中任选2名，有种选法；第二步从8-x名女同学中任选1名，有种选法，两次共选出3名同学，这三名同学的组合为；第三步，将这3名同学全排列，有种排法.因为每个排列都对应一种参赛方式，所以，共有=180种选法，其中x的取值范围是2x7，xn*.解方程，得x=5或6，8-x=3或2，即男生5人，女生3人；或男生6人，女生2人.【类题演练2】从全班48人中选出5人参加东湖水污染情况调查小分队，假若班长和副班长至少有一人在内，有多少种选法？解析：这是一个有限制条件的组合问题，要抓住题中的关键字眼“至少”进行正确的分类.班长、副班长中只有一人在内，有种；班长、副班长两人都在内，有种，所以根据分类计数原理和分步计数原理，符合条件的选法共有(+)(种).【变式提升2】从5男4女中选4位代表，其中至少有2位男同志，且至少有一位女同志，分别到四个工厂去调查，不同的分配方法有( )a.100种 b.400种 c.480种 d.2 400种解析：可分两类：2男2女、3男一女第一类有种取法；第二类有种取法，故共有（+）种，即100种取法.每一种取法都有种分配方法.共有100=2 400(种).选d.【类题演练3】 由正方体的8个顶点和中心，可组成多少个四面体？解析：在正方体的顶点和中心共9个点中，其中四点共面的情况有6种，5点共面情况有种，所以组成四面体的个数为=90