高中数学 第一讲 相似三角形的判定及有关性质 一 平行线等分线段定理成长学案 新人教A版选修41.doc

一 平行线等分线段定理主动成长夯基达标1.等腰梯形各边中点连线所围成的四边形是（）a.矩形b.菱形c.正方形d.等腰梯形思路解析:连结梯形各边中点，可得平行四边形，由于等腰梯形的对角线相等，所以平行四边形的邻边相等，由此可以断定此四边形必为菱形.答案：b2.如图1-1-14，abcdef，af、be相交于o，若ao =od =df，be =10 cm，则bo的长为（）图1-1-14a.b.5 cmc.d.3cm思路解析:根据abcdef和ao =od =df，有bo =oc =ce，所以.答案：a图1-1-153.如图1-1-15,已知adefbc，e是ab的中点，则dg = ,ch = ,ae = ,cf = .思路解析:利用adefbc和e是ab的中点，根据平行线等分线87段定理，可得g、h、f分别是bd、ac、dc的中点，由此即得结论.答案：bgahbedf4.如图1-1-16,在abc中，e是ab的中点，efbd，egac交bd于g， ，若eg =5cm，则ac = ；若bd =20cm，则ef = .图1-1-16思路解析:由e是ab的中点，efbd，可得f是ad的中点，结合cd = ad，可以得到f、d是ac的三等分点，又由egac，可得eg等于ad的一半，fd =eg，由此可得两个结论.答案：15 cm10 cm图1-1-175.如图1-1-17，ab =ac,adbc于d，m是ad的中点，cm交ab于p，dncp.若ab =6cm，则ap =;若pm =1 cm，则pc = .图1-1-18思路解析:由ab =ac和adbc，结合等腰三角形的性质，有d是bc的中点，再由dncp，可得n是bp的中点，p是an的中点，由此，ap =,pm =.答案：2 cm4 cm6.如图1-1-18，已知acab于a，dbab于b,oc =od,连结oa、ob.求证:oa =ob.图1-1-19思路分析:作oeab于e，可得一组平行线，利用o是cd的中点，得到e是ab的中点，结合线段垂直平分线的性质就有本题的结论.证明:作oeab于e.acab,dbab,acoedb.o是dc中点,e是ab中点.oa =ob.7.如图1-1-19，已知acb =90,ac =bc,ce =cf，emaf，cnaf.求证:mn =nb.图1-1-20思路分析:由已知易得me与nc平行，所以要说明mn =nb，只要点c是一条线段的中点即可，由此启发我们作辅助线cp.证明:延长me交bc的延长线于p，由已知可得，rtepcrtfac.pc=cb.又emaf，cnaf,pmcn.又c是bp的中点,n是mb的中点.mn =nb.8.已知线段ab，求作ab的五等分点.图1-1-21思路分析:本题是平行线等分线段定理的实际应用.只要作射线am，在am上任意截取5条相等线段，连结最后一等份的后端点a5与点b，再过其他分点作ba5的平行线，分别交ab于c、d、e、f，则ab就被这些平行线分成五等份了.作法：(1)如图，作射线am；(2)在射线am上截取aa1a1a2a2a3a3a4a4a5;(3)连结a5b，分别过a1、a2、a3、a4作a5b的平行线a1c、a2d、a3e、a4f，分别交ab于c、e、f，那么c、d、e、f就是所求作的线段ab的五等分点.9.梯形abcd中，adbc，dcbc，b = 60，ab =bc，e为ab的中点.求证:ecd为等边三角形.思路分析:一般在梯形中给出了一腰的中点，常添加的辅助线有:过这一点作底边的平行线，由平行线等分线段定理推论得另一腰的中点；可延长de（或ce）与底边相交，构造全等三角形.证明:连结ac，过点e作efad交dc于f.梯形abcd,adbc.adefbc.又e是ab的中点，f是dc的中点（经过梯形一腰的中点与底平行的直线平分另一腰）.dcbc,efdc.ed=ec（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）.edc为等腰三角形.ab =bc,b =60,abc是等边三角形.acb =60.又e是ab边中点,ce平分acb.1=2=30.def=30.dec=60.又ed=ec,dec为等边三角形.走近高考10.如图1-1-22,已知以梯形abcd的对角线ac及腰ad为邻边作aced,dc的延长线交be于f.求证:ef =bf. 图1-1-22思路分析:在eab中,ofab,要说明ef=bf,只要说明o是ae的中点,而o是平行四边形对角线的交点,根据平行四边形对角线互相平分,可以知道o是ae的中点,于是问题得证.证明:连结ae交dc于o,四边形aced是平行四边形,o是ae的中点(平行四边形对角线互相平分).四边形abcd是梯形,dcab.在eab中,ofab,又o是ae的中点,f是eb的中点.ef =bf.11.已知直线l1l2l3，任作两直线m、n，分别交l1、l2、l3于点a、b、c和d、e、f,如图1-1-23所示.图1-1-23图1-1-24图1-1-25(1)分别量出线段ab、ac、de、df的长,观察结论，你有什么发现？(2)把直线n沿da方向平移到a点，得到直线n，分别与直线l2、l3交于e、f，如图1-1-24，观察abe与acf，你有什么发现？说出你的猜测，并验证.(3)如图1-1-24，若继续把直线n平移使其经过b点，分别与直线l1、l3交于d、f，结果如何？(4)利用你的发现，判断图1-1-25中的相似三角形有几对？思路分析:对于线段的关系，尤其是四条线段的关系，很有可能是成比例，但要通过验证才能确定.而两个三角形在大小不一的情况下，又有了成比例的线段，就可以联想到两个三角形相似.要判断最后一个图形中有几对相似三角形，就要设法把图形分离出（2）（3）中的基本图形.解:（1）通过测量可得ab =1.5 cm,ac =4 cm,de =1.15cm,df =3.1 cm,观察且计算可发现= =0.375, =0.371，由于作图和测量都会有一定的误差，因此可以确定有=.（2）abeacf，由于af是由df平移而来的，由平移的特征可得ae=