高中数学 第一章 计数原理 1.3 二项式定理 1.3.1 二项式定理学案 新人教A版选修23.doc

1.3.1二项式定理学习目标重点、难点1.能用计数原理证明二项式定理2能记住二项式定理和二项展开式的通项公式3能解决与二项式定理有关的简单问题.重点：掌握二项式定理和二项展开式的通项公式，能求特定项和系数难点：解决与二项式定理有关的简单问题.1二项式定理(ab)ncancan1bcankbkcbn(nn*)(1)这个公式叫做二项式定理(2)展开式：等号右边的多项式叫做(ab)n的二项式的展开式，展开式中一共有_项(3)二项式系数：各项的系数_(k0,1,2，n)叫做二项式系数2二项展开式的通项(ab)n展开式中第k1项_(k0,1,2，n)称为二项展开式的通项预习交流(1)二项展开式的特点有哪些？(2)(x1)n的展开式共有11项，则n等于()a9 b10 c11 d12(3)7的展开式中第3项的二项式系数为_，第6项的系数为_，x的次数为5的项为_答案：1(2)n1(3)c2tk1cankbk预习交流：(1)提示：项数：n1项；指数：字母a，b的指数和为n，字母a的指数由n递减到0，同时b的指数由0递增到n；通项公式tr1canrbr指的是第r1项，不是第r项；某项的二项式系数与该项的系数不是一个概念，c叫做二项式系数，而某一项的系数是指此项中除字母外的部分，如(12x)3的二项展开式中第3项的二项式系数为c3，而该项的系数为c2212.(2)提示：b(3)提示：2184448x5在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点我的学疑点一、二项式定理的直接应用求4的展开式思路分析：直接利用二项式定理处理是基本的方法但考虑到处理起来比较复杂，因此可以考虑将原式变形后再展开化简：(x1)55(x1)410(x1)310(x1)25(x1)熟记二项式(ab)n的展开式，是解决此类问题的关键，我们在解较复杂的二项式问题时，可根据二项式的结构特征进行适当变形，简化展开二项式的过程，使问题的解决更加简便二、二项展开式中特定项(项的系数)的计算1(2011山东高考，理14)若6展开式的常数项为60，则常数a的值为_思路分析：利用二项式定理的通项公式求出不含x的项即可2(2011天津高考，理5)在6的二项展开式中，x2的系数为()a bc d思路分析：利用二项展开式的通项公式求1(2011陕西高考，理4)(4x2x)6(xr)展开式中的常数项是()a20 b15c15 d202(2011广东高考，理10)x7的展开式中，x4的系数是_(用数字作答)求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项tk1cankbk的特点，一般需要建立方程求k，再将k的值代回通项求解，注意k的取值范围(k0,1,2，n)(1)第m项：此时k1m，直接代入通项；(2)常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方程；(3)有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解三、二项式定理的应用(整除问题)试判断77771能否被19整除思路分析：由于76是19的倍数，可将7777转化为(761)77用二项式定理展开证明：32n28n9是64的倍数用二项式定理解决anb整除(或余数)问题时，一般需要将底数a写成除数m的整数倍加上或减去r(1rm)的形式，利用二项展开式求解答案：活动与探究1：解法1：4c(3)40c(3)3c(3)22c(3)3c(3)0481x2108x54.解法2：4(81x4108x354x212x1)81x2108x54.迁移与应用：解：原式c(x1)5c(x1)4c(x1)3c(x1)2c(x1)c1(x1)151x51.活动与探究2：1.4解析：由二项式定理可知tr1cx6rrc()rx63r，令63r0，得r2，t3c()260.15a60.a4.2c解析：设含x2的项是二项展开式中第r1项，则tr1c6rrc6r(2)rx3r.令3r2，得r1.x2的系数为c5(2).迁移与应用：1.c解析：设第r1项为常数项，tr1c22x(6r)(2x)r(1)rc212x2rxrx，12x3rx0，r4.常数项为t5(1)4c15.284解析：7的通项tr1cx7rr(2)rcx72r.令72r3得r2.因而7展开式中含x3项的系数为(2)2c84.故x7的展开式中，x4的系数为84.活动与探究3：解：77771(761)7717677c7676c7675c76c176(7676c7675c7674c)由于76能被19整除，因此77771能被19整除迁移与应用：证明：32n28n99n18n9(81)n18n98n1c8nc82c818n98n1c8nc828(n1)18n98n1c8nc82(8n1c8n2c)64，故32n28n9是64的倍数1.16的二项展开式中第4项是()acx12 bcx10 ccx10 dcx82(2012天津高考，理5)在5的二项展开式中，x的系数为()a10 b10 c40 d403(2012山东省实验中学诊断，理6)二项式10的展开式中的常数项是()a第10项 b第9项c第8项 d第7项4(2012湖南高考，理13)6的二项展开式中的常数项为_(用数字作答)5在(xy)20的展开式中，系数为有理数的项共有_项6(1x)4(1)3的展开式中x2的系数是_答案：1c解析：展开式的通项公式为tr1c(x)16rr(1)rcx162r，第4项为t4(1)3cx10cx10.2d解析：tr1c(2x2)5rr(1)r25rcx103r，当103r1时，r3.(1)3253c40.3b解析：展开式的通项公式为tr1cx202rr2rcx20，令200，得r8.常数项为第9项41606的通项为tr1c(2)6rr(1)rc26rx3r.当3r0时，r3.故(1)3c263c23160.56解析：tr13c