高中数学 第一章 计数原理 3 组合导学案 北师大版选修23.doc

3 组合自主整理1.一般地，从n个不同的元素中，_，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合，我们把有关求_问题叫作组合问题.2.我们把_，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号_表示.3.一般地，考虑c与a的关系：把“从n个不同的元素中选出m（mn）个元素进行排列”这件事，分两步进行：第一步：从n个不同元素中取出m个元素，一共有_种取法.第二步：_一共有a种排法.根据_原理，我们得到“从n个不同元素中选出m（mn）个元素进行排列”一共有_种排法.即有a=_.4.c=_=_=_，规定:c=_.5.组合数的性质：性质1：_.性质2：_.高手笔记1.使用组合数公式时，要注意c中m为非负整数，nn+，mn等限制条件.2.排列与组合的定义中相同的语句是“从n个不同的元素中，任取m（mn）个元素”.定义中不同的语句是:排列的定义中“按着一定的顺序排成一列”；组合的定义中“并成一组”.3.排列与组合的共同点，就是都要“从n个不同元素中，任取m个元素”，而不同点就是前者要“按照一定的顺序排成一列”，而后者却是“不论怎样的顺序并成一组”.因此，“有序”与“无序”是区别排列与组合的重要标志.如，从a、b、c三个元素中，任意取出两个元素的所有排列为：ab，ba，ac，ca，bc，cb；所有组合为：ab，ac，bc.在排列的意义下，ab与ba、ac与ca、bc与cb不同，而在组合的意义下，ab与ba、ac与ca、bc与cb相同.4.公式a=ca表明从n个不同的元素中，任取m（mn）个元素的排列数的计算可分为两步：求c；再对取出的m个元素进行全排列.因此，从n个不同的元素中，任取m（mn）个元素的一个组合，是相应的所有排列中的1个.如从a、b、c中取出a、b的排列为ab、ba，组合ab（或ba）是其中的1个.5.公式c=其形式上的特点是：分子是连续m个自然数之积，最大的数为n，最小的数是（n-m+1）;分母是m！.名师解惑1.如何区别组合与组合数？剖析：“组合数”与“一个组合”是两个不同的概念，“一个组合”是指“从n个不同元素中，任取m（mn）个元素并成一组”，它不是一个数，而是具体的形式；“组合数”是指“从n个不同元素中取出m（mn）个元素的所有组合的个数”，它是一个数.如，从a、b、c中任取两个元素的所有组合为：ab、ac、bc，它是具体的形式“ab、ac、bc”；而其组合数是具体的数，ab、ac、bc都算作1，1+1+1=3，即c=3.2.如何理解组合数的两个性质?剖析：（1）对c=c的理解：这个性质可以由组合数的定义给出，从n个不同元素中取出m个元素后，剩下n-m个元素，也就是说，从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，都对应于从n个不同元素中取n-m个元素的唯一的一个组合，反过来也如此，因此有c=c.（2）对c的理解：把n+1个元素分为不含某元素a和含某元素a两类.不含a这一类，从n+1个元素中取m个元素的组合，相当于从n个元素中取m个元素的组合，组合数为c；含a的这一类，a必被取出，从n+1个元素中取m个元素的组合，相当于从其余的n个元素中取m-1个元素的组合，组合数为c.根据加法原理，有c=c+c.3.解答组合问题时的解题策略是什么？剖析：解答组合应用题的总体思路为：（1）整体分类，对事件进行整体分类，从集合的意义讲，分类要做到各类的并集等于全集，以保证分类的不遗漏，任意两类的交集等于空集，以保证分类的不重复，计算结果时使用加法原理.（2）局部分步，整体分类以后，对每一类进行局部分步，分步要做到步骤连续，以保证分步的不遗漏，同时步骤要独立，以保证分步的不重复，计算每一类的相应结果时，使用乘法原理.（3）考察顺序，区别排列与组合的重要标志是“有序”与“无序”，无序的问题，用组合解答，有序的问题属排列问题.（4）辩证地看待“元素”与“位置”.排列、组合问题中的元素与位置，没有严格的界定标准，哪些事物看成元素或位置，要视具体情况而定.有时“元素选位置”，问题解决得简捷；有时“位置选元素”效果会更好.讲练互动【例1】证明：c+c+c=c.分析：本题运用公式c=c+c写出m+1个等式，然后把这些等式两边分别相加，等式两边相同的项消去后即得结论.证明：c=ccccc把以上m+1个式子相加，即得c+c+c=c.绿色通道:利用性质c+c=c证明等式时，要先将第一项c变成c，然后与第二项+结合利用组合性质，依次求和可得右端.变式训练1.证明：c+3c.证明：左边=（c+c）+2（c+c）+（c+）=c+2c+c=（c+c）+（c+c）=c+c=c=右边.等式成立.【例2】从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有多少种？分析：取出的3台电视机中要求至少有甲型与乙型各1台，它包括两种可能：2台甲型与1台乙型、1台甲型与2台乙型，所以可用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决.另外，也可以采用间接法.解法一：从4台甲型电视机中取2台且从5台乙型电视机中取1台有cc种取法；从4台甲型电视机中取1台且从5台乙型电视机中取2台有cc种取法，所以取出的3台电视机中至少要有甲型与乙型各1台的取法共有cc+cc=70种.故应选c.解法二：从所有的9台电视机中取3台有c种取法，其中全部为甲型的有c种取法，全部为乙型的有c种取法，则至少有甲型与乙型各1台的取法有c-c-c=70种.黑色陷阱:解决这类问题最容易出现的错误就是产生重复，比如首先从4台甲型电视机与5台乙型电视机中各取1台，有cc种取法，再在剩下的7台电视机中任取1台，有c种取法，所以不同的取法共有ccc=140种，这种看起来很不错的解法实际上是错误的，因为它产生了重复.避免产生重复的方法就是进行“先分类后分步”.变式训练2.一份考卷有10道考题，分为a、b两组，每组5题，要求考生选答6题，但每组最多选4题，问考生有几种选答方法？解：有3种选题方案：a组选4题、b组选2题；a组选2题、b组选4题及a、b组各选3题，故选答方法有2cc+（c）2=200种.【例3】200件产品中有5件是次品，现从中任意抽取4件，按下列条件，各有多少种不同的抽法（只要求列式）？（1）都不是次品；（2）至少有1件次品；（3）不都是次品.分析：第（1）题与顺序无关，都不是次品，即全部是正品，正品有195件；第（2）题与顺序无关，至少有1件次品，即有1件次品，2件次品，3件次品，4件次品四类情况，可用直接法解答，也可用间接法解答；第（3）题与顺序无关，不都是次品，即至少有1件是正品.解：（1）都不是次品，即全部为正品，有c种.（2）至少有1件次品，包括1件，2件，3件，4件次品的情况.共有cc+cc+cc+c种或c-c种.（3）不都是次品，即至少有1件正品，共有cc+cc+cc+c种或c-c种.绿色通道:解决“至多”或“至少”问题，通常采用直接分类法（简称直接法）和整体排异法（简称间接法）求解.当直接分类讨论的情形较多时，使用整体排异法较简便.变式训练3.从8名男同学和4名女同学中选出5人组成青年志愿队，按要求各有多少种选法？（1）至少有一名女同学参加；（2）至多有两名女同学参加；（3）男女同学各至少有两名参加.解：（1）法一：“至少有一名”可分为4种情况：1名，2名，3名，4名女同学参加，而题设要求选出5人，因此其余名额不足部分应由男生填补，故至少有一名女同学参加共有n=cc+cc+cc+cc=736种不同选法.法二：在整体组合c中去掉不满足题设要求的组合，即n=c-c=736种不同选法.（2）法一：直接分类求解.共有n=c+cc+cc=672种不同选法.法二：整体排异求解. 共有n=c-cc-cc=672种不同选法.（3）可分两类：一类是2男3女，共有cc种不同选法；另一类是3男2女，共有cc种不同选法.根据分类加法计数原理，得符合条件的选法共有cc+cc=448种.【例4】6本不同的书分成3堆，每堆2本，共有多少种分法？分析：6本书平均分给甲、乙、丙三人的问题可分为两步来解决，先把这6本书分成3堆，每堆2本，再把分好的3堆给甲、乙、丙三人.解：6本书平均分给甲、乙、丙三人的方法共有cc=156=90种. 设6本书平均分成3堆的方法有x种，再将这3堆分给甲、乙、丙3人有a种方法，故ax=90,解得x=15.即共有15种分法.绿色通道:均匀有序分组的一般结论：n个元素分成有序的m组，每组r个元素，则分法总数为cc（其中mr=n）.均匀无序分组的一般结论：n个元素分成无序的m组，每组r个元素，则分法总数为（mr=n）. 有序分组与无序分组的本质区别在于只分组，还是分组后再分配给别的不同对象.变式训练4.12个学生平均分成3组，参加制作航空模型的活动，3个教师各参加一组进行指导，问有多少种分组方法？解法一：将12个学生平均分配到3个固定的组（即组有序）中的方法有ccc种. 事实上并无组别的限制，故将12个学生平均分成3组的方法有种.3个教师按每组1人分配到各组中去有a种方法.由乘法原理，符合题意的分组方法有a=cc=49570=34 650种.解法二：3个教师代表甲、乙、丙3个组，先将12个学生选出4人分到甲组，有c种不同方法；再将其余8个学生选4人分到乙组有c种不同方法.由乘法原理，符合题意的分组方法有ccc=34 650种.【例5】现有6本不同的书分给甲、乙、丙三人，（1）甲得1本，乙得2本，丙得3本，共有多少种不同的分法？（2）一人得1本，一人得2本，一人得3本，共有多少种不同的分法？（3）三人中的一人得4本，另外两人各得1本，共有多少种不同的分法？分析：（1）甲从6本中选1本，乙从剩下的5本中选2本，剩下的3本给丙.利用乘法原理.（2）本小题属不均匀分组且有顺序，分两步：分成三组，一组1本，一组2本，一组3本，共有cc种分组方法；再将不同的三组分给三个人，有a种分法.解：（1）cc=60种.（2）cca=360种.（3）解法一：从6本书中选出4本给三人中的一人有种分法,剩下2本书给2个人,每人一本有a种分法，利用乘法原理,共有a=90种不同的分法.解法二：将6本书分成3组，一组4本，两组各1本，共有种不同分法；再把3组分给三个人，有a种分法，利用乘法原理，共有a=90种不同的分法.绿色通道:本例是分组问题的典型范例，解决分组问题应弄清以下几点：（1）分组对象是否明确;（2）是否平均分组;（3）是否局部平均分组;（4）分组时有无顺序关系.本例中（1）为非均匀分组且分组无顺序；应固定甲、乙、丙的本数；（2）为非均匀分组有顺序；（3）为局部均匀分组有顺序. 非均